Espaces hermitiens _________

Espaces hermitiens _________

0. Calculs sur les matrices complexes.

1. Adjoint d’un endomorphisme.

2. Endomorphismes unitaires.

3. Endomorphismes hermitiens ou autoadjoints.

4. Réduites de Schur, endomorphismes normaux.

Pierre-Jean Hormière ___________

« C'est la géométrie qui sauve l'algèbre. » Alain, 17 novembre 1921 Les espaces hermitiens¹ sont les C-espaces vectoriels de dimension finie munis d’un produit scalaire hermitien (x | y) et de la norme ||x|| associée.

À certains égards, ils sont plus compliqués que les espaces euclidiens :

− d’une part, les calculs y sont moins aisés : il faut faire attention à la semi-linéarité à gauche et à la linéarité à droite du produit scalaire, et bien distinguer les propriétés de C-linéarité et de R- linéarité.

− d’autre part, l’intuition géométrique est moins naturelle que dans le cas des espaces euclidiens : un C-espace vectoriel de dimension 2 est déjà un R-espace vectoriel de dimension 4.

Cependant, l’étude des endomorphismes de ces espaces est nettement plus simple que celle des espaces euclidiens, car C est algébriquement clos : on peut donc puiser à volonté des valeurs propres, et les propriétés de décomposition spectrale, c’est-à-dire de « dévissage » des endomorphismes, sont plus faciles à établir. C’est la raison pour laquelle nous commençons par leur étude.

Notons enfin que tous les théorèmes spectraux que nous allons établir se généralisent aux espaces de Hilbert de dimension infinie : ils sont donc le point de départ de la théorie spectrale générale, très utiles notamment dans le formalisme mathématique de la mécanique quantique. En effet dans ce formalisme axiomatique, à chaque grandeur observable est associé un opérateur autoadjoint de l’espace de Hilbert des vecteurs d’état du système physique ; les valeurs prises par cette grandeur sont les valeurs propres de l’opérateur associé, et deux grandeurs sont simultanément observables ssi les opérateurs associés commutent.

0. Calculs sur les matrices complexes.

Les exercices suivants, purement pédagogiques, ont pour but de familiariser le lecteur avec les matrices à éléments complexes.

Exercice 1 : Quelles sont les dimensions de M_C(n, p) considéré comme C-espace vectoriel ? comme R-espace vectoriel ? En indiquer une C-base, une R-base.

Démontrer que . M_C(n, p) = M_R(n, p) ⊕ i M_R(n, p) ( somme directe de R-espaces vectoriels ).

Exercice 2 : On note A la conjuguée de la matrice A. Etudier les propriétés de la conjugaison.

1 Les formes et les matrices hermitiennes ont été introduites en 1855 par Charles Hermite (1822-1901) à des fins essentiellement algébriques. Leur étude et leur classification (elles ont une signature analogue aux formes quadratiques réelles) n’est pas au programme. Les produits scalaires hermitiens en dimenion n, c’est-à-dire les formes hermitiennes de signature (n, 0), sont ici étudiés surtout d’un point de vue géométrique.

A+B = A + B ,

λ

A⁼

λ

^{.B , A.B = A.B , rgA} = rg A ,

Si A est carrée, det(A) = det(A) , tr(A) = tr(A) ; si A est inversible, que dire de A ? A⊗B ^{= A ⊗ B}

Exercice 3 : On note A* = ^tA la transconjuguée ou adjointe de la matrice A (transposée de la conjuguée ou conjuguée de la transposée).

1) Exemple : Quelles sont les adjointes des matrices





−

− +

−

i i

i i

4 11 6 7

4 3

5 et













−

−

−− +

i i

i i i

2 10 4 3

2 1 0

3 1

? 2) Démontrer que :

(A + B)* = A* + B* , (λ.A)* =

λ

^.A* , (A.B)* = B*.A* , rg A* = rg A;

Si A est carrée, det(A*) = det(A) , tr(A*) = tr(A) ; si A est inversible, que dire de A* ? (A ⊗ B)* = A* ⊗ B*.

Exercice 4 : Une matrice A ∈ M_n(C) est dite

hermitienne si A* = A , anti-hermitienne ² si A* = −A.

On note H_n(C), resp. A_n(C), les ensembles de matrices correspondantes.

1) Exemples : Soient a, b, c, d, e, f, g, h, k six réels.

Vérifier que













−

−− + ++ g ik h if e

ik h d ic b

if e ic b a

est hermitienne,













+

− +

− + +

− + +

ig ik h if e

ik h id ic b

if e ic b ia

antihermitienne

2) Démontrer que H_n(C) et A_n(C) sont des sous R-espaces vectoriels de dimension n² de M_n(C), mais non des sous C-espaces vectoriels, et que :

M_n(C) = H_n(C) ⊕ A_n(C) et A_n(C) = i.H_n(C).

3) Démontrer que H_n(C) ∩ Mn(R) = S_n(R) et A_n(C) ∩ Mn(R) = A_n(R) et que H_n(C) = S_n(R) ⊕ i.A_n(R) et A_n(C) = A_n(R) ⊕ i.S_n(R).

4) Vérifier que pour toute matrice A ∈ MC(n, p), A*A et A*A sont hermitiennes.

1. Adjointe d’une application linéaire.

Théorème et définition : Soient E et F deux espaces hermitiens, u une application C-linéaire de E dans F. Il existe une unique application linéaire de F dans E, notée u*, et appelée adjointe de u, telle que : ∀(x, y) ∈ E×F (y | u(x)) = (u*(y) | x) , ou, ce qui revient au même :

∀(x, y) ∈ E×F (x | u*(y)) = (u(x) | y) .

Preuve : Fixons y ∈ F. L’application x → (y | u(x)) est une forme linéaire sur E ; en vertu du théorème de représentation de Riesz (cf. Espaces préhilbertiens, § 4.1), il existe un unique vecteur z ∈ E tel que :

(∀x ∈ E) (y | u(x)) = (z | x). Ce vecteur dépend de y ; on le note z = u*(y). La linéarité de u* se vérifie alors avec soin ; la deuxième identité se déduit de la première par conjugaison.

Proposition 2 : L’application u ∈LLLL_{(E, F) → u* ∈}LLLL(F, E) est semilinéaire et vérifie, pour tout v

∈LLLL_{(F, G) : ( v o} u )* = u* o v* , u** = u , id_E* = id_E . Cela s’applique en particulier à u ∈LLLL_{(E) → u* ∈}LLLL_(E). ³

2 En anglais « hermitian » et « skew-hermitian ».

Proposition 3 : Si BBBB_{E et} BBBB_F sont des bases orthonormées de E et F resp., la matrice de u*

relativement aux bases BBBB_{F et} BBBB_E est la transconjuguée (on dit aussi l’adjointe) de celle de u relativement aux bases BBBB_{E et} BBBB_{F :}

A = Mat(u ; BBBB_{E ,} BBBB_F) ⇒ Mat(u* ; BBBB_{F ,} BBBB_{E) =} ^tA _≡ A* . On retrouve la proposition 2.

Corollaire : Si u ∈ LLLL(E), det u* = detu, et le spectre de u* est le conjugué de celui de u.

Proposition 4 : Soit u ∈ LLLL(E, F) ; on a : (Im u)^⊥ = Ker u* et (Ker u)^⊥ = Im u* . Corollaire : rg u* = rg u .

Exercice 1 : Si l’on rapporte E et F à des bases quelconques BBBB_{E et} BBBB_F , comment s’exprime la matrice de u* à l’aide de celle de u ?

Solution : Soient G et H les matrices de Gram respectives de BBBB_{E et} BBBB_F, c’est-à-dire les matrices donnant les produits scalaires mutuels de leurs vecteurs. Alors ∀(x, y) ∈ E×F (x | u*(y)) = (u(x) | y) s'écrit : ∀X ∈ C^p ∀Y ∈ C^{n t}X .G.B.Y = ^tX .A*.H.Y . On en déduit B = G⁻¹.A*.H . Lorsque BBBB_{E et} BBBB_F sont orthonormées, alors G = I_p et H = I_n , et on retrouve la prop 3.

Exercice 2 : Soient a₁,..., a_k des vecteurs de E, b₁,..., b_k des vecteurs de F. Quelle est l’adjointe de l’application f : x →

∑

(a_i | x).b_i ? Que dire de Im f , de Ker f ?

Exercice 3 : Soit u∈LLLL(E), F un sous-espace de E. Montrer que F est u-stable ⇒ F^⊥ est u*-stable.

Exercice 4 : Comparaison spectrale de u et u* dans LLLL_(E).

1) Soit a ∈ Sp u ; alors a _∈ Sp u* et dim Ker(u* − a Id_E) = dim Ker(u − a.Id_E) ; 2) Soient a et b deux valeurs propres distinctes de u ∈L(E). Alors :

Ker(u − a.Id_E) ⊥ Ker(u* − b.Id_E) . 2. Endomorphismes et matrices unitaires.

2.1. Définitions, premiers résultats.

Théorème et définition : Soit E un espace hermitien, u ∈LLLL(E). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

(U1) (∀x ∈ E) || u(x) || = || x || ; (U2) ∀(x, y) ∈ E² (u(x) | u(y)) = (x | y) ; (U3) u* o u = id_E ;

(U4) u* o u = u o u* = id_E ;

(U5) L’image par u de toute base orthonormée de E est une base orthonormée de E ; (U6) L’image par u d'une base orthornormée de E est une base orthonormée de E.

u est alors appelé endomorphisme ou automorphisme unitaire de E. Les endomorphismes unitaires sont donc les isométries vectorielles de E.

Définition 2 : La matrice A ∈ M_n(C) est dite unitaire si A*.A = I ou A*.A = A.A* = I.

Si on note c₁, ..., c_n les colonnes de A, considérées comme vecteurs de l’espace Cⁿ muni du produit scalaire hermitien standard, la matrice A*.A n’est autre que la matrice d’élément général

3 Un mot au sujet des applications semi-linéaires : si E est un C-espace vectoriel, on note E le C-espace vectoriel conjugué, obtenu en gardant l’addition et en le munissant de la loi externe (a, x) → a.x. Une application semi-linéaire E → F n’est autre qu’une application linéaire E → F ou E → F.

(c_i | c_j). La condition A*.A = I équivaut donc à dire que les colonnes de A forment une famille orthonormée de l’espace Cⁿ , ou encore que l’endomorphisme de l’espace Cⁿ muni du produit scalaire hermitien standard, canoniquement associé à A, est unitaire.

Proposition : Soit u ∈LLLL(E). Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) u est unitaire ;

ii) Pour toute base orthonormée BBBB de E, Mat(u ; BBBB) est unitaire ;

iii) Il existe une base orthonormée BBBB de E telle que Mat(u ; BBBB) soit unitaire.

Corollaire : La matrice de passage d’une base orthonormée à une autre est unitaire.

2.2. Les groupes unitaires U(E), SU(E), U(n,C) et SU(n,C).

Proposition et définition : 1) L’ensemble U(E) des endomorphismes unitaires de E est un sous- groupe de Gl(E), appelé groupe unitaire de E ;

2) Pour tout u ∈ U(E), on a | det u | = 1 ;

3) SU(E) = { u ∈ U(E) ; det u = 1 } est un sous-groupe distingué de U(E), appelé groupe spécial unitaire de E.

Proposition et définition : 1) L’ensemble U_n(C) des matrices unitaires d’ordre n est un sous- groupe de Gl_n(C), appelé groupe unitaire ;

2) Pour tout A ∈ U_n(C), on a | det A | = 1 ;

3) SU_n(C) = { A ∈ U_n(C) ; det A = 1 } est un sous-groupe distingué de U_n(C), dit groupe spécial unitaire.

Rappelons qu’un sous-groupe est distingué ssi f ∈ U(E), u ∈ SU(E) ⇒ f⁻¹ o u o f ∈ SU(E). Cela découle aussitôt de ce que SU(E) et SU_n(C) sont des noyaux du morphisme det.

2.3. Théorie spectrale des endomorphismes unitaires.

Théorème spectral : Soit u un endomorphisme unitaire de E. Il existe une base orthonormée B de E telle que la matrice de u s’écrive :

Mat(u ; BBBB) = diag(exp(iθ1) , ... , exp(iθn)) , où (θ1, ... , θn) ∈ Rⁿ . Autrement dit, u est diagonalisable dans une base orthonormée de E et à spectre unitaire.

Corollaire : Soit A une matrice unitaire. Il existe une matrice unitaire P telle que : P^–1.A.P = P*.A.P = diag(exp(iθ1) , ... , exp(iθn)) , où (θ1, ... , θn) ∈ Rⁿ . Démonstration : Elle repose sur deux lemmes :

Lemme 1 : Les valeurs propres de u sont des complexes de module 1.

Soient λ∈ Sp u, x un vecteur propre associé. On a u(x) = λ.x, et il suffit de prendre la norme.

Lemme 2 : Si F est un sous-espace u-stable, son orthogonal F^⊥ est u-stable.

Notons d’abord que, u étant bijective, u(F) ⊂ F ⇒ u(F) = F.

Montrons x ∈ F^⊥⇒ u(x) ∈ F^⊥. Soit y ∈ F, z ∈ F tel que y = u(z) ; on a (u(x) | y) = (u(x) | u(z)) = (x | z) = 0.

Concluons : Soit exp(iθ₁) une valeur propre de u, e₁ un vecteur propre associé de norme 1.

L’hyperplan H = (C.e₁)^⊥ est u-stable, et l’endomorphisme induit u_H est unitaire.

Une récurrence laissée au lecteur conclut.

Conséquences topologiques : Notons U = { z ∈ C ; |z| = 1 } le cercle unité de C.

Théorème : 1) Les groupes unitaires U(E) et SU(E) sont compacts et connexes par arcs ; U(E) est homéomorphe à SU(E)×U.

2) Les groupes matriciels unitaires U_n(C) et SU_n(C) sont compacts et connexes par arcs ; U_n(C) est homéomorphe à SU_n(C)×U.

Preuve : Munissons LLLL(E) de la norme triple ||| u ||| = sup_x≠0 x

x u )(

, par exemple.

U(E) est borné dans LLLL(E), car u ∈ U(E) ⇒ ||| u ||| = 1; U(E) est inclus dans la sphère unité de L

LL

L(E). U(E) est fermé car si u_p → u, les up étant unitaires ; u_p* o u_p = idE ⇒ u* o u = idE à la limite. Soit BBBB une base orthonormée de E telle que :

Mat(u ; BBBB) = diag(exp(iθ₁) , ... , exp(iθn)) , où (θ₁ , ... , θn) ∈ Rⁿ .

Pour t ∈ [0, 1], soit u(t) l’endomorphisme tel que Mat(u(t) ; BBBB) = diag(exp(itθ₁) , ... , exp(itθn)).

u(t) est unitaire, et u(t) varie continûment (et même de façon C^∞) de u(0) = Id_E à u(1) = u. cqfd.

Corollaire : L’ensemble BBBB des bases orthonormées de E est compact et connexe par arcs.

Nous nous plaçons ici dans l’ensemble Eⁿ des n-uplets de vecteurs de E, muni de la distance qui au couple (x, y), où x = (x₁, ..., x_n) et y = (y₁, ..., y_n), associe d(x, y) =

∑

⁻ ²

i

i

i y

x .

Preuve : Choisissons une base orthonormée BBBB₀ de E. L’application u → u(BBBB₀) est une bijection continue de U(E) sur l’ensemble BBBB des bases orthonormées de E. cqfd.

Remarque : Pour n ≥ 2, les groupes SU(E) et SU(n, C) sont simplement connexes.

2.4. Exemples d’endomorphismes et de matrices unitaires.

1. Les symétries unitaires.

Soit F un sev de E, p_F l’orthoprojecteur sur F, s_F = p_F− p_F⊥ = 2p_F − id_E l’orthosymétrie par rapport à F. C’est une involution linéaire et, par Pythagore : ||s_F(x)||² = ||p_F(x)||² + ||p_F⊥(x)||² =

||x||². Donc s est unitaire. Réciproquement, si s ∈ U(E) est telle que s² = id_E , alors s est une orthosymétrie car les espaces propres de s sont deux à deux orthogonaux. Ainsi, les orthosymétries et les symétries unitaires coïncident.

Cas particuliers : les réflexions.

On appelle ainsi les orthosymétries relatives aux hyperplans de E. Si H est un tel hyperplan, w un vecteur unitaire orthogonal à H, montrer que :

(∀x ∈ E) s_H(x) = x − 2 (w | x) w.

Exercice 1 : générateurs de SU(E) et U(E).

1) Montrer que tout élément de SU(E) est composé d’un nombre pair de réflexions.

2) En déduire que les réflexions engendrent le groupe { u ∈ U(E) ; det u = ± 1 } ; 3) Montrer que U(E) est engendré par les réflexions et les affinités unitaires.

2. Matrices de permutation.

Exercice 2 : Soit SSSS_n le groupe symétrique de {1, 2, ..., n}. À toute permutation σ ∈ SSSS_{n on} associe la matrice M(σ) = (δ_iσ(j)) la matrice de la permutation associée à σ.

1) Montrer que σ → M(σ) est un morphisme injectif de groupes de SSSS_{n dans Un}(C) ; quelle est l’inverse de M(σ) ? Conséquences spectrales ?

2) Diagonalisation orthonormée de la matrice M(γ) associée au cycle [1, 2, ..., n].

3) En décomposant σ en cycles, déterminer avec soin ses valeurs propres, ses polynômes carac- téristiques et minimaux.

4) Exemple : réduire la matrice associée à la permutation σ = 



 





6 3 1 5 4 2

6 5 4 3 2

1 _.

3. Matrices de Vandermonde des racines de l'unité.

Exercice 3 : Montrer que A = 3 1











 j j

j j

² 1

² 1

1 1 1

est unitaire. Réduction orthonormée de A ? Exercice 4 : Soient ω = exp

n i

π

2 _{, V ∈ M}

n(C) d’élément gal a_jk = n

1 _{ω(j−1)(k−1), 1≤ j, k ≤ n.}

1) Vérifier que V est unitaire ; conséquences spectrales ?

2) Calculer V², puis V⁴. En déduire les puissances V^h de V (h ∈ Z). Retrouver le fait que V est diagonalisable. Que dire de ses valeurs propres ?

3) Soit D = det V. Calculer |D| , puis D² ; montrer que D = n^n/2.exp[ 4

π

i _{(n − 1)(3n − 2)].} Quand a-t-on D ∈ R ?

4) Réduire V lorsque n = 2, 3 et 4.

Ces matrices jouent un grand rôle dans les transformations de Fourier discrète et rapide.

4. Les groupes U(2, C) et SU(2, C).

Exercice 5 : Montrer que toute matrice A ∈ SU2(C) s’écrit A = 



− + − + +

ix t iz y

iz y ix

t , où (t, x, y, z) ∈ R⁴ et t² + x² + y² + z² = 1. Ainsi SU₂(C) est en bijection avec la sphère unité S³ de l’espace euclidien standard R⁴. Conséquences ?

5. Caractères d’un groupe fini commutatif.

Si G = {x₁, …, x_N} est un groupe fini commutatif d’ordre N, le groupe dual G* = Hom(G, C*), ensemble des caractères de G, est aussi d’ordre N.

Si G* = {χ1, …, χN} , la matrice N 1 _(χ

j(x_i)) ∈ MN(C) est unitaire.

Voir mon chapitre sur les Groupes finis commutatifs.

2.5. Les factorisations Q-R ou U-T.

Le théorème de factorisation matricielle suivant est une simple conséquence du procédé d’orthonormalisation dit de Gram-Schmidt :

Théorème de factorisation Q-R ou U-T : Toute matrice A ∈ Gl_n(C) se décompose de manière unique sous la forme A = U.T, où U ∈ Un(C), T est trigonale supérieure à coef. diagonaux > 0, ou encore sous la forme A = U.D.T', où U ∈ U_n(C), D est diagonale à coefs > 0, et T' trigonale supérieure unipotente (i.e. à coefs diagonaux = 1).

Preuve : Soit Cⁿ hermitien standard rapporté à sa base canonique orthonormée BBBB_{0 = (ε1, ..., εn) ,} A

A A

A _{= (a1,...., an}) la base de Cⁿ formée des colonnes de A , E

E E

E _{= (e1,...., en}) l’orthonormalisée de Gram-Schmidt de AAAA , telle que (e_i | a_i) > 0 (∀i) . En vertu des propriétés des matrices de passage, si l’on note Mat(P, Q) la matrice de passage de Q à P, c’est-à-dire dont les colonnes sont les vecteurs de P rapportés à la base Q, on a :

Mat(AA AA_, BBBB_{0) = Mat(}EEEE _, BBBB_0).Mat(AAAA _, EEEE₎

Or cela s’écrit A = U.T où U est unitaire, et T trigonale supérieure à éléments diagonaux > 0.

L’unicité découle de ce que U.T = U'.T' ⇒ U'⁻¹.U = T.T'⁻¹ : cette matrice est à la fois unitaire et trigonale supérieure à coef diagonaux > 0 : ce ne peut être que I.

Conséquences théoriques et pratiques :

− On récupère des générateurs du groupe Gln(C) en adjoignant des générateurs de U_n(C) et du groupe multiplicatif des matrices trigonales supérieures à éléments diagonaux > 0.

− Si l’on dispose de la factorisation U.T de A, on résout facilement le système cramérien A.X = Y : X = T^–1.U*.Y , par transconjugaison et remontée.

Voici d’autres conséquences :

Corollaire 1 : Gl_n(C) est connexe par arcs.

Corollaire 2 : La factorisation (U, T) → A = U.T est un homéomorphisme.

Preuves : (U, T) → A = U.T est une bijection continue ; comme U_n(C) est connexe par arcs et que l’ensemble des matrices trigonales supérieures à coeff. diagonaux > 0 est convexe, donc connexe par arcs, Gl_n(C) est connexe par arcs. Pour montrer la continuité de A → (U, T), considérer une suite A_k = U_k.T_k tendant vers A = U.T dans Gl_n(C). Par compacité de U_n(C), (U_k) a une valeur d’adhérence U_ϕ(k) → U' ; alors T_ϕ(k) → U'⁻¹.A = T' qui est trigonale sup. à coeff diagonaux ≥ 0, donc > 0. Par suite A = U'.T', et par unicité U' = U, T' = T. (U_k) tend donc vers U (unicité des valeurs d’adhérence dans un compact) et (T_k) vers T. cqfd.

Corollaire 3 : Toute matrice A ∈ M_n(C) se décompose sous la forme A = U.T, où U ∈ U_n(C) et T est trigonale supérieure à éléments diagonaux ≥ 0 (mais on perd l’unicité).

Corollaire 4 : inégalité d’Hadamard.⁴ Si A = (a_ij) ∈ M_n(C) alors :

| det A | ≤

∏

_{j 1=}ⁿ

∑

i

a ²ij .

Autrement dit, le déterminant d’une matrice complexe est inférieur en module au produit des normes hermitiennes de ses colonnes.

3. Endomorphismes hermitiens ou autoadjoints.

3.1. Définitions, premiers résultats.

Définition 1 : L’endomorphisme u est dit hermitien ou autoadjoint si u = u*, i.e. si :

∀(x, y) ∈ E² (x | u(y)) = (u(x) | y) . Exemples :

1) Les homothéties à rapports réels sont des endomorphismes hermitiens.

4 Jacques Hadamard (1865-1963) fut un grand mathématicien français. Il démontra en 1896 le théorème des nombres premiers π(x) ∼ x/ln x, et fit des travaux sur les fonctions de variable complexe. Apparenté au capitaine Dreyfus, il fut un des fondateurs de la Ligue des droits de l'homme qui prit la défense du capitaine Dreyfus. Il perdit deux de ses fils à la guerre de 14 ; l’un d’eux, Étienne, avait des talents mathématiques hors de pair. Hadamard n’avait rien à envier au Savant Cosinus, de Christophe : un jour il oublia sa sœur en montagne parce qu’il était absorbé dans la récolte des fougères, son violon d’Ingres. Son petit neveu Laurent Schwartz raconte maintes anecdotes de ce genre dans le chaleureux article qu’il lui a consacré dans Pour la science (mars 1997), et dans son autobiographie. Voici quelques citations d’Hadamard :

« Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe dans le domaine complexe.»

« Le sens du beau est apparemment le seul qui mène à la découverte en mathématiques.»

« Rien ne peut être plus précieux pour le savant que de se sentir dépassé dans les chemins mêmes qu'il a commencé à tracer.»

2) Les orthoprojecteurs sont des endomorphismes autoadjoints ; mieux, même, les ortho- projecteurs sont exactement les projecteurs autoadjoints.

3) Les orthosymétries sont des symétries autoadjointes ; mieux, même, ce sont exactement les symétries autoadjointes.

Exercice 1 : Soit u ∈LLLL(E). Démontrer que u est hermitien ⇔ (∀x ∈ E) (u(x) | x) ∈ R.

Exercice 2 : Soit u une application de E dans E telle que : ∀(x, y) ∈ E² (x | u(y)) = (u(x) | y) . Montrer que u est linéaire.

Définition 2 : La matrice A est dite hermitienne ou autoadjointe si A* = A, i.e. si A est égale à sa transconjuguée : ∀(X, Y) ∈ C^{n t}X .A.Y = ^tX.A*.Y.

Proposition 1 : correspondance endomorphismes et matrices hermitiens. On a l’équivalence : i) u est hermitien ;

ii) la matrice de u dans toute base orthonormée est hermitienne ; iii) la matrice de u dans une base orthonormée est hermitienne.

Proposition 2 : correspondance entre endomorphismes hermitiens et formes hermitiennes.

Soit u ∈LLLL(E). On a l’équivalence : i) u est hermitien ;

ii) Φ_u : (x, y) ∈ E² → Φ_u(x, y) = (x | u(y)) est une forme sesquilinéaire hermitienne.

L’application u →Φ_u est un isomorphisme de l’espace vectoriel réel HHHH(E) des endomorphismes hermitiens sur l’espace des formes sesquilinéaires hermitiennes.

Proposition 3 : décomposition hermitienne d’un endomorphisme de E.

On a la somme directe de R-espaces vectoriels : LLLL_{(E) =} HHHH_{(E) ⊕ i.}HHHH_{(E) .}

Autrement dit, tout endom. f de E s’écrit de manière unique f = u + i.v où u et v sont hermitiens.

Preuve : Attention ! HHHH(E) est un sous-R-espace vectoriel de LLLL(E), considéré comme R-espace vectoriel, mais n’est pas un sous C-espace vectoriel de LLLL(E) (voir ex. 1 ci-dessous).

Pour le reste, on trouve aussitôt : u = 2

1( f + f* ) et v = i 2

1 ( f − f* ) . On les appelle resp. parties réelle et imaginaire hermitiennes de f.

Proposition 4 : dim_RH_{(E) = dimR Hn(C) = n}²_.

Exercice 3 : Un endomorphisme a de E est dit antihermitien si a* = − a. Soit AAAA(E) l’ensemble de ces endomorphismes.

1) Montrer que a ∈ AAAA(E) ⇔ (∀x ∈ E) (x | a(x)) = 0 . 2) Montrer que LLLL_{(E) =} HHHH_{(E) ⊕} AAAA(E), et que AAAA_{(E) = i.}HHHH_(E).

Exercice 4 : Soit M = (m_ij)∈Mn(C). Trouver la matrice H = (h_ij)∈Hn(C) minimisant

∑

_{|mij− hij|².}

Exercice 5 : A-t-on u et v hermitiens ⇒ u o v hermitien ? Quand est-ce vrai ? 3.2. Théorème spectral des endomorphismes hermitiens.

Proposition 1 : Soit u un endomorphisme hermitien.

1) Les valeurs propres de u sont réelles.

2) Si E(λ) est un espace propre, son orthogonal E(λ)^⊥ est u-stable ; plus généralement, si F est un sous-espace u-stable, F^⊥ est u-stable.

3) Deux espaces propres associés à des valeurs propres distinctes λ et µ sont orthogonaux.

Preuve : 1) Soit λ une valeur propre de u, x un vecteur propre associé. On a (x | u(x)) = λ.(x | x).

Comme (x | u(x)) est réel, λ est réel.

2) Soit F un sous-espace u-stable. Montrons que u(F^⊥) ⊂ F.

Soit y ∈ F^⊥. Pour tout x ∈ F, on a (u(y) | x) = (y | u(x)) = 0 , car u(x) ∈ F.

3) Soient λ et µ deux valeurs propres distictes de u. Si u(x) = λ.x et u(y) = µ.y, alors : λ.(x | y) = (u(x) | y) = (x | u(y)) = µ.(x | y) , d’où (x | y) = 0.

Théorème spectral : Tout endomorphisme hermitien u est diagonalisable dans une base orthonormée BBBB de E, et à spectre réel :

Mat(u ; BBBB_{) = diag (λ1, ... , λn) où (λ1, ... , λn) ∈ R}ⁿ_.

Corollaire : Toute matrice hermitienne A ∈ H_n(C) est unitairement semblable à une matrice diagonale réelle : ∃P ∈ Un(C) P⁻¹.A.P = P*.A.P = diag (λ₁, ... , λ_n) où (λ₁, ... , λ_n) ∈ Rⁿ. Notons que la réciproque de ces deux énoncés est immédiate.

Exercice 6 : Réductions orthonormées des matrices :





− 1 1

i i













−

−− 1 1 1

i i

i i

i i











− + − 1 0

1 1

0 1 1

i i i

i













−

−

−− ++ 2 1 2 1

1 2

2 1 1

i i

i i

i i

Exercice 7 : Enoncer un théorème spectral relatif aux endomorphismes et aux matrices antihermi- tiennes.

Exercice 8 : Montrer que les orthoprojecteurs engendrent l’espace HHHH(E) des endomorphismes hermitiens. Idem pour les orthosymétries.

Exercice 9 : Soit PPPP l’ensemble des orthoprojecteurs de E. Montrer que PPPP est compact, et admet n+1 composantes connexes par arcs, à savoir les PPPP_{r = { p ∈} PPPP ; rg p = r }, 0 ≤ r ≤ n.

Exercice 10 : Orthogonalisation simultanée.

Soient E un C-espace de dimension n, ( | ) un produit scalaire sur E, Φ une forme hermitienne sur E. Montrer qu’il existe une base de E orthonormée pour ( | ) et orthogonale pour Φ (utiliser 3.1, prop. 2).

Exercice 11 : Montrer que deux endomorphismes autoadjoints qui commutent sont simulta- nément diagonalisables dans une base orthonormée. Extension à une famille commutante d’autoadjoints.

3.3. Propriétés extrémales des valeurs propres.

Si u est un endomorphisme hermitien, nous supposerons toujours son spectre rangé dans l’ordre décroissant des valeurs propres : Sp u = { λ1≥λ2≥ ... ≥λn}, et nous noterons E^• = E−{0}, et S la sphère unité de E.

La fonction R(x) = ) (

) ) ( (

x x

x x

u , définie sur E^•, s’appelle parfois le quotient de Rayleigh de u.

C’est une fonction C^∞ car rationnelle sur E^•, homogène de degré 0 en ce sens que R(α.x) = R(x).

Théorème de Rayleigh-Ritz :

λ1 = max { u(x) | x) ; x ∈ S } = max { ) (

) ) ( (

x x

x x

u ; x ∈ E^•} ;

λn = min { (u(x) | x) ; x ∈ S } = min { ) (

) ) ( (

x x

x x

u ; x ∈ E^•}.

Exercice 12 : Déterminer avec précision les vecteurs en lesquels ces max et min sont atteints.

Exercice 13 : Montrer que la fonction u →λ1(u)est convexe continue HHHH_{(E) → R, et u →λn(u)} concave continue.

Exercice 14 : Soit A = (a_ij) une matrice hermitienne n×n, de valeurs propres λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn. Montrer que λ1≥ max a_ii≥ min a_ii ≥λn.

En réalité chacune des valeurs propres d’un endomorphisme hermitien admet une propriété extrémale.

Problème : théorie de Fischer-Courant.

Ce problème est valable indifféremment dans un espace hermitien ou euclidien E de dimension n.

On note Gk l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension k de E (0 ≤ k ≤ n) (grassmannienne d’indice k), u un endomorphisme autoadjoint de E de valeurs propres

Sp u = { λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn}, et BBBB _{= (e1, ..., en}) une base orthonormée propre adaptée.

1) Si A_k = Vect(e₁, ..., e_k), que vaut min{ (u(x) | x) ; x ∈ S ∩ A_k } ? 2) Montrer que :

λ_k = max _L∈Gk min _x∈S∩L (u(x) | x) (Courant - Weyl) λ_k = min _L∈Gn−k+1 max _x∈S∩L (u(x) | x) (Fischer-Poincaré) [ Indication : pour la première, considérer L ∩ Vect(e_k, ..., e_n). ]

3) Application 1 : théorème de relèvement des valeurs propres.

Montrer que chacune des fonctions u →λ_k(u) est continue HHHH_{(E) → R.}

4) Application 2 : intercalation des valeurs propres.

Soient A une matrice hermitienne (ou symétrique réelle) d’ordre n, Sp A = {λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn}, et B la matrice d’ordre n−1 obtenue en supprimant dans A une ligne et une colonne de même indice, Sp B = { µ₁ ≥ µ₂ ≥ ... ≥ µ_n−1 }. Montrer que l’on a : λ₁ ≥ µ₁ ≥ λ₂ ≥ ... ≥ µ_n−1 ≥ λ_n . 3.4. Endomorphismes hermitiens positifs et définis positifs.

Définition 3 : L’endomorphisme hermitien u est dit :

•••• positif ou semi-défini positif si (∀x ∈ E) (x | u(x)) ≥ 0 , autrement dit si Φ_u(x, y) ≡ (x | u(y)) est une forme hermitienne positive ;

•••• défini positif si (∀x ≠ 0) (x | u(x)) > 0 , i.e. si Φ_u(x, y) ≡ (x | u(y)) est un produit scalaire hermitien.

Définition 4 : La matrice hermitienne A est dite :

•••• positive ou semi-définie postivie si (∀X ∈ Cⁿ) ^tX .A.X ≥ 0 ,

•••• définie positive si (∀X ∈ Cⁿ) X ≠ 0 ⇒^tX .A.X > 0 .

Attention ! matrice hermitienne positive ne veut pas dire matrice à coefficients positifs ! Les matrices à coefficients positifs ont des propriétés spectrales (th de Perron-Frobenius) qui ne sont pas du tout évoquées dans ce chapitre. Le terme semi-défini positif a été introduit pour distinguer ces notions.

Proposition 1 : Soit u hermitien. On a les équivalences :

u est positif ⇔ Sp u ⊂ R⁺ ; u est défini positif ⇔ Sp u ⊂ R*⁺ Exercice 15 : Soit A =



 d b

b

a ∈ H₂(C) une matrice hermitienne (a, d, b) ∈ R×R×C.

1) Montrer que A est positive ssi a ≥ 0 , d ≥ 0 et ad − bb _≥ 0 ; 2) Montrer que A est définie positive ssi a > 0 et ad − bb > 0 . Exercice 16 : Moments trigonométriques d’une fonction ≥ 0.

Soit f une fonction continue 2π-périodique R → R⁺, (c_k) la suite de ses coefficients de Fourier.

Montrer que les matrices de Toeplitz A_n = (c_i−j)_0≤i,j≤n sont hermitiennes positives, et même définies positives si f ≠ 0.

Proposition 2 : Soit A ∈ M_n(C). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) A est hermitienne positive (resp. définie positive) ; ii) Il existe une matrice hermitienne B telle que A = B² (resp. et inversible) ; iii) Il existe une matrice B ∈ Mn(C) telle que A = B*.B (resp. B ∈ Gln(C)) ; iv) A est la matrice de Gram de n vecteurs x₁, ..., x_n (resp. d’une base).

Proposition 3 : Soit u un endomorphisme hermitien positif. Il existe un unique endomorphisme hermitien positif v tel que v² = u . On l’appelle racine carrée de u, et on le note v = u = u^1/2 . Si u et u ' sont positifs et commutent, on a ( u o u' )^1/2 = u^1/2 o u' ^1/2 .

Si u est défini positif, u^1/2 aussi et (u^1/2)⁻¹ = (u⁻¹)^1/2 .

Preuve : Cette proposition est l’un des rares exemples où l’existence est plus facile à établir que l’unicité. Pour montrer l’unicité, on pourra noter que si v est autoadjoint positif, v et v² ont mêmes espaces propres.

Exemple : calculer la racine carrée de A =





− 2 1

i i _.

3.5. Exercices.

Dans les exercices suivants, on note H⁺(E), resp H⁺⁺(E), l’ensemble des endomorphismes hermitiens positifs, resp. définis positifs, de E.

Exercice 17 : norme triple d’un endomorphisme.

On munit LLLL(E) de la norme subordonnée à la norme hermitienne : ||| f ||| = sup{ x

x f )(

; x ≠ 0 }. 1) Soit u un endom. hermitien positif ; exprimer ||| u ||| à l’aide des valeurs propres de u ; 2) Même question pour un endomorphisme hermitien ;

3) Même question pour un endomorphisme quelconque f. [ Noter que || f(x) ||² = (f*of(x) | x) ]. 4) Montrer que ||| f ||| = sup

{

| (f(x) | y) | ; ||x|| ≤ 1 et ||y|| ≤ 1 }.

5) Établir que ||| f* ||| = ||| f ||| et ||| f |||² = ||| f*o f |||.

Exercice 18 : norme de Frobenius d’un endomorphisme.

1) Soit f ∈ LLLL(E). Montrer que || f || = tr( off* )est une norme sur LLLL(E). De quel produit scalaire dérive-t-elle ? Est-ce une norme subordonnée ? Montrer que || f* || = || f || et || f o g || ≤ || f ||.|| g ||.

2) Comparer cette norme à la norme étudiée précédemment, d’un double point de vue : i) Trouver les meilleures constantes d’encadrement.

ii) Laquelle est la plus commode?

Exercice 19 : Montrer que H⁺(E) est un cône convexe fermé de H(E), H⁺⁺(E) un cône convexe ouvert, et que H⁺⁺(E) est exactement l’intérieur de H⁺(E).

Exercice 20 : Soit f ∈LLLL(E, F). Montrer que f* o f ∈HHHH⁺(E) et vérifie Ker f = Ker( f*o f ) , Im f* = Im( f* o f ) et rg f = rg( f*o f ).

Exercice 21 : critère de Jacobi-Sylvester.

Soit A ∈ Hn(C). Pour 1 ≤ k ≤ n, on note ∆_k(A) = det(a_ij)_1≤i,j≤k les mineurs principaux de A.

Montrer que : A est définie positive ⇔ (∀k) ∆_k(A) > 0 .

[ Indication : faire une récurrence sur n ; on peut utiliser Fischer-Courant.]

Exercice 22 : Montrer que u → u²est un homéomorphisme de H⁺_(E).

Exercice 23 : Soit u ∈ HHHH⁺(E). Montrer que u^1/2 est un polynôme de u (dépendant de u).

Exercice 24 : itérations de Héron d’Alexandrie... matricielles.

Soit u ∈ HHHH⁺⁺(E). On définit la suite (v_k) d’endomorphismes de E par : v₀ = Id_E , v_k+1 =

2 1_{( v}

k + u o (v_k)⁻¹ ) .

Montrer que (v_k) est définie et converge vers u^1/2 en décroissant à partir du rang 1 (voir ex.

suivant).

Exercice 25 : On se place dans l’espace vectoriel réel HHHH(E) de dimension n².

1) Montrer que u ≤ v ⇔ v − u ∈ HHHH⁺(E) est une relation d’ordre compatible avec la structure vectorielle de HHHH(E), i.e. telle que : u ≤ v ⇒ u + w ≤ v + w et α.u ≤ α.v ∀w∈HHHH(E) , ∀α ≥ 0 . 2) Montrer que u ≤ v ⇒ f* o u o f ≤ f* o v o f (∀f ∈LLLL_{(E)) .}

3) Montrer que dans H(E), toute suite croissante majorée converge .

4) Notant Sp u = { λ₁ ≥λ₂≥ ... ≥ λ_n } et Sp v = { µ₁ ≥µ₂ ≥ ... ≥µ_n } les spectres de u et v, montrer que u ≤ v ⇒ λ₁ ≤ µ₁ et λ_n ≤ µ_n , et plus généralement u ≤ v ⇒ λ_k ≤ µ_k (∀k) [ Utiliser la théorie de Fischer-Courant. ]

Ainsi, chaque fonction u → λ_k(u) est croissante de HHHH(E) dans R.

Les exercices suivants explorent les relations entre endomorphismes unitaires et hermitiens.

Exercice 26 : Soit f ∈LLLL(E). Montrer l’équivalence :

f est hermitien et ||| f ||| ≤ 1 ⇔ ∃ u unitaire tel que f = 2

* u u+ _.

En déduire que tout élément de LLLL(E) est combinaison linéaire d’au plus 4 automorphismes unitaires.

Exercice 27 : Montrer que l’application f → exp(i.f) de LLLL(E) dans Gl(E) induit une surjection continue de l’ensemble des endomorphismes hermitiens sur celui des automorphismes unitaires.

Exercice 28 : transformation de Cayley.

1) Quelle est l’image de la droite réelle par l’homographie z → i z

i z+− _?

2) En déduire que h → ( h − i.I )o( h + i.I )⁻¹ met en bijection l’ensemble des endomorphismes hermitiens de E et l’ensemble des endomorphismes unitaires dont le spectre ne contient pas 1.

4. Réduites de Schur, endomorphismes normaux.

Dans ce §, nous revenons aux endomorphismes quelconques d’un espace hermitien, et démontrons un théorème de trigonalisation... qui va permettre de retrouver simplement tout ce qui précède !

4.1. Réduites de Schur d'un endomorphisme.

Théorème de Schur⁵ : Soit E un espace hermitien. Tout endomorphisme f de E est trigonalisable dans une base orthonormée de E, dite base de Schur de f.

5 Issaï Schur (1875-1941), mathématicien allemand d’origine russe. Elève de Frobenius, il enseigna à Bonn et Berlin de 1911 à 1935. Les lois raciales l’obligèrent à abandonner sa chaire. Il put gagner la Palestine en 1939, et mourut à Tel Aviv. Il avait fait des travaux sur les représentations linéaires des groupes, en algèbre, analyse et théorie des nombres.

Démonstration : On sait que f est trigonalisable dans une base BBBB de E. Si l’on orthonormalise cette base au sens de Gram-Schmidt, la matrice de f restera trigonale supérieure, puisque le drapeau de sev f-stables ne change pas.

Corollaire : Soit A ∈ Mn(C). Il existe une matrice unitaire P ∈ Un(C) telle que P⁻¹.A.P = P*.A.P soit trigonale supérieure.

Exercice 1 : Réductions de Schur des matrices



 3 4

3 2 _et



 0 2

i i _. Exercice 2 : Soient P = Xⁿ +

∑

⁻

= 1

0

.

n

k kXk

a un polynôme complexe, z₁, …, z_n ses racines comptées avec leur multiplicité. Montrer que

∑

= n

k

zk 1

2≤ n − 1 +

∑

⁻

= 1

01 n 2 k

ak . Cas d’égalité.

4.2. Endomorphismes normaux.

Du théorème de Schur découlent aussitôt les théorèmes spectraux relatifs aux endomorphismes unitaires et hermitiens :

− Si u est hermitien, soit B une base orthonormée trigonalisant u : Mat(u ; BBBB) = T est trigonale supérieure. Mais alors Mat(u* ; BBBB) = T* est trigonale inférieure... tout en étant égale à T ! Elle est donc diagonale réelle ! cqfd.

− Si u est unitaire, soit BBBB une base orthonormée trigonalisant u : Mat(u ; BBBB) = T est trigonale supérieure. Mais alors Mat(u* ; BBBB) = T* est trigonale inférieure... tout en étant égale à T⁻¹ , qui est trigonale supérieure ! Elle est donc diagonale ! Et sa diagonale est formée de complexes tels que a.a = 1, donc unitaires. cqfd.

Endomorphismes hermitiens et unitaires rentrent dans la classe des endomorphismes normaux : Définition 1 : Un endomorphisme f ∈ LLLL(E) est dit normal s’il commute à son adjoint

f* o f = f o f*.

La matrice A ∈ M_n(C) est dite normale si A*.A = A.A*.

Les matrices normales contiennent les matrices diagonales, unitaires, hermitiennes et anti- hermitiennes complexes, et en particulier les matrices orthogonales, symétriques et anti- symétriques réelles. A noter que



 + +

0 1

1 0

i

i est normale sans appartenir à ces classes.

Théorème (Toeplitz) : Tout endomorphisme normal diagonalise dans une base orthonormée.

Corollaire : Soit A ∈ Mn(C) une matrice normale. Il existe une matrice unitaire P ∈ Un(C) telle que P⁻¹.A.P = P*.A.P = diag(λ₁, ..., λ_n) soit diagonale.

Preuve : Il existe plusieurs preuves de ce théorème.

La plus directe, quoique un peu calculatoire, est celle-ci : on commence par choisir une base de Schur de f : Mat(f ; BBBB) = T est alors trigonale supérieure. En écrivant T*.T = T.T*, et en examinant avec soin les identités obtenues en égalant les éléments diagonaux, on trouve que T est diagonale : essayez pour n = 3, puis généralisez !

Les deux premiers exercices fournissent d’autres preuves de ce théorème.

Exercice 3 : Soit f un endomorphisme normal de E.

1) i) Montrer que Ker f = Ker f* ;

ii) Si a est valeur propre de f , a est valeur propre de f* et : f(x) = a.x ⇔ f*(x) = a.x ;

iii) Si a et b sont deux valeurs propres distinctes de f, Ker( f − a.I ) ⊥ Ker( f − b.I ) ; iv) Si F est un sev stable à la fois par f et f*, il en est de même de F^⊥.

2) Déduire de ces lemmes que E est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres de f, et que f est diagonalisable dans une base orthonormée.

Exercice 4 : Soit f un endomorphisme de E, u = 2

* f f+

et v = i

f f

2

− *

ses parties réelle et imaginaire hermitiennes.

1) Montrer que f est normal ⇔ u et v commutent ;

2) En déduire que f est diagonalisable dans une base orthonormée.

Exercice 5 : Réductions orthonormées de



 1 1

i i ,



 + +

0 1

1 0

i

i , 



 





− −

−− − i i i

2 1 0111 10

2 , 



 





+ +

−

−+ + − +

−+ − + − i i iii ii i i

5 1 2 2

1 2 4 2 2 2 25 2 2 1

1 .

Exercice 6 : Soit f ∈LLLL(E). Montrer l’équivalence des propriétés : i) f est normal ;

ii) Tout sous-espace F f-stable est aussi f*-stable ; iii) Pour tout sous-espace F f-stable, F^⊥ est aussi f-stable ; iv) ∃P ∈ C[X] f* = P(f).

v) tr( f o f* ) =

∑

|λ_i|² , où Sp f = { λ₁ , λ₂ , ... , λn} . Exercice 7 : localisation du spectre.

Soit A = (a_ij) ∈ M_n(C) une matrice complexe, de valeurs propres λ1, ..., λn . 1) Soit A = B + i.C la décomposition hermitienne de A, où B =

2

*

A+A _{et C =} i

A A

2

− *_. On note β1≥ ... ≥ βn les valeurs propres de B, et γ1≥ ... ≥ γn celles de C.

Montrer que : (∀j) β1≥ Re λj≥βn et γ1≥ Im λj≥γn (Bendixson, 1901).

[ Indication : considérer ^tX AX pour X convevable. ] 2) Montrer que

∑

= n

j j 1

λ ² ≤

∑

≤

≤ij n j

ai , 1

, ² , avec égalité ssi A est normale (Schur, 1909).

Les quatre problèmes suivants concernent indifféremment les espaces euclidiens ou hermitiens ; pour le premier, si E est euclidien, remplacer HHHH_{(E) par} SSSS_(E).

__________

Problème 1 : décomposition polaire d’un isomorphisme.

1) Soit f ∈ Gl(E). Montrer que f s’écrit de manière unique sous la forme f = r_g o u_g, où r_g est auto-adjoint défini positif, et u_g unitaire. Montrer que l’application (r, u) → r o u est un homéomorphisme de H⁺⁺(E)×U(E) sur Gl(E) (décompostion polaire à gauche de f).

2) Soit f ∈ Gl(E). Montrer que f s’écrit de manière unique sous la forme f = u_do r_d, où r_d est auto-adjoint défini positif, et u_d unitaire. Montrer que l’application (r, u) → u ^o r est un homéomorphisme de H⁺⁺(E)×U(E) sur Gl(E) (décompostion polaire à droite de f).

3) Montrer que u_g = u_d. 4) Application ⁶ :

6 Signalée par Jean-Claude Sifre il y a fort longtemps.

Soit A ∈ Mn(R) antisymétrique réelle et inversible, décomposée sous la forme A = S.O, où S est symétrique réelle définie positive et O est orthogonale. Montrer que O² = − I .

Problème 2 : décomposition de Schmidt d’une application linéaire.

Soient E et F deux espaces hermitiens de dimensions respectives p et n, f ∈

L

_{(E, F).}

Montrer qu’il existe des bases orthonormées BBBB_{E = (a1, ..., ap) et} BBBB_{F = (b1, ..., bn}) respectives de E et F, et des réels s₁≥ s₂≥ ... ≥ s_r > 0 tels que :

(∀x ∈ E) f(x) =

∑

= r

i

si 1

.(a_i | x).b_i .

[ Indication : Supposer le problème résolu, vérifier qu’alors (∀y ∈ F) f*(y) =

∑

= r

i

si 1

.(b_i | y).a_i , et calculer f*o f. Considérer alors f*o f , et noter que Ker(f* o f) = Ker f , et rg(f*o f) = rg f . ]

Traduire matriciellement le résultat obtenu.

Problème 3 : distances matricielles.

M_n(C) est muni de la norme hermitienne || A || = tr(A*A) =

∑

^aij².

Soient A ∈ M_n(C), λ1, λ2, …, λn ses valeurs propres comptées avec leur ordre de multiplicité.

On note d(A) = inf { || P⁻¹.A.P || ; P ∈ Gl_n(C)} la distance de O à la classe de similitude de A.

1) Montrer que d(A) ≥

∑

λ^i².

2) Montrer que d(A) =

∑

λ^{i² [} Indication : trigonaliser A dans une base (e₁, …, e_n), puis dans la base (e₁, t.e₂, …, tⁿ⁻¹.e_n).]

3) Montrer que A est diagonalisable ss’il existe P ∈ Gln(C) telle que || P⁻¹.A.P || =

∑

λ^i². 4) Soit (B_k) une suite de matrices tendant vers B. Montrer que si rg B_k ≤ p pour tout k, alors rg B ≤ p.

5) Montrer que A est diagonalisable ssi sa classe de similitude est fermée dans M_n(C).

Problème 4 : hausdorffien d’un endomorphisme.

Soient E un espace hermitien de dimension n, S sa sphère unité. Pour tout endomorphisme u de E, on appelle hausdorffien de u l’ensemble H(u) = { (x | u(x)) ; x ∈ S }.

1) Montrer que H(u) est une partie compacte et connexe par arcs de C, contenant Sp u.

2) Montrer que si u est un endomorphisme normal, H(u) est l’enveloppe convexe de Sp u ; cas où u est unitaire, hermitien ?

3) Caractériser les u tels que H(u) = {a}.

¶ 4) Montrer que si dim E = 2, H(u) est un disque elliptique de foyers λ et µ,valeurs propres de u.

5) On revient au cas général ; déduire de 4) que H(u) est convexe.

6) Application : Soient E un espace euclidien de dimension n, f et g deux endomorphismes de E. Montrer que H = { ((f(x) | x), (g(x) | x)) ; x ∈ E, ||x|| = 1} est un disque elliptique si n = 2 (éventuellement dégénéré en un segment ou un point), et un ensemble convexe si n > 2.

___________

Annexe Annexe Annexe

Annexe : Mécanique quantique, matrices hermitiennes et… : Mécanique quantique, matrices hermitiennes et… : Mécanique quantique, matrices hermitiennes et… : Mécanique quantique, matrices hermitiennes et…

fonction zêta de Riemann.

fonction zêta de Riemann.

fonction zêta de Riemann.

fonction zêta de Riemann.

Selon le formalisme mathématique de la mécanique quantique, les niveaux d’énergie d’un système atomique sont les valeurs propres d’un opérateur hermitien dans l’espace de Hilbert, le

« hamiltonien » du système. Lorsque le système atomique contient beaucoup de particules élémentaires, il y a une profusion de niveaux d’énergie et le hamiltonien est trop complexe pour être calculé numériquement. C’est pourquoi dans les années 1950, le physicien Eugen Wigner⁷ a eu l’idée de modéliser la distribution des niveaux d’énergie d’un tel hamiltonien par les valeurs propres d’une matrice hermitienne aléatoire de grande taille. Wigner espérait que les propriétés statistiques des niveaux d’énergie, par exemple la distribution de leurs écarts, coïncideraient avec celle des écarts des valeurs propres des matrices aléatoires. De nombreux travaux théoriques et expérimentaux ont confirmé la pertinence de cette intuition.

Précisément, notons Gue(N) (Gaussian unitary ensemble) l’espace HN des matrices hermitiennes complexes de taille N, muni de la mesure de probabilités gaussienne standard, dont la densité est (2π)^−N²/2.exp(−Tr(M²)/2) par rapport à la mesure de Lebesgue sur HN . A l’issue d’un ingénieux calcul, Wigner a montré que la répartition des valeurs propres de la matrice aléatoire M converge vers une loi appelée loi du demi-cercle de Wigner. Si x₁, …, x_N sont les valeurs propres de M rangées dans un ordre quelconque, pour toute fonction f continue symétrique à support compact, on a : E[

∑

= N

j j

N f x

N1 ₁ ( )_{] →} f x x .dx 2

² ) 4

2 (

∫

₋⁺2 ⁻

_π

quand N tend vers l’infini.

Or, en 1972, le mathématicien Hugh L. Montgomery, de l’université du Michigan, s’inté-ressait à la distribution des zéros de la fonction ζ de Riemann sur la droite critique Re s = ½. On sait depuis Hardy (1914) que cette fonction a une infinité de zéros sur cette droite, symétriques par rapport à l’axe réel. On les note traditionnellement ½ + i.γn , et on avait pu en calculer un grand nombre, avec une grande précision. Comme on sait, Riemann a conjecturé que, hormis –2, –4, – 6, etc. , tous les zéros de la fonction ζ sont situés sur cette droite critique. Admettant cette conjecture, Montgomery s’intéressa à la répartition asymptotique des écarts γ − γ’ où les (γ , γ’) sont les couples de parties imaginaires de zéros situés dans cette droite critique. Notant N_a,b(T) le nombre de couples (γ, γ’) ∈ [0, T²] vérifiant

T a ln

2

π

_{≤ γ−γ’ <}

T b ln

2

π

, où 0 < a < b, il fut amené à conjecturer que : N_a,b(T) = ^{T2. Tln}

π

^.

{ ∫

_a^b[1−(sin

_π

_u

^π

^{u)²].du + o(1)}

^}

^.

Montgomery fit une conférence à Princeton sur ce sujet, et rencontra à cette occasion le physicien Freeman J. Dyson. A son grand étonnement, celui-ci lui apprit que le comportement asymptotique qu’il avait observé était exactement le même que celui des écarts des valeurs propres de grandes matrices hermitiennes. Il y aurait donc un lien entre nombres premiers et probabilités.

Depuis lors, ce lien a été approfondi, et des calculs récents menés par Andrew Odlyzko (Bell Laboratory) ont confirmé les observations de Montgomery. Ils confortent la conjecture de Polya et Hilbert selon laquelle les parties imaginaires γn des zéros de la fonction ζ seraient les valeurs propres d’un opérateur hermitien d’un espace de Hilbert. Cependant, cet opérateur n’a pas encore été découvert, et ces liens restent en grande partie conjecturaux.

7 Eugen Wigner (1902-1994), physicien américain d’origine hongroise (comme son camarade de classe J. von Neumann), a reçu le prix Nobel de physique en 1963 pour ses contributions à la physique mathématique et à la mécanique quantique, à la théorie du solide et à la physique des particules.