3.2 N o tio n d e c o n ve rg e n c e e t lim ite d ’u n e su ite

Chapitre 3

Suites num ´ eriq ues

Le bu t de cette partie est de pr´esen ter u n e ´etu de rig ou reu se des su ites de n ombres r´eels. O n in trodu ira ici la n otion de con verg en ce q u i est u n con cept majeu r en A n alyse et on in sistera n otammen t su r son u tilisation comme moyen d’approch er par ex emple certain s n ombres irration n els par des n ombres ration n els. O n don n era en su ite q u elq u es ex emples pou r illu strer la m´eth ode d’it´eration su ccessive en mon tran t commen t les su ites con verg en tes peu ven t ˆetre u tilis´ees pou r approch er les n ombres r´eels solu tion s de certain es ´eq u ation s n on lin ´eaires.

3.1 In tro d u c tio n a u x n o m b re s r´ e e ls

La con stru ction des n ombres r´eels n e fait pas partie du prog ramme de cette premi`ere p´eriode, mais elle est essen tielle d’u n poin t de vu e con ceptu el pu isq u e tou te l’A n alyse math ´ematiq u e est fon d´ee su r l’ex isten ce et les propri´et´es du corpsRdes n ombres r´eels.

Il n ou s a don c sembl´e u tile d’essayer de don n er au lecteu r cu rieu x et in t´eress´e u n e id´ee de ce q u e son t les n ombres r´eels san s pou r au tan t l’en combrer avec des con sid´eration s trop tech n iq u es.

Les n ombres r´eels son t con n u s et u tilis´es dan s les calcu ls depu is fort lon g temps.

La d´ecou verte du premier n ombre irration n el √

2 date probablemen t de l’´epoq u e de Pyth ag ore (V I^esi`ecle av. J .C .). M ais il a fallu atten dre la fi n du X I X<sup>e</sup>si`ecle pou r q u e les math ´ematicien s comme Pean o, D edek in d et C an tor n otammen t abou tissen t par u n e d´emarch e rig ou reu se `a la premi`ere con stru ction du corps des n ombres r´eels.

O n a d’abord d´efi n i les n ombres en tiers n atu rels de man i`ere ax iomatiq u e (Pean o) pu is `a partir des n ombres en tiers n atu rels, on a con stru it su ccessivemen t les n ombres en tiers relatifs, les n ombres ration n els et en fi n les n ombres r´eels et les n ombres com- plex es. Il au ra don c fallu atten dre en viron 25 si`ecles pou r q u e l’on abou tisse `a la belle ch ain e d’in clu sion s su ivan te :

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.

Parmi ces in clusion s c’est bien en ten du l’in clusion Q⊂Rq ui est la plus myst´erieuse et la plus d´elicate. C ’est celle-l`a q ue n ous allon s ten ter d’ex plorer dan s cette premi`ere section .

A v e rtisse m e n t :S eul le con ten u du paragraph e 1.3 de cette section est obligatoireet doit ˆetre compris du lecteur ´etudian t. C epen dan t il lui est con seill´e de lire les autres paragraph es au gr´e de sa curiosit´e et de son besoin d’approfon dissemen t.

3.1.1 In su ffi sa n c e d u c o rp s d e s n o m b re s ra tio n n e ls (facultatif)

N ous supposeron s con n us l’en sembleNdes en tiers n aturels mun i de deux op´eration s in tern es, l’addition n ot´ee + et la multiplication n ot´ee·ayan t les propri´et´es h abituelles et d’un e relation d’ordre total compatible¹avec les op´eration s in tern es ayan t la propri´et´e fon damen tale q ue toute partie n on vide deNadmet un plus petit ´el´emen t.

O n en d´eduit imm´ediatemen t par sym´etrisation de l’addition l’en semble Z des n ombres en tiers ration n els (ou relatifs) q ui con tien tN.

R apellon s q ue l’en sembleZest mun i de deux op´eration s in tern es, l’addition n ot´ee + et la multiplication n ot´ee·q ui poss`eden t un certain n ombre de propri´et´es bien con n ues q ue n ous n e rappelon s pas ici mais q ui se r´esumen t en disan t q ue (Z,+,·) est un an n eau com m u tatif in t`egre.

D e plus la relation d’ordre surZs’´eten d n aturellemen t `a l’en semble Qet en fait un corps commutatif totalemen t ordon n ´e.

Parmi les n ombres ration n els il y a les n ombres d´ecimaux q ui s’´ecriven t sous la formen10^m, o`un∈Zetm∈Z.

L a relation d’ordre sur Qposs`ede un e propri´et´e simple mais importan te q ue n ous n ous allon s rappeler.

P ro p o sitio n ((P rop ri´et´e d ’A rch im `ed e)).

S oita∈Qetb∈Qaveca >0. A lors il ex iste un en tierN ∈Ntel q ueN a > b.

D´e m o n stra tio n . E n eff et sib≤0 la propri´et´e est trivialemen t vraie avec N= 1.

S upposon s q ue b >0. A lors la relation N a > bs’´ecritN > ba⁻¹. C omme ba⁻¹∈Qet q ueba⁻¹ >0, il s´ecritba⁻¹=p/ q,avecp, q∈N^∗et l’en tierN :=p+ 1 v´erifi e l’in ´egalit´e

N > p≥p/ q.

C ette propri´et´e sign ifi e q ue dan s Q il y a des n ombres ration n els aussi petit q ue l’on veut. O n dit q ue (Q,+,·,≤) est un corp s (commutatif) arch im´edien .

O n s’est aper¸cu assez tˆot q ue pour les besoin s de la g´eom´etrie classiq ue par ex emple, le corpsQdes n ombres ration n els est in suffi san t. Il lui man q ue certain s n ombres r´eels ditsirration n els don t les plus c´el`ebres son t √

2 et π; en fait il est plein de “ trous” , en un sen s q ue n ous allon s ten ter d’ex pliq uer.

1Cette n o tio n sera p r´ec is´em en t d´efi n ie p lu s lo in (p ro p ri´et´e 3 , p a g e 6 2 ).

Donnons un premier ex emple simple q ui illustre ce ph´enom`ene. O n sait depuis Py - thagore (plus de 5 0 0 ans avant J .C .) q ue la longueur de l’hy poth´enuse d’un triange rectangle dont les cˆot´es mesurent une unit´e de longueur est une grandeur num´eriq ue

`(mesur´ee avec la mˆeme unit´e) v´erifi ant l’´eq uation `² = 1²+ 1² = 2. C e nombre est facile `a construire `a la r`egle et au compas et pourtant nous allons d´emontrer q u’il n’est pas rationnel.

Proposition.

Il n’ex iste pas de nombre rationnelx∈Qtel q uex²= 2.

D´e m o n stra tio n . Pour d´emontrer cette propri´et´e, on raisonne par l’absurde en sup- posant le contraire pour aboutir `a une contradiction. E n eff et supposons q u’il ex iste un nombre rationnelx tel q ue x<sup>2</sup> = 2. C omme (−x)<sup>2</sup> = 2, on peut supposer x > 0 . E crivonsx =p/ q sous forme irr´eductible, o`up, q sont des entiers positifs non nuls et premiers entre eux tels q uex² = 2. A lors p² = 2q², ce q ui veut dire q ue p² est entier pair. C ela impliq ue q uepest pair, en eff et le carr´e d’un nombre entier impairn= 2k+1 est un nombre entier impair puisq uen²= (2k+ 1)² = 4k²+ 4k+ 1 = 2(2k²+ 2k) + 1 est impair. Par cons´eq uent, il ex iste un entierp⁰tel q uep= 2p⁰. Il en r´esulte q ueq²= 2p⁰², ce q ui impliq ue de la mˆeme fa¸con q ueqest pair. A insipetq sont pairs donc divisibles par 2 et donc la fractionp/ qn’est pas irr´eductible, ce q ui est une contradiction.

E n fait le raisonnement pr´ec´edent peut se g´en´eraliser en utilisant le th´eor`eme fon- damental de l’arithm´etiq ue ( T h´eor`eme d’E uclide) pour d´emontrer q ue sim∈Nest un nombre entier naturel q ui n’est pas le carr´e d’un autre entier (e.g. un nombre premier) alors l’´eq uationx²=mn’a pas de solution dansQ.

E n conclusion, on peut dire q ue l’ensemble Q des des nombres rationnels poss`ede des “ trous” et ne suffi t pas pour traiter des probl`emes simples de g´eom´etrie classiq ue.

3.1.2 L e s n o m b re s irra tio n n e ls e x iste n t r´e e lle m e n t (facultatif)

N ous avons vu au paragraphe pr´ec´edent q ue le corps des rationnels est incomplet en ce sens q u’il lui manq ue beaucoup d’´el´ements.

E n eff et nous avons d´emontr´e q u’il n’ex iste pas de nombre rationnel dont le carr´e est

´egal `a 2. A utrement dit la gra n d e u r r´e e lle co n stru ctib le `not´ee √

2 dont le carr´e est 2 n’est pas un nombre rationnel. Il est bien connu des ly c´eens q ue la spirale de Py thagore permet de construire successivement `a la r`egle et au compas toutes les grandeurs r´eelles dont le carr´e est un entier naturelm∈N^∗.

M ais alors est-il possible de donner des valeurs rationnelles ou d´ecimales approch´ees de ces grandeurs (lorsq u’elles ne sont pas enti`eres) avec une pr´ecision donn´ee ?

C ’est pr´ecis´emment ce q ue nous allons voir. N ous allons donner un proc´ed´e as- sez simple permettant par ex emple de construire des nombres rationnels (et mˆeme d´ecimaux ) dont le carr´e est arbitrairement voisin de 2 par d´efaut et des nombres ra- tionnels (d´ecimaux ) dont le carr´e est arbitrairement voisin de 2 par ex c`es. C es nombres

d´ecimau x sero n t appel´es respectivemen t des approx im an ts d´ecim au x par d´efau t et des approx im an ts d´ecim au x par ex c`esde la gran deu r r´eelle`. C ’est dan s ce sen s l`a q u e √

2 ex iste !

N o u s allo n s appliq u er leproc´ed´e de dich otom iepo u r d´emo n trer cette pro pri´et´e. C e pro c´ed´e s’appliq u e de la mˆeme fa¸co n po u r o b ten ir des appro x iman ts d´ecimau x de √

m lo rq u emn ’est pas le carr´e d’u n en tier.

E n eff et o b servo n s d’ab o rd q u e sia, b∈Qso n t des n o mb res ratio n n els (d´ecimau x ), la mo yen n e arithm´etiq u er= (a+b)/2∈Qest u n n o mb re ratio n n el (d´ecimal) v´erifi an t a < r < b.

C ho isisso n s deu x n o mb res ratio n n els (d´ecimau x ) a0, b0 ∈ Q+ tels a²₀ < 2 < b²₀. L e n o mb re a0 (resp. b0) peu t ˆetre co n sid´er´e co mme u n premier appro x iman t ratio n - n el (d´ecimal) par d´efau t ( resp. par ex c`es) de la gran deu r g´eo m´etriq u e ` so lu tio n de l’´eq u atio n x²= 2.

C o n sid´ero n s en su ite le n o mb re ratio n n el (d´ecimal) m0 := ^a0+b₂ ⁰ est repr´esen t´e g´eo m´etriq u emen t par le milieu du segmen t [a0, b0]. A lo rs, pu isq u e l’´eq u atio n x² = 2 n ’a pas de so lu tio n dan s Q, il n ’y a q u e deu x cas po ssib les :

– O u b ien m²0<2 dan s ce cas o n po se a1:=m0 etb1:=b0. – O u b ien m²₀>2, au q u el cas o n po sea1:=a0 et b1 :=m0.

D an s to u s les cas o n o b tien t u n n o u veau co u ple (a1, b1) de n o mb res ratio n n els ((d´ecimau x )) po sitifs v´erifi an ta0≤a1< b1≤b0, a²₁<2< b²₁ et tels q u e b1−a1= ^b0−₂^a0.

O n o b tien t ain si u n n o u vel appro x iman t ratio n n el (d´ecimal) par d´efau t a1 de la gran deu r`tel q u ea<sup>2</sup><sub>1</sub>so it u n e valeu r appro ch´ee par d´efau t de 2 et u n n o u vel appro x iman t ratio n n el par ex c`es b1 de la gran deu r `tel q u e b<sup>2</sup>1 so it u n e valeu r appro ch´ee par ex c`es de 2 v´erifi an t b1 −a1 = ^b0−₂^a0, ce q u i impliq u e q u e l’u n e au mo in s des deu x valeu rs d´ecimales appro ch´ees o b ten u es est plu s pr´ecise q u e chacu n e des deu x valeu rs appro ch´ees pr´ec´eden tes.

E n it´eran t ce pro c´ed´e de dicho to mienfo is, o n co n stru it su ccessivemen t des appro x i- man ts ratio n n els (d´ecimau x ) par d´efau ta0≤a1≤. . .≤an<√

2 et des appro x iman ts ratio n n els (d´ecimau x ) par ex c`es b0 ≥ b1 ≥ . . .≥ b<sup>n</sup> de la mˆeme gran deu r`= √

2 tels q u e au ran gn o n aita²n<2< b²n et l’´ecart en tre les deu x appro x iman ts est do n n ´e par eⁿ:=bⁿ−aⁿ= ^b0₂^−na0.

G rˆace `a la pro pri´et´e d’A rchim`ede de Q, ´etan t do n n ´e ε ∈ Q^∗₊, o n peu t tro u ver u n en tier n ∈ N^∗ tel q u e ^b0₂^−na0 < ε; il su ffi t po u r cela de pren dre n > (b0−a0)/

ε pu isq u e 2ⁿ > n. A in si aⁿ et bⁿ so n t des appro x iman ts ratio n n els (d´ecimau x ) q u i do n n en t des valeu rs ratio n n elles (d´ecimales) appro ch´ees `a ε−pr`es par d´efau t et par ex c`es respectivemen t de la gran deu r`.

E n co n clu sio n , d’u n po in t de vu e g´eo m´etriq u e il ex iste b ien u n e gran deu r r´eelle mais n o n ratio n n elle`n o t´ee√

2 do n t le carr´e est 2. C ette gran deu r peu t ˆetre appro ch´ee par des n o mb res ratio n n els au ssi b ien par d´efau t q u e par ex c`es avec u n e pr´ecisio n ε >0 do n n ´ee `a l’avan ce. C ette gran deu r sera repr´esen t´ee par u n n o mb re r´eel irratio n n el

´el´emen t d’u n n o u vel en semb le q u e n o u s allo n s d´efi n ir main ten an t.

On voit ainsi q ue pour appr´eh ender l’´eventuelle solution de l’´eq uation x² = 2, du point de vue des nom b res rationnels, on est naturellem ent c onduit `a c onsid´erer les ensem b les suivants :D:=Q<sub>−</sub>∪ {r ∈Q+|r<sup>2</sup>≤2}et E:={r ∈Q+|r<sup>2</sup> >2}, o`u Q₋ etQ+ d´esig nent l’ensem b le des nom b res rationnels n´eg atifs et positifs respec tivem ent.

On ob serve alors q ue le c ouple (D, E) poss`ede les propri´et´es rem arq uab les suivantes : (C .1 ) L es ensem b les Det Eform ent une partition de Q.

(C .2) Pour tout (a, b)∈D×E,on aa < b.

(C .3 ) Pour tout ε∈Q^∗₊ il ex iste (a, b)∈D×E tel q ue 0< b−a≤ε.

L es deux prem i`eres propri´et´es ex prim ent l’id´ee intuitive q ue tous les approx im ants rationnels possib les du “ futur nom b re irrationnel” positif solution de l’´eq uationx<sup>2</sup>= 2, se r´epartissent en deux ensem b les disjoints : l’ensem b leDdes approx im ants rationnels par d´efaut de c e “ futur nom b re irrationnel” positif et l’ensem b leEde ses approx im ants rationnels par ex c`es.

L a propri´et´e (C .3 ) se traduit en disant q ue les deux parties D et E sont adjacen tes et ex prim e q u’id´ealem ent le m eilleur des “ approx im ants rationnels” par d´efaut tend `a c o¨ınc ider avec le m eilleur des “ approx im ants rationnels” par ex c`es et q ue leur valeur id´eale c om m une est le nom b re r´eel q ui m anq ue entre tous les rationnels dont le c arr´e est m oins q ue 2 et c eux dont le c arr´e est plus q ue 2. E nfi n un trou c om b l´e !

Ob servons q u’une des c ons´eq uenc es de la c onstruc tion pr´ec´edente est q ue dans l’ensem b le totalem ent ordonn´e des nom b res rationnels il n’y a pas de plus g rand ap- prox im ant rationnel par d´efaut ni de plus petit approx im ant rationnel par ex c`es. C ’est pr´ec is´em ent c e g enre de lac une q ui fait deQun c orps totalem ent ordonn´e “ inc om plet” . D ans c e c as pr´ec is c ’est le “ nom b re id´eal” repr´esent´e par c ette “ c oupure” (D, E) q ui repr´esentera dans l’ensem b le des c oupures la solution, not´ee √

2 de l’´eq uationx² = 2.

Il ex iste une c onstruc tion de Rb as´ee sur la notion de “ c oupure” due `a D edek ind.

Par d´efi nition, uneco u pu re deQest un c ouplec= (D, E) de parties deQv´erifi ant les trois propri´et´es (C .1 ), (C .2) et (C .3 ) c i-dessus.

On peut d´em ontrer g rˆac e au princ ipe de dich otom ie q ue la propri´et´e (C .3 ) est une c ons´eq uenc e des deux autres propri´et´es.

On d´esig nera parCl’ensem b le des c oupures deQ. L ’ensem b leDposs`ede la propri´et´e suivante : si d ∈ D alors {x ∈ Q|x ≤ d} ⊂ D. On dira q ue D est une sec tion c om m en¸c ante : c ’est la sec tion c om m en¸c ante de la c oupurec= (D, E). L ’ensem b le E poss`ede la propri´et´e duale suivante : sie∈E,{y∈Q|y≥e} ⊂E. On dira q ueE est une sec tion fi nissante : c ’est la sec tion fi nissante de la c oupurec.

A insi une c oupure est un c ouple (A, B) de parties de Qform ant une partition de Qen deux parties adjacen tes telles q ueAsoit une sec tion c om m en¸c ante,Bune sec tion fi nissante dans Q .

C ’est ainsi q ue par d´efi nition √

2 est la c oupure (D₀, E₀), o`u D₀ := Q₋ ∪ {r ∈ Q+ |r²≤2} etE0:={r∈Q+ |r²>2}.

Ob server q ue dans c et ex em pleD0 est une partie non vide et m ajor´ee deQq ui n’a pas de plus g rand ´el´em ent et q ueE0 est une partie non vide et m inor´ee de Qq ui n’a

pas de plus petit ´el´emen t.

Tout n ombre ration n els∈Qd´efi n it de fa¸con n aturelle un e coupure deQ`a savoir la coupures:= (s<sup>−</sup>, s<sup>+</sup>), o`u s⁻:={r∈Q|r≤s}et s⁺ :={r ∈Q|r > s}.

O bserver q ue dan s ce cas la partie s⁻ poss`ede un plus gran d ´el´emen t q ui est pr´ecis´emen t salors q ue la partie s⁺ n ’a pas de plus petit ´el´emen t.

E n fait un e coupure c= (A, B) de Qest en ti`eremen t d´etermin ´ee par l’un e de ses deux section s A ou B puisq u’elles son t compl´emen taires l’un e de l’autre dan s Q i.e.

A=B en n otan tBle compl’emen taire deBdan sQ. O n peut don c d´efi n ir un eco u p u re deQcomme un e section fi n issan te ouverte deQi.e.un e partieB⊂Qtelle q ueB6=∅ etB6=Q, n ’ayan t pas de plus petit ´el´emen t et v´erifi an t la propri´et´e suivan te :

∀b∈B,∀x∈Q, b≤x=⇒x∈B.

Il en r´esulte q ue sa partie compl´emen taire B est un e section commen ¸can te et q ue les deux parties (B, B) son t adjacen tes i.e.∀a∈B, ∀b∈B, a < b.

O n d´esign era parC ⊂ P(Q) l’en semble des coupures deQ. U n e coupureB∈ Csera dite ra tio n n elle si par d´efi n ition sa partie compl´emen taire B a un plus gran d ´el´emen t s= max B. D an s ce cas on a B=s⁺ etB=s⁻. Il en r´esulte q ue l’application :

ι:Q→ C

q ui `a un n ombre ration n el s ∈ Q associe la section fi n issan te ouverte q u’il d´efi n it ι(s) :=s<sup>+</sup> ={x∈Q|x > s}est un e application in jective q ui permet d’iden tifi er Q `a un sous-en sembleι(Q) deC. U n e coupureB∈ Csera diteirra tio n n ellesi par d´efi n ition sa section compl´emen taireB n ’a pas de plus gran d ´el´emen t. C ’est ain si q ue la coupure

√2 est irration n elle.

Il est est facile de d´efi n ir un e relation d’ordre surC. S iB, B⁰∈ C, on dira q ueB≤B⁰ si et seulemen t siB⁰ ⊂ B ou en core en terme de section s commen ¸can tes B ⊂ B⁰. Il est ´eviden t q ue cette relation est un e relation d’ordre sur C q ui prolon ge celle de Q modulo l’in den tifi cation en tre les n ombres ration n els et les coupures ration n elles q u’ils d´efi n issen t. O n d´emon trer san s trop de diffi cult´ees q ue C mun i de la relation d’ordre ain si d´efi n ie est en semble totalemen t ordon n ´e, arch im´edien dan s leq uel toute partie n on vide et min or´ee deC admet un e born e in f´erieure. L ’objectif est don c en partie attein t.

Il r´esulte de cette d´efi n ition q u’un n ombre r´eelx est un e coupure deQrepr´esen t´ee par la section fi n issan te ouverte form´ee de tous les n ombres ration n els strictemen t plus gran d q uexet don txest la born e in f´erieure. Par passage au compl´emen taire on obtien t la section commen ¸can te don txest la born e sup´erieure. C elle-ci a un plus gran d ´el´emen t (q ui sera ´egal `ax) si et seulemen t sixest ration n el.

C ette con struction permet de fa¸con n aturelle de repr´esen ter g´eom´etriq uemen t l’en - semble des n ombres r´eels par les poin ts d’un e droite orien t´ee sur laq uelle on a ch oisi un e origin e repr´esen tan t le n ombre r´eel 0 et un sen s positif repr´esen tan t la relation d’ordre surR. L a propri´et´e (C .3 ) ex prime alors la propri´et´e de “ con tin uit´e” de l’en semble des n ombres r´eels `a l’image des poin ts d’un e droite.

Observo ns ´egalement q ue la pro pri´et´e (C .3) ex prime co mme no us le verro ns q ue to ut no mbre r´eelc peut ˆetre appro ch´e, aussi bien par d´efaut q ue par ex c`es, par des no mbres ratio nnels avec une erreur aussi petite q ue l’o n veut.

L a partie la plus d´elicate et la plus techniq ue de cette co nstructio n est celle q ui co nsiste `a munir C d’une additio n + et d’une multiplicatio n · co mpatibles avec la relatio n d’o rdre ci-dessus de telle so rte q ue (C,+,·) so it un co rps co mmutatif do nt Q est un so us-co rpsi.e.ιest un ho mo mo rphisq me de co rps.

On peut d´emo ntrer q ue cela est po ssible, mais no us o mettro ns to us ces d´etails q ui ne sero nt pas utiles dans la suite et no us admettro ns le th´eo r`eme suivant do nt les termes sero nt ex pliq u´es en d´etail au paragraphe suivant.

T h ´e o r`e m e (T h ´eo r`em e d e D ed ek in d ).

L ’ensembleC des co upures deQ au sens de D edek ind peut ˆetre muni d’une structure de co rps co mmutatif archim´edien co mplet.

C e no uvel ensemble C muni de sa structure de co rps co mmutatif, to talement o r- do nn´e, archim´edien “ co mplet” sera no t´eRet appel´e le co rp s d e n o m b res r´eels.

3.1.3 L e c o rp s d e s n o m b re s r´e e ls (obligatoire)

E n fait dans la pratiq ue , la fa¸co n do nt o n a d´efi ni l’ensemble des no mbres r´eels impo rte peu. C e q ui est impo rtant et do it ˆetre co nnu ce so nt les pro pri´et´es du co rps des no mbres r´eels et cette id´ee intuitive q u’il s’o btient `a partir deQen bo uchant to us les tro us (certains ´etant plus faciles `a bo ucher co mme √

2 q ue d’autres co mmee etπ).

A utant il est facile de co mprendre le no mbre irratio nnel√

2 en termes de co upure, autant il est vain d’essayer de chercher `a q uelle co upure co rrespo nd le no mbre r´eelπ. E n fait, no us verro ns q ue to ut no mbre r´eel admet un d´ecimal illimit´e, ce q ui est une fa¸co n plus naturelle et plus pratiq ue de pr´esenter les no mbres r´eels : c’est ainsi q ue

√2 = 1,4 14 2135 6 2· · ·, e = 2,7 18 28 18 28· · · et π = 3,14 15 9 26 5 4 · · ·. L a co nstructio n des no mbres r´eels bas´ee sur les d´evelo ppements d´ecimaux illimit´es, q uo iq ue naturelle, n’en est pas mo ins d´elicate et techniq uement so phistiq u´ee (vo ir l’o uvrage de r´ef´erence C o urs de M ath´ematiq ues L 1 to ut en un).

Il en r´esulte q ue l’ensemble o rdo nn´eRo btenu ainsi peut ˆetre repr´esent´e g´eo m´etriq uement par une dro ite o rient´ee munie d’une o rigine O symbo lisant le no mbre r´eel 0. C haq ue no mbre r´eelxest alo rs repr´esent´e par un po int uniq ueM de la dro ite de telle so rte q ue six >0 (resp.x <0) le segmentOM so it o rient´e po sitivement (resp. n´egativement) et sa lo ngueur so it ´egale `ax(resp. −x). Il en r´esulte q ue l’ensembleRest d’une certaine fa¸co n “ co ntinu” (sans tro u) `a l’image de la dro ite q ui le repr´esente g´eo m´etriq uement.

C ette pro pri´et´e se traduit par le fait q ue l’ensemble R est co m p let co mme cela sera ex pliq u´e ci-desso us.

Nous admettron s dan s c e c ours q u’il ex iste un en semb le R c on ten an t Q mun i de deux op´eration s in tern es l’addition n ot´ee + et la multiplic ation n ot´ee·et d’un e relation d’ordre total n ot´ee≤q ui ´eten den t les op´eration s in tern es et la relation d’ordre c orres- pon dan tes surQ de telle sorte q ue (R,+,·,≤) soit un co rp s co m m u ta tif a rch im ´ed ien co m p letdan s le sen s o`u les propri´et´es suivan tes son t satisfaites.

P ro p ri´et´e 1 : L ’addition + surRv´erifi e les propri´et´es suivan tes : (1) ∀x∈R,∀y∈R,∀z∈R, x+ (y+z) = (x+y) +z

(a sso cia tiv it´e de l’addition ).

(2 ) ∀x∈R, x+ 0 = 0 +x=x

(ex isten c e de l’´el´em en t n eu tre pour l’addition ).

(3 ) Pour toutx∈R, il ex istex⁰∈Rtel q uex+x⁰=x⁰+x= 0.

C e n omb re r´eel est un iq ue, on le n otex⁰=−xet on l’applle l’o p p o s´e dex.

(4) ∀x∈R,∀y∈R, , x+y=y+x (co m m u ta tiv it´ede l’addition ).

C es 4 propri´et´es se r´esumen t en disan t q ue (R,+,·) est un g ro u p e a belien (ou c om- mutatif).

P ro p ri´et´e 2 : L a multiplic ation (ou produit) n ot´ee· v´erifi e les propri´et´es suivan tes : (5 ) ∀x∈R,∀y∈R,∀z∈R, x·(y·z) = (x·y)·z

(a sso cia tiv it´e de la multiplic ation ).

(6 ) ∀x∈R, x·1 = 1·x

(ex isten c e de l’´el´em en t u n it´e).

(7 ) Tout x∈R\ {0}admet un in v ersen ot´ex⁻¹∈Rtel q uex·x⁻¹=x⁻¹·x= 1.

(8 ) ∀x∈R,∀y∈R,∀z∈R, , x·(y+z) =x·y+x·z

(d istrib u tiv it´e de la multiplic ation par rapport `a l’addition ).

(9) ∀x∈R,∀y∈R, , x·y=y·x (co m m u ta tiv it´ede la multiplic ation ).

L es propri´et´es 1 `a 9 se r´esumen t en disan t q ue (R,+,·) est un co rp s co m m u ta tif.

Nous allon s main ten an t d´ec rire les propri´et´es de la relation d’ordre ≤ sur le c orps Rdes n omb res r´eels et sa c ompatib ilit´e avec les op´eration s alg ´eb riq ues.

P ro p ri´et´e 3 : L a relation d’ordre≤sur Rv´erifi e les propri´et´es suivan tes : (10) Pour tout x∈Rety∈R, on a ou b ien x≤y ou b ien y≤x

(≤ est un erela tio n d ’o rd re to ta l).

(11) Pour tout x∈R, y∈Retz∈Ron ax≤y=⇒x+z ≤y+z (co m p a tib ilit´e d e l’a d d itio n avec la relation d’ordre).

(12) Po u r to u t x∈R, y∈Retz∈R+ o n ax≤y=⇒x·z≤y·z (co m p a tibilit´e d e la m u ltip lica tio n avec la relatio n d’o dre).

(13 ) Po u r to u t x ∈ R et to u t y ∈ R^∗₊ il ex iste u n en tier N > 1 tel q u e N ·y > x (P ro p ri´et´e d ’A rch im `ed e).

L es pro pri´et´es de (1) `a (13 ) se r´esu m en t en disan t q u e (R,+,·,≤) est u n co rp s co m m u ta tif a rch im ´ed ien.

Po u r ´en o n cer la dern i`ere pro pri´et´e q u i ex prim e q u eRest co m plet (“ san s tro u s” ) et q u i distin g u eRdeQ, rappelo n s q u elq u es d´efi n itio n s su ppl´em en taires (sectio n 1.2.3 du ch apitre 1).

O n dit q u ’u n e partie A ⊂ R est dite m in o r´ee (resp. m a jo r´ee) si par d´efi n itio n il ex iste u n n o m bre r´eelm∈Rtel q u e po u r to u ta∈A,o n m≤a(resp. a≤m). U n tel n o m bre r´eel est appel´eu n m in o ra n t (resp. u n m a jo ra n t) de A.

Il fau t o bserver q u e simest u n m in o ran t (resp. m ajo ran t) deA, alo rs to u t n o m bre r´eelm⁰ < m (resp. m⁰ > m est en co re u n m in o ran t (resp. m ajo ran t) de A. S iA ⊂R est u n e partie n o n vide et m in o r´ee deR, o n appelle alo rs labo rn e in f´erieu redeAdan s Rle n o m bre r´eel le plu s g ran d parm i to u s les m in o ran ts de A, lo rsq u ’il ex iste. O n le n o te in fA. O n d´efi n it de fa¸co n an alo g u e la bo rn e su p ´erieu re d’u n e partie n o n vide et m ajo r´eeA⊂Rco m m e le n o m bre r´eel le plu s petit de to u s les m ajo ran ts deA, lo rsq u ’il ex iste. O n le n o te su pA.

P ro p ri´et´e 4 : (P ro p ri´et´e d e la bo rn e su p ´erieu re).

(14 ) To u te partieA⊂Rn o n vide et m ajo r´ee deRpo ss`ede u n e bo rn e su p´erieu re.

C ette pro pri´et´e est rem arq u able et lo in d’ˆetre ´eviden te. E lle affi rm e q u e siA⊂Rest u n e partie n o n vide et m ajo r´ee deR, il ex iste u n n o m bre r´eelS∈Rtel q u e l’en sem ble des m ajo ran ts deA so it u n in tervalle ferm ´e de la fo rm e [S,+∞[. C ’est ce n o m bre r´eel Sq u i est le plu s petit des m ajo ran ts deAet q u e l’o n appelle la bo rn e su p´erieu re deA. Il en r´esu lte q u e to u te partie n o n vide et m in o r´ee deRadm et u n e bo rn e in f´erieu re (en eff et mest u n m in o ran t de A si, et seu lem en t si, −m est u n m ajo ran t de −A:=

{−a|a∈A}et do n c in fA=−su p(−A)).

O n r´esu m e les pro pri´et´es (1) `a (14 ) en disan t q u e (R,+,·,≤) est u n co rps co m m u ta- tif arch im ´edien co m p let. O n d´em o n tre q u ’u n tel co rps estu n iq u e`a iso m o rph ism e pr`es.

O n n e s’attach era do n c pas `a u n e co n stru ctio n pr´ecise du co rps des n o m bres r´eels m ais plu tˆo t `a ses pro pri´et´es telles q u ’elles so n t ´en o n c´ees ci-dessu s et n o tam m en t la pro pri´et´e de la bo rn e su p´erieu re. C ’est pr´ecis´em en t cette pro pri´et´e q u i m an q u e `aQpu isq u e n o u s avo n s d´eja o bserv´e q u e l’en sem ble{x∈Q+|x<sup>2</sup>≤2}est u n e partie n o n vide et m ajo r´ee deQq u i n e po ss`ede pas de bo rn e su p´erieu re dan s Q. C e m an q u e tradu it d’u n e m an i`ere plu s pr´ecise le fait d´eja o bserv´e lo rs de l’applicatio n du pro c´ed´e de dich o to m ie, q u ’il n ’y a pas de m eilleu r appro x im an t ratio n n el par d´efau t de la so lu tio n de l’´eq u atio n x²= 2.

Dans la suite no us auro ns beso in de la c arac t´erisatio n suivante de la bo rne sup´erieure.

Proposition ((Caract´erisatio n d e la bo rn e su p ´erieu re)).

S o it A ⊂ R une partie no n vide et m ino r´ee de R, alo rs le no m bre r´eel supA est c arac t´eris´e par les c o nditio ns suivantes :S= supAsi et seulem ent si :

(i) Po ur to utx∈A, x≤S,

(ii) po ur to ut ε >0, il ex iste a∈Atel q ueS−ε < a≤S.

L a pro pri´et´e (i) traduit le fait q ueS est un m ajo rant de Aet la pro pri´et´e (ii) traduit le fait q ue to ut no m bre r´eelS⁰(=S−ε)< Sn’est pas un m ajo rant deAautrem ent dit q ueS est le plus petit des m ajo rants deA.

N o us allo ns m aintenant intro duire q uelq ues no tio ns q ui r´esultent de c es pro pri´et´es et q ui sero nt utiles dans la suite.

Va le u r a b solu e su r R. Po ur to ut x∈R, o n d´efi nit la valeur abso lue de xc o m m e

´etant le plus g rand des deux no m bres r´eelsx et−x:

|x|:= m ax{x,−x},

c e q ui sig nifi e q ue|x|=xsix≥0 et|x|=−xsix≤0 de so rte q ue|x| est to ujo urs un no m bre r´eel po sitif.

Vo ic i les pro pri´et´es essentielles de la valeur abso lue : (V1 ) ∀x∈R,∀y∈R, |x·y|=|x| · |y|.

(V2 ) ∀x∈R,∀y∈R, |x+y| ≤ |x|+|y|, (in ´eg alit´e trian g u laire).

(V3 ) |x|= 0⇐⇒x= 0.

C es pro pri´et´es perm ettent d’ex prim er la no tio n de vo isinag e et de pro x im it´e dans R. E n eff et so it a ∈ R un no m bre r´eel fi x ´e et ε > 0 un no m bre r´eel po sitif do nn´e.

A lo rs, un no m bre r´eel variablexv´erifi e|x−a| ≤εsi et seulem ent sixv´erifi e la do uble in´eg alit´ea−ε≤x≤a+ε. A utrem ent ditxest `a une distanc e de deaau plus ´eg ale `a ε. L ’ensem ble ainsi o btenu :

I(a, ε) :={x∈R|a−ε≤x≤a+ε}= [a−ε, a+ε],

est appel´e l’in terv alle ferm ´e d e cen treaet d e ray o n ε. O n peut aussi c o nsid´erer l’in terv alle o u v ert d e cen tre d e cen trea et d e ray o n εd´efi ni c o m m e suit :

I(a, ε) :={x∈R|a−ε < x < a+ε}= ]a−ε, a+ε[.

Pa rtie e n ti`e re d ’u n n o m b re r´e e l. Soit x∈R. D ’apr`es la propri´et´e d’A rch im`ede, il ex iste u n entier N ∈N tel q u eN > x. Par cons´eq u ent l’ensemble des entiers p≤x est major´e parN,il admet donc u n plu s g rand ´el´ement not´ebxc.Par d´efi nitionbxcest l’u niq u e entiern∈Z v´erifi ant les in´eg alit´es n≤ x < n+ 1. L e nombre entier n=bxc est appel´e lapa rtie en ti`ere dex. O bserver q u en+ 1 est le plu s petit entierN > x.

Voici u ne propri´et´e importante q u i est u ne cons´eq u ence facile de la constru ction de R.

T h ´e o r`e m e.

Pou r tou s nombres r´eels a, b tels q u e a < b, il ex iste u n nombre rationnelr ∈ Q (et donc u ne infi nit´e) tel q u ea < r < b.

O n ex prime cette propri´et´e en disant q u e l’ensembleQestden sedans R.

D´e m o n stra tio n . O n ch erch e deu x nombres entiers p∈ Zet q ∈ N^∗ tels q u ea < p/

q < b i.e. qa < p < qb. Pou r ce faire, on commence par ch oisir, g rˆace `a la propri´et´e d’A rch im`ede, il ex iste u n entierq > 1 tel q u eq(b−a)>1. A lors l’entier p:= [qa] + 1 v´erifi eqa <[qa] + 1≤qa+ 1< qbet doncqa < p < qbde sorte q u e le nombre rationnel

p/qconvient.

L ’ensemble des nombres rationnels R\Qposs`ede la mˆeme propri´et´e.

C o ro lla ire.

Pou r tou s nombres r´eels a, btels q u e a < b,il ex iste u n nombre irrationnelc∈ R\Q (et donc u ne infi nit´e) tel q u ea < c < b.

D´e m o n stra tio n .E n eff et d’apr`es le th ´eor`eme pr´ec´edent, il ex iste u n nombre rationnel r∈Qtel q u e a/√

2< r < b/√

2, au trement dita < r√

2< b. C omme √

2∈/ Q, on en d´edu it q u er√

2∈/Q, ce q u i prou ve la propri´et´e vou lu e.

O n sait q u ’il est possible de “ d´enombrer” les nombres rationnels i.e. d’associer

`

a ch aq u e rationnel u n nombre entier natu rel (u n nu m´ero en q u elq u e sorte) de fa¸con biu nivoq u e ou en d’au tres termes d’´etablir l’ex istence d’u ne bijection entre N et Q.

O n dira q u e Q est d´en o m b ra b le. Par contre on a d´emontr´e q u e l’ensemble R n’est pas d´enombrablei.e.q u e si on essayait de q u elq u e mani`ere q u e ce soit d’attribu er u n

“ nu m´ero diff ´erent” `a ch aq u e nombre r´eel, apr`es ´epu isement de tou s les entiers, on en ou blierait forc´ement au moins u n (voir ex ercices). Il en r´esu lte q u e R\Q n’est pas d´enombrable, ce q u i en d’au tres termes sig nifi e q u ’il y a beau cou p plu s de nombres irrationnels q u e de nombres rationnels.

3.1.4 A la re n c o n tre d e √

2 (facultatif)

L a constru ction des nombres r´eels est essentielle d’u n point de vu e th ´eoriq u e mais elle ne permet pas dans la pratiq u e de faire des calcu ls ais´es su r les nombres r´eels ou

de les co mparer, no tamment lo rsq u ’ils so nt irratio nnels. Po u r manipu ler les no mbres r´eels et faire des calcu ls nu m´eriq u es u tilisables dans les applicatio ns, no u s devo ns no u s co ntenter le plu s so u vent de les approch er par des no mbres ratio nnels (o u d´ecimau x ) avec u ne pr´ecisio n au ssi grande q u e l’o n veu ti.e.u ne erreu r au ssi petite q u e l’o n veu t.

C o mme no u s l’avo ns d´ej`a o bserv´e au paragraphe pr´ec´edent, le pro bl`eme g´eo m´etriq u e le plu s simple co ndu it `a la r´eso lu tio n de l’´eq u atio n alg´ebriq u e no n lin´eaire la plu s simple x²= 2.

N o u s avo ns d´ej`a o bserv´e q u e cette ´eq u atio n n’a pas de so lu tio n dansQ, mais q u ’elle a u ne so lu tio n u niq u e dansR+ no t´ee √

2.

N o u s avo ns d´ej`a mo ntr´e su r cet ex emple simple co mment, grˆace au pro c´ed´e de dicho to mie, o n peu t d´eterminer dans la pratiq u e u ne valeu r appro ch´ee ratio nnelle (et mˆeme d´ecimale) de√

2 avec u ne pr´ecisio n do nn´ee `a l’avance.

M etto ns en pratiq u e cette id´ee po u r mo ntrer co mment les “ su ites co nvergentes”

apparaissent de mani`ere natu relle po u r fo u rnir des valeu rs appro ch´ees de√

2 avec u ne estimatio n pr´ecise de l’erreu r d’appro x imatio n ; la no tio n decon v erg en ce d e su ites´etant la fo rmalisatio n math´ematiq u e de l’id´ee intu itive d’appro x imatio n.

E n eff et, co nsid´ero ns par ex emple a0 := 1,4 et b0 := 1,5 q u i so nt des valeu rs appro ch´es d´ecimales par d´efau t et par ex c`es de√

2, pu isq u e (1,4)² <2<(1,5)².O n a alo rs a0∈Q+, b0∈Qeta0<√

2< b0.

O n a vu q u ’au bo u t denit´eratio ns, l’erreu r par d´efau t o u par ex c`es est do min´ee par (b0−a0)·2⁻ⁿ = 10⁻¹·2⁻ⁿ. S i l’o n so u haite d´eterminer u ne valeu r appro ch´ee d´ecimale de√

2 `a 10<sup>−3</sup> pr`es par ex emple (i.e.avec deu x d´ecimales ex actes), il su ffi t de cho isir n tel q u e 10⁻¹·2⁻ⁿ ≤10⁻³; il su ffi t de prendren= 7 et les no mbres d´ecimau x a7 et b7 fo u rniro nt u ne valeu r appro ch´ee par d´efau t et par ex c`es respectivement de √

2 avec u ne erreu r au plu s ´egale `a 1/128 0 = 0,0008 <10⁻³.

E n eff et o n alo rs m0 = 1,45 > √

2 et do nc o n prend do nc a1 = a0 = 1,4 et b1 = m0 = 1,45 de so rte q u e m1 = 1,425 > √

2. O n prend alo rs a2 = a1 = 1,4 et b2 = m1 = 1,425 de so rte q u e m2 = 1,4125 < √

2. O n po se alo rs a3 = m2 = 1,4125 et b3 = b2 = 1,425 de so rte q u e m3 = 1,418 75 > √

2. O n po se alo rs a4 = a3 = 1,4125 et b4 = m3 = 1,418 75 de so rte q u e m4 = 1,415625 > √

2. O n po se alo rs a5 = a4 = 1,4125 et b5 = m4 = 1,415625 de so rte q u e m5 = 1,4140625 < √

2.

O n po se alo rs a6 = m5 = 1,4140625 et b6 = b5 = 1,415625 > √

2 de so rte q u e m6= 1,4148 4375 >√

2. O n po se alo rs a7=a6 = 1,4140625 et b7=m6= 1,4148 4375 de so rte q u em7= 1,414453125>√

2 et do nca8= 1,4140625 etb8= 1,414453125. C e q u i impliq u e q u e 1,4140625<√

2<1,414453125.

O n vo it clairement q u e ce n’est q u ’apr`es 6 it´eratio ns q u e l’o n o btient des valeu rs appro ch´ees de √

2 avec deu x d´ecimales ex actes et u ne erreu r au plu s ´egale `a 0,0016 et q u e ce n’est q u ’`a la septi`eme it´eratio n q u e l’erreu r est r´edu ite `a mo ins de 0,0008 <

10⁻³ et q u e l’o n o btient u ne valeu r appro ch´ee avec 3 d´ecimales ex actes. O n peu t do nc affi rmer q u e √

2 ≈ 1,414 `a 10<sup>−3</sup>−pr`es par d´efau t ce q u i signifi e q u e 1,414 < √ 2 <

1,414 + 10⁻³ = 1,415.

L e pro c´ed´e de dicho to mie est assez simple mais il “ co nverge lentement” co mme o n

l’a vu su r l’ex emple pr´ec´eden t. C epen dan t il permet de lo caliser la so lu tio n cherch´ee dan s u n in tervalle assez petit et s’appliq u e ´eg alemen t dan s d’au tres situ atio n s.

Po u r l’appro x imatio n de la racin e carr´ee, n o u s do n n ero n s u n au tre pro c´ed´e q u i

“ co n verg e plu s vite” i.e.q u i permet d’attein dre u n e valeu r appro ch´ee ratio n n elle (d´ecimale) avec la mˆeme pr´ecisio n en beau co u p mo in s d’it´eratio n s.

E n to u t cas cet ex emple simple mo n tre clairemen t co mmen t les su ites co n verg en tes apparaissen t de fa¸co n n atu relle dan s la recherche d’u n e valeu r appro ch´ee de la racin e carr´ee.

Po u r do n n er u n sen s rig o u reu x au x co n sid´eratio n s heu ristiq u es pr´ec´eden tes, n o u s allo n s in tro du ire les co n cepts deco n v erg en ceet delim ited’u n e su ite, ´etu dier les mo yen s d’´etablir cette co n verg en ce en do n n an t des r`eg les de calcu l des limites dan s la pratiq u e.

3.2 N o tio n d e c o n ve rg e n c e e t lim ite d ’u n e su ite

O n rappelle q u ’u n e su ite de n o mbres r´eels est u n e applicatio n u : N → R q u i `a chaq u e en tiern∈ Nasso cie u n n o mbre r´eelu(n) en co re n o t´e un. O n parle alo rs de la su ite (un)n≥0. L e n o mbre r´eel un est appel´e le terme de ran g n de la su ite (un)n≥0. Il arrive q u e l’applicatio n uso it d´efi n ie su r u n e partie in fi n ieI ⊂N, o n parle dan s ce cas de la su ite (un)n∈I in dex ´ee parI.

3.2.1 S u ite s c o n ve rg e n te s

N o u s allo n s in tro du ire u n co n cept fo n damen tal en A n alyse q u ’il fau dra bien maitri- ser.

D´e fi n itio n.

O n dit q u e la su ite (uⁿ)ⁿ≥0 c o n ve rg e dan s Rs’il ex iste u n n o mbre r´eel`∈Rtel q u e po u r to u tε >0, il ex iste u n ran g N ≥1 tel q u e, po u r to u tn≥N, o n ait|un−`| ≤ε. O n dira dan s ce cas q u e (uⁿ)ⁿ≥0 co n v erg evers `.

Il y a plu sieu rs remarq u es impo rtan tes `a faire `a pro po s de cette d´efi n itio n . C o m- men ¸co n s d’abo rd par d´emo n trer la pro pri´et´e ´el´emen taire su ivan te :

P ro p o sitio n.

S o it (uⁿ)ⁿ≥0 u n e su ite de n o mbres r´eels q u i co n verg e vers `. A lo rs le n o mbre r´eel`est u n iq u e. O n l’appelerala lim ite de la su ite (un)ⁿ∈N et o n ´ecrira `= lim<sup>n</sup>→+∞un. D´e m o n stra tio n .E n eff et, su ppo so n s q u e la su ite (u<sup>n</sup>) co n verg e vers `1 ∈Ret`2∈R et so itε >0 u n n o mbre r´eel arbitraire. E n appliq u an t la d´efi n itio n de la co n verg en ce `a chacu n de ces n o mbres r´eels, o n abo u tit `a l’ex isten ce d’u n en tierN1≥1 (resp.N2≥1) tel q u e po u r to u t n ≥ N1 (resp. n ≥ N2) o n ait |un−`1| ≤ ε (resp. |un−`2| ≤ ε).

Po so n s N := max{N1, N2}et ´ecrivo n s `1−`2= (`1−uN) + (u<sup>N</sup>−`2). E n appliq u an t l’in ´eg alit´e trian g u laire, o n o btien t |`1−`2| ≤ |`1−uN|+|uN−`2|. Il en r´esu lte g rˆace

au cho ix deN q ue|`1−`2| ≤ε+ε= 2ε. C o mmeε >0 est arb itraire, il en r´esulte q ue

|`1−`2|= 0 d’o `u`1=`2.

Remarques.

1) L o rsq ue la suite (un)n≥0 co n verg e vers `, la co n ditio n |un −`| ≤ ε se traduit, en raiso n de la pr´esen ce de la valeur ab so lue, par un e do ub le in ´eg alit´e`−ε≤un≤`+ε q ui ex prime le fait q ue un est vo isin de``a ε−pr`es `a partir d’un certain ran g N, d’o `u l’impo rtan ce de la valeur ab so lue dan s la d´efi n itio n de la co n verg en ce. A utremen t dit la suite (un)n≥0 co n verg e lo rsq ue ses termes so n t arb itrairemen t vo isin s de sa limite `

`

a partir d’un certain ran g .

2) D an s les applicatio n s, lo rsq u’un e suite (un) co n verg e, il arrive so uven t q u’elle do n n e n aissan ce `a un n o uveau n o mb re r´eel`q ue l’o n n e co n n ait pas `a prio ri. L o rsq ue ε >0 est do n n ´e, l’en tier N `a partir duq uel o n a la do ub le in ´eg alit´e |un−`| ≤ ε, est alo rs impo rtan t, puisq u’il fo urn it le premier termeuN q ui v´erifi e |uN −`| ≤ε. O n dira q ue uN est un e valeur appro ch´ee (o u un e appro x imatio n ) de ` `a ε pr`es. L e n o mb re r´eel ε do it ˆetre assez petit et repr´esen te l’erreur max imale co mmise dan s l’appro x imatio n de`parun. Il est dan s ce cas impo rtan t de tro uver le plus petit en tier N(ε) v´erifi an t cette pro pri´et´e. Il repr´esen te le n o mb re min imum d’o p´eratio n s permettan t de calculer

``a ε−pr`es.

C epen dan t po ur d´emo n trer q u’un e suite co n verg e, il n e faut pas cherher `a tro uver le plus petit des en tiers N(ε) satisfaisan t aux ex ig en ces de la d´efi n itio n , ce q ui peut ˆetre assez co mpliq u´e, il suffi t d’en tro uver un .

3 ) L o rsq u’un e suite co n verg e, to us ses termes o n t ten dan ce `a s’accumuler arb itraire- men t pr`es (i.e.`a ε pr`es, ε´etan t arb itraire) d’un mˆeme n o mb re r´eel `a savo ir sa limite,

`

a l’ex ceptio n d’au plus un n o mb re fi n i d’en tre eux N.

Il en r´esulte q ue la n ature d’un e suite (co n verg en ce o u n o n ) ain si q ue sa limite, lo rs- q u’elle ex iste, n e chan g e pas si l’o n mo difi e o u supprime un n o mb re fi n i de termes de cette suite. Par ex emple, si p ≥ 1 est un en tier fi x ´e, la suite tro n q u´ee au ran g p,(un+p)n≥0 est de mˆeme n ature q ue la suite (un)n≥0 et a la mˆeme limite lo rsq u’elle ex iste (`a v´erifi er !).

D o n n o n s q uelq ues ex emples simples po ur illustrer et man ipuler ces d´efi n itio n s.

E x emp les.

1 U n e suite (un)n≥0 est dite co n sta n te s’il ex iste c ∈ R tel q ue un = cpo ur to ut n≥0.L a suite (un)n≥0est ditesta tio n n a ires’il ex iste un ran g p≥0 et un n o mb re r´eelc∈ Rtels q ueun =c po ur to utn ≥p. D an s ce cas la suite co n verg e vers c (`a d´emo n trer en utilisan t la d´efi n itio n ).

2 L a suite (1/ n)n≥1 co n verg e vers 0. E n eff et po ur to ut ε > 0 do n n ´e, d’apr`es la pro pri´et´e d’A rchim`ede, il ex iste un en tier N > 1 tel q ue N > 1/ ε. Il en r´esulte

que si n ≥ N o n a 0 < 1/ n ≤ 1/ N ≤ ε. L e plus petit en tier v´erifi an t cette pro pri´et´e ´etan t N(ε) := [1/ ε] + 1. E n fait la pro pri´et´e d’A rch im`ede n e dit rien d’autre que : la suite (1/ n)n≥1 co n verg e vers 0.

3 S ip≥ 1 est un en tier fi x ´e, la suite (1/ n^p)n≥0 co n verg e vers 0. E n eff et, co mme pr´ec´edemmen t, en po san t N = [1/ ε^{1/ p}] + 1, o n o b tien t 1/ n^p ≤ 1/ N^p ≤ ε,po ur to utn≥N.

4 Po so n s un :=_n+^2n√_n po urn≥0 et mo n tro n s que limn→+∞un= 2.

E n eff et po urn≥1, o n a : un= 2n

n+√

n = 2(n+√

n)−2√ n n+√

n = 2− 2√

n n+√

n. D ’o `uun−2 =−_n+^2√√n_n et do n c|un−2| ≤ ^√2_n, po ur to utn≥1.

S o it ε >0, po ur avo ir l’in ´eg alit´e |un−2| ≤ε, il suffi t d’avo ir l’in ´eg alit´e ^√2_n ≤ε i.e.n >4/ ε². Po ur cela il suffi t de po serN= [4/ ε²] + 1. A lo rs po urn≥N,o n a

√2

n ≤εet do n c po urn≥N,o n a|un−2| ≤ε. C e qui pro uve n o tre assertio n . 3.2.2 L im ite s in fi n ie s

L o rsqu’un e suite (un)n≥0 n e co n verg e pas, o n dira par d´efi n itio n qu’elled iv erg e. E n fait lo rsqu’un e suite diverg e, elle peut avo ir des co mpo rtemen ts tr`es vari´es. N o us allo n s d´ecrire un ty pe de co mpo rtemen t qui est ´etro itemen t li´e `a la n o tio n de co n verg en ce (vo ir ex ercice 2).

D´e fi n itio n.

1) O n dit qu’un e suite (un)n≥0 de n o mb res r´eels te n d ve r s +∞si po ur to ut n o mb re r´eelA >0 il ex iste un ran g N >1 tel que po ur to utn≥N,o n aitun≥A. O n dira aussi que la suite (un)n∈N^∗ a po ur limite +∞et o n ´ecrira dan s ce cas limn→+∞un = +∞. 2) O n dit que la suite (un)n≥0 te n d ve r s −∞ si po ur to ut n o mb re r´eelA >0 il ex iste un ran g N >1 tel que po ur to ut n ≥ N,o n ait un ≤ −A. O n dira aussi que la suite (un)n∈N^∗ a po ur limite−∞et o n ´ecrira dan s ce cas limn→+∞un=−∞.

O n peut faire les mˆemes remarques `a pro po s de cette d´efi n itio n que celles faites `a pro po s de la co n verg en ce. O b servo n s que la suite (un)n≥0 ten d vers −∞ si, et seule- men t si, la suite (−un)n≥0 ten d vers +∞. U n e suite ten d vers +∞lo rsque ses termes devien n en t arb itrairemen t g ran ds `a partir d’un certain ran g . C ette pro pri´et´e n e ch an g e pas si o n mo difi e o u supprime un n o mb re fi n i de termes de la suite. L e lien en tre les deux n o tio n s de limites (fi n ies et in fi n ies) sera ´etab li plus lo in .

D o n n o n s quelques ex emples po ur illustrer cette d´efi n itio n .

Exemples.

(1) S o itp≥1 u n en tier fi x ´e. A lo rs o n a :

n→+∞lim n^p= +∞.

E n eff et, so itA >0,alo rs en po san t N=bA^{1/ p}c+ 1, o n en d´edu it q u e po u r to u t en tiern≥N,o n an^p≥N^p≥A,c e q u i pro u ve q u e :

n→lim+∞n^p= +∞.

(2 ) S o ita >1 u n n o m b re r´eel. M o n tro n s q u e :

(3 .1) lim

n→+∞aⁿ= +∞.

E n eff et, po so n s b := a−1 de so rte q u e b > 0 et a = 1 +b et v´erifi o n s par r´ec u rren c e q u e po u r to u tn∈N,o n a :

(3 .2 ) (1 +b)ⁿ ≥1 +n·b.

E n eff et c ette in ´eg alit´e est ´eviden te po u r n = 0. S u ppo so n s q u ’elle so it v´erifi ´ee po u r u n en tier n ≥ 0. A lo rs o n en d´edu it q u e (1 +b)ⁿ⁺¹ = (1 +b)·(1 +b)ⁿ ≥ (1 +b)·(1 +n·b) = 1 +b+n·b+n·b² ≥1 + (n+ 1)·b, c e q u i pro u ve do n c l’in ´eg alit´e (3 .2 ) au ran g n+ 1.

Po u r d´em o n trer (3 .1), fi x o n s A > 0 arb itraire et po so n s N = bA/ bc+ 1. A lo rs po u r to u tn≥N,o n an·b > N·b > A.Par su ite d’apr`es (3 .2 ), o n en d´edu it q u e po u r to u tn≥N,o n a (1 +b)ⁿ > A,c e q u i pro u ve (3 .1).

Mod u le U E 8 : C in q u i` e m e fe u ille d e T D

Suites num ´eriq ues

Exercice 1 .

1) D´em o n tre r e n u tilisan t la d´efi n itio n q u e la su ite d´efi n ie parxn:= (−1)ⁿ, po u rn∈N n e co n ve rg e pas.

2 ) E tu die r la su ite d´efi n ie paryn := (−1)ⁿ/ npo u r n∈N^∗. 3 ) E tu die r la su ite d´efi n ie parzn:= (1/ n) sin (2πn/3 ) po u rn≥1.

Exercice 2 .

1) D´em o n tre r q u e si (un) a po u r lim ite +∞ o u −∞ alo rs il e x iste u n ran g N ≥ 1 te l q u e po u r to u tn≥N,un 6= 0 e t q u e la su ite (1/ un)n≥N co n ve rg e ve rs 0.

2 ) S o it (un)n≥0 u n e su ite de n o m b re s r´ee ls q u i co n ve rg e ve rs 0. O n su ppo se q u ’il e x iste u n ran g N ≥ 1 te l q u e un > 0 po u r to u t n ≥ N. D´em o n tre r q u e la su ite (1/ un)n≥N

co n ve rg e ve rs +∞. Q u e pe u t-o n dire si (un)n≥0co n ve rg e ve rs 0 e n ch an g e an t de sig n e ?

Exercice 3 .

1) S o it 0< a <1 u n n o m b re r´ee l. D´em o n tre r q u e :

n→+∞lim aⁿ= 0.

2 ) S o itb >1. D´em o n tre r q u e

n→+∞lim bⁿ n! = 0.

(C o n sid´ere r l’u n iq u e e n tie r p≥1 te l q u e p≤b < p+ 1 e t v´erifi e r q u e po u rn ≥p+ 1 o n an!≥(p+ 1)^n−pp!.)

Exercice 4 .

S o it 0< q <1. O n po se po u rn≥1 :

Sn :=

Xn

k= 0

q^k= 1 +q+. . .+qⁿ.

1) D´em o n tre r q u e :

∀n≥1, , Sn= 1−qⁿ⁺¹ 1−q . E n d´edu ire q u e :

∀n≥1, , 1 +q+. . .+qⁿ < 1 1−q. 2 ) D´em o n tre r q u e :

n→+∞lim Sn= 1 1−q.

Exercice 5 . Calculer :

lim

n→+∞

3n³−5n²+ 3n−7 2n³−3n²−8n−11· Exercice 6 .

S oit (xⁿ)ⁿ∈N un e suite de n om b res r´eels telle q ue lim ⁿ→+∞(xn+1−xn) = α ∈ R. D´em on trer q ue lim n→+∞

xn

n =α. (S e ram en er au cas o`uα= 0.) Exercice 7 .

S oit (yⁿ)ⁿ≥0 un e suite de n om b res r´eels q ui con verg e vers un e lim ite ` ∈ R et α un param `etre r´eel tel q ue|α|<1.

1) D´em on trer q u’il ex iste un e suite un iq ue (xⁿ)ⁿ≥0 de n om b res r´eels telle q uex0 =y0

et pourn≥1,xn−αxn−1=yn. (O n ex prim era les xn en fon ction des yn).

2) D´em on trer q ue :

lim

n→+∞xn= ` 1−α. (O n com m en cera par le cas o`u`= 0).

Exercice 8 .(F acultatif)

1) S oit (xⁿ)ⁿ_∈N un e suite de n om b res r´eels. O n d´efi n it la suite de ses m oyen n es arith m ´etiq ues en posan t :

yn :=x0+. . .+xn

n+ 1 , n≥0.

D´em on ter q ue si la suite (xn)ⁿ≥0 con verg e vers `, alors la suite (yn)ⁿ≥0 con verg e vers

`.E tudier la r´eciproq ue.

2) D´em on trer q ue le r´esultat est en core valab le si`=± ∞ .

3) O n suppose q ue la suite (xⁿ)ⁿ≥0 est m on oton e. D´em on trer q ue si la suite des m oyen n es arith m ´etiq ues (yⁿ)ⁿ≥0con verg e vers `,alors la suite (x<sup>n</sup>)<sup>n</sup>≥0 con verg e vers`.