Chapitre 26 Opérateurs en espace euclidien

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Chap 26 : Opérateurs en espace euclidien

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Chap 26 : Opérateurs en espace euclidien

eve de dim finie 1

E n

,

1

1 ( ,

1

( ... ) ( ) ( ) [ ] ) ( , ), | ( )

tr | ( ) det [ ( )... ( )] ( )

BON de , ,

si directe

n i j

i i

i j e i j

n

n i

e e E u E A a u i j a e u e

A e u e A u e u e e



       





  

L

I. Adjonction

( ) ! ( ) tq : ( , ) 2, ( ) | | ( ) , est l'adjoint de , noté * uL E  v L E  x y E u x y  x v y  v u u

( ) ( )

( ), ( ) BON de . ( ), * [ ]_e ^t[ ]_e uL E e E  v L E vu  v  u

( ) *

* symétrique si

est auto-adjoint , cela se retrouve dans les matrices en BON antisymétrique si

u u

u E

u u

 

L   

2

tr * tr det * det * rg * rg || ( ) ( ) | ( ) | * ( )

* ( )* * *

, , ,

est un anti-isomorphisme d'algèbre involutif :

u u

u u u u u u u x u x u x x u u x

u u u v v u

 

         



( 1) ( 1)

( ) { ( ) / * } ( ) { ( ) / * } ( )

2 2

et sont des sev de , de dim n n et n n

E  u L E u u E  u L E u  u L E  

* *

2 2 ( ) ( ) ( )

u u u

u E

u    L E   E

( ) ker * (Im ) Im * (ker ) En dim finie uL E u  u ^, et u  u ^

sev de stable par stable par *

F E F uF^ u

II. Projecteurs et endomorphismes orthogonaux

2

( ) proj orth 2 et * mat de proj orth et ^t

pL E p p  p p  p A A A AA

1 1

( ) tq 1 _p ( _E ... ^p ) ^p proj sur ker( _E) p/r Im( _E)

u E u u Id u d u I

p ^ ^  u I d

L        

1 ( ) ( ) * ( * 1 *)

eve de dim , E u _E _E inv et

E n uL E u  uId u u Id u u^ u

1

2 2

2

( ) ( )

( ) (0, , ...) est une isométrie linéaire en espace préhilbertien non bijective xn n x x

 



III. Endomorphismes symétriques

( ) ( )

( ) [ ] ( ) [ ]

( )E BON, _e est symétrique BON, _e est symétrique

u  e u  e u

( ) ker( ) ker( )

Si et sont deux vp réelles de   u E différentes, E_  uId_E E_  uId_E

( ) *

Théorème spectral : uL E u  u Il existe une BON de vp de u

... 3:

Rec dim 2 : _A dim   sev stable de dim 1 ou 2+

(2)

2

( ) somme directe orth. des espa. propres de ker ker , sev stable \F diag...

u E E u u  u F u

( ) symétrique orthogonalement semblable à une matrice diagonale

AMn A A

1 2 0 0

( ) *

1 0 0

FAUX sur _n : i (sur , ^t )

A A

i

   

 

    

   

M

2 2

,

, ,

( ) | tr( )

PS can. de : _{i j i j} ^t _{i j}

i j i

n

j Spec A

A B a b AB a





  











M

( ) ^t et ^t orth. semblables AMn  AA A A

Compléments

( )

0 1

( ). * ( ) | 0 ( )

[ ] 0 rg

0

, , et dans ce cas, de

tq avec est pair

A

k

k k k

e A

u E u u x E u x x BON e E

u A a u

a

 

 

 

         

  

   

 

L

( ) est normal lorsque * * (ce n'est pas un ev)

uL E u uu u

symétrique, antisymétrique, orthogonal... normal

u u

1

( ) 1

( ) normal ( ) BON de tq [ ] ^r , ( (sym/asym)+sev stables)

s

e

i i

i

i i

A

a b

u E e E u A

b u v w

a



 

 

 

  

      

   

L

4 5 2 4

( 1) ker ke

, (DDN sur , autoadjoint proj sur p/r r )

t t

X X A A I

A

AAA A A  A A    A

IV. Positivité

( , | )E  eve de dim finie n1

( )E est positif lorsque, pour tout x E, u( ) |x 0

u   x  

( ) _u : ( , ) ( ) | est bilinéaire symétrique. positif _u symétrique positive

u E  x y u x y u 

2 2

( , ) ( ) | ( ) | ( ) |

( ) | 0 ( ) 0 ker { / | ( ) 0}

On a alors l'inégalité de Schwarz : ,

sym pos

x y E u x y u x x u y y

u x x u x u u x E x u x

       

           

( ) \{0} ( ) | 0

( ) { ( ) / } ( ) { ( ) / }

est alors un produit

est défin scalaire

On no

i positif si : ,

positif dé

te : fini positif

E x E u x x u

E u E u E u E u

u 

 

    

 



 

( ) 0

0

positive positive dans can ,

définie positive définie positive dans can ,

t

n n

n A

n n

A

t

A A f X XAX

A f X XAX

     

    

2 2

* 2 2

( ) ( ) , , ( , ) ,

, , ( , ) ,

et sont des cônes convexes :

E E u v S u v

u v S u v

   

    

 



     

1 2

0 0 ( )

, ,

( ..

1 . )

1

1 est symétrique définie positive ⁱ ^j ⁿ _n

i j I

i j

x x x t x dt

i

i j j

 

   



 

  

   

 



 

(3)

( ) 2

( ) * est sym. pos. et rg * rg * rg ( * ( ) | ( ) , ker ... )

I uL E u u u u u u  u u u x x u x

1

2 2 2 2

1 1 1

( ... ) ( ) ( )

( ) | ( )

) (

Identités fondamentales : de sp , BON de tq

,

ectre (réel)

n n n

n i i i i

i i i i i

i i

u e E u e

x

E e

e

x u x x x u x x

 



  

 

 



  







( ) positif ( ), 0 défini positif ( ), 0

S E u Spec u u Spe u

u        c 

, ( ) 0 tr tr tr (matrices orthogonales, permutation da Note : la trace permet des pe

ns rmutations cir

trac

cu e

e s

) lair

A B n^   AB A B

( ) 2

( ), ! ( ), (red. en BON diag>0, _i, uni:[ , ] 0,esp. propres stables)

HI

n n A B

A ^  B ^ B A  

), !( , )

( ( )

Décomposition polaire : A GL _n  O S O_n S_n^,AOS (S racine def de_ ^tAA)

1 2 1 1

( ) sup ( ) sup | ( ) | | ( ) / ( ) ...

,

(CS, )

x x y

u E u u x u x y y u x u x

  

L     

1 ( )

( ) sup | ( ) | | max | | ( ) rayon spectral de

Spec u x

E u u x x

u u u

  

 

    



( ) ( * ) *

uL E  u   u u u  u

( ) ( )

1 ( ) 1

( ) max ( ) | max max ( ) min ( ) | min min ( )

vrai pour vrai pour

(diag en BON)

x E E

Spec u x

x Spec u x

u E u x x u x u x x u x

   

 







 

        

(0,

1

1)

1, { }

1, min max (

(

( ... )..

) |

) ..

.

Min-max/Courans-Fisher : . , sev

(double ineg, identi de

tés,

spectre de de dim

, )

F p x S F p

p n

n p

u p n E p

p F vect

E

n  u x x e e

 

  

  

    

 

F 

F

( * 1

(

( ), 1 et | det | 1 ) u u , Sp ( *),0 1, 1, * sym)

u^L E u  u  u E    ec u u 



 u u