Calcul tensoriel - Espace euclidien Coordonnées cylindriques

(1)

Calcul tensoriel - Espace euclidien Coordonnées cylindriques

Tenseur métrique

Le tenseur métrique, noté

g

^{i j} , est le tenseur produit scalaire des vecteurs de la base naturelle.

Il est symétrique :

i j = j i =

e e

i⋅ j

g g

Le carré d'un élément de longueur

dl

est la forme quadratique

( )

i j ⁱ ^j i j

dl

²

= ∑ ^g dx dx

En coordonnées cylindriques

( ^r ^{, ,} ^φ ^z )

, le carré d'un élément de longueur

dl

vaut et donc le tenseur métrique vaut

2

1 0 0 0 0 0 0 1

i j

r

 

 

 

g =

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut

det g = r

(

Déterminant = 1

×r

²

×1 = r

²

)

La matrice inverse du tenseur métrique vaut

2

1

1 0 0 0 0 0 0 1

i j

r

 

 

 

= g

Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle

( e e

^r

^,

φ

^, e

^z

)

est orthogonale et la base orthonormée s'écrit :

(2)

.

, , .

r z

r



φ



 

 

e e e

Gradient

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques, le gradient

;

i j

i j

f e

g

d'un champ scalaire

f

_s'écrit

2

1

r z

f f f

r r z

f ^δ ^δ

_φ

^δ

δ δφ δ

∇ = e + e + e

Soit, dans la base orthonormée,

1

r z

f f f

r r r z

f ^δ ^δ

^φ

^δ

δ δφ δ

 

 

 

 

 

∇ = + e +

e e

Divergence

En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit

1 ( )

i i

r δ r v

∇ ⋅ v =

Dans la base naturelle, on a

r z

v v

^φ _φ

v

= + +

v e e e

1

^r

^z

r ^δ r v ^δ v

^φ

^δ z v

δ δφ δ

 

 + 

 

∇⋅ v = + +

Et donc dans la base orthonormée

, , :

r z

r



φ



 

 

e e e

{ }

r z

r

z

v v

^φ

r

^φ

v

= + e +

v e e

(3)

{ }

1 1

r z

r ^δ r v r ^δ r v

^φ

^δ z v

δ δφ δ

 

 + 

 

∇⋅ v = + +

Laplacien

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques, pour un champ scalaire

f

, le laplacien

( )

2

1 det

det

ⁱ ^j

f δ

i j

δ f

∇ = g g

g

s'écrit

2 2 2

2

2 2 2 2

1 1

r r r r z

f ^δ ^δ ^δ ^δ f

δ δ δφ δ

 

 + 

 

∇ = + +

Rotationnel

Dans un système de coordonnées cylindriques, on obtient l’expression du rotationnel de

( ^{, ,} ) ( ^{, ,} ) ( ^{, ,} )

R R z

V = V r θ z e + V

_θ

r θ z e

_θ

+ V

_φ

r θ z e

En tout point M r( , , )θ z en effectuant formellement le produit vectoriel de ∇par V à partir de leur expression en coordonnées cylindriques. Ainsi, on a :

( ) rot

R M = V = ∇ ∧ V

( )

( ) rot

_r

1

_z _{r r} _{z z}

R M V e e e V e V e V e

r

^θ

r z

^{θ θ}

δ δ δ

δ δθ δ

 

= =  + +  ∧ + +

 

( )

( ) rot + 1

+

r r r z z

r r z z

R M V e V e V e V e

r

e V e V e V e

r

e V e V e V e z

θ θ

θ θ θ

φ θ θ

δ δ

δ δθ δ δ

= = × + +

× + +

Soit, dans la base orthonormée

e ,

_r

e ,e

_z

r

 θ 

 

 ^:

(4)

( )

1 1

( ) rot V

^z

V

_r

+ V

^r

V

^z

+ rV V

^r _z

R M V e e e

r z z r r r

θ θ

θ

δ δ

δ δ δ δ

δθ δ δ δ δ δθ

 

   

= =  −   −   − 

 

   

Coordonnées sphériques

Tenseur métrique

En coordonnées sphériques

( ^r ^{, ,} ^{θ φ} )

_{, où}

φ

est l'angle azimutal et θ

∈

^_

0, π

^__{est la}

colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut et

donc le tenseur métrique vaut

2

2 2

1 0 0 0 0 0 0 sin

i j

r

r θ

 

 

 

= g

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut

2

sin det g = r θ

sin ρ = r θ

L'inverse du tenseur métrique vaut

2

2 2

1 0 0 0 0 0 0 sin

i j

r

r θ

−

− −

 

 

 

= g

z

e

r

y

z ˆ

θ

M

r

x ˆ

_ϕ

^y ^ˆ

e

ϕ x

ρ

e

θ 0

(5)

Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle

( ^{e e}

^r

^,

^θ

^, ^e

^φ

)

est orthogonale et la base orthonormée s'écrit :

, , .

r

sin

r r

θ φ

θ

 

 

 

e e e

Gradient

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques, le gradient

;

i j

i j

f e

g

d'un champ scalaire

f

_s'écrit

1 1

r

sin

f f f

r r r

f ^δ ^δ

_θ

^δ

_φ

δ δθ θ δφ

∇ = e + e + e

Soit, dans la base orthonormée

sin

r

f f f

r r r

f ^δ ^δ

^θ

^δ

^φ

δ δθ δφ θ

 

   

   

     

∇ = + e + e

e

Divergence

En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut

r

²

sin θ

et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit

( ^{∇ ⋅} ^v )

ⁱ

⁼ _r

²

_sin ¹ _θ ^δ

ⁱ

( ^r

²

^sin ^θ ^v

ⁱ

)

Dans la base naturelle, on a

r r

v v

^θ _θ

v

^φ _φ

= + +

v e e e

2 1

tan

r

r ^δ r v ^δ v

^θ

^δ v

^φ

δ θ δθ δφ

   

+ +

   

   

∇⋅ v = + +

(6)

Et donc dans la base orthonormée

, , :

r

sin

r r

θ φ

θ

 

 

 

e e e

{ } { ^sin } _sin

r r

v v

^θ ^θ

θ v

^φ ^φ

θ

 

   

   

     

= + e + e

v e

{ } { }

2 1 1 1

tan sin sin

r

r r

r ^δ r v r r ^δ v

^θ

r ^δ θ v

^φ

δ θ δθ θ δφ

   

+ +

   

   

∇⋅ v = + +

Laplacien

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques, pour un champ scalaire

f

, le laplacien

( )

2

1 det

det

ⁱ ^j

f δ

i j

δ f

∇ = g g

g

s'écrit

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2

2 1 1 1

tan sin

r r r r r r

f ^δ ^δ ^δ ^δ ^δ f

δ δθ

δ δθ θ θ δφ

 

 

 

∇ = + + + +

Rotationnel

Dans un système de coordonnées sphériques, on obtient l’expression du rotationnel de

( ^{, ,} ) ( ^{, ,} ) ( ^{, ,} )

R R

V = V R θ φ e + V

_θ

R θ φ e

_θ

+ V

_φ

R θ φ e

_φ

En tout point

M R ( , , ) θ φ

en effectuant formellement le produit vectoriel de ∇par V à partir de leur expression en coordonnées sphériques. Ainsi, on a :

Calcul tensoriel - Espace euclidien Coordonnées cylindriques