I. Tenseur d'énergie-impulsion

1

ÉNERGIE RELATIVISTE - corrigé des exercices

I. Tenseur d'énergie-impulsion

1.

• Puisque U^αU^β est un tenseur et que dτ est un scalaire, on est ramené à étudier le comportement de

€

µ dt =

€

c dm

c dt.d³

U

; cette quantité est un scalaire puisque la masse dm et le 4-volume d⁴

U

^{= c dt.d3}

U

sont des scalaires.

◊ remarque : on peut aussi considérer que la masse volumique µ₀, mesurée dans le référentiel où la particule est au repos, est forcément un scalaire (indépendant du référentiel puisque toujours calculé dans le même).

2.

• On peut partir de la formulation T^αβ = p^α

€

dX^β dt ^δ

3(xⁱ - Xⁱ) et remarquer que pour une particule maté- rielle p^α = E

c² dX^α

dt , expression qui reste valable pour un photon.

• Ceci permet d'écrire l'expression symétrique valable pour ces derniers : T^αβ = c²p^αp^β E ^δ

3(xⁱ - Xⁱ).

◊ remarque : dans l'expression symétrique T^αβ = µ₀ U^αU^β, on ne peut remplacer la masse volumique par la densité volumique d'énergie ε₀ = µ₀ c² pour la simple raison qu'il n'existe pas dans ce cas de référen- tiel propre où le photon serait immobile ; mais d'autre part l'expression T^αβ = ε₀ u^αu^β, avec u^α = dX^α

ds ^n'est pas utilisable avec ds = 0.

◊ remarque : pour un système de photons, on peut définir une “masse équivalente” et un “centre d'inertie”, dont c'est la vitesse qui intervient pour définir u^α (par exemple, un système de deux photons de même fréquence orientés dans les deux sens d'un même axe a un centre d'inertie immobile et une masse équivalente m = 2hν

c² ) ; mais dans ce cas il faut utiliser un tenseur T^αβ pour un “gaz” de photons (générali- sation des milieux matériels fluides), dans lequel interviennent une énergie interne et une pression.

II. Théorème du moment cinétique

1.

• On peut partir du caractère tensoriel de T^αβ = p^α

€

dX^β dt ^δ

3(xⁱ - Xⁱ) = p^α dX^β dτ

dτ dt ^δ

3(xⁱ - Xⁱ).

• Les quantités p^α et dX^β

dτ sont des vecteurs, donc dτ dt ^δ

3(xⁱ - Xⁱ) est un scalaire.

• On peut écrire :

F

^{α = dpα}

dτ dτ dt ^δ

3

(

xⁱ - Xⁱ(t)

)

où f ^α = dp^α

dτ (force relativiste) est un vecteur, donc de même

F

^α.

2.

• Le moment cinétique peut s'écrire : σ^αβ = 1

c

∫

(x^αT^β0−x^βT^α0)d³

U

^.

• Dans sa dérivée temporelle, x^α est une variable muette dans l'intégration, indépendante de t : σ^{αβ •} = 1

c

∫

(x^αT^β0•−x^βT^α0•)d³

U

^.

• La dérivée du tenseur énergie-impulsion correspond à : 1

c d dt^T

β0(t, xⁱ) = d dt^[p

β(t) δ³(xⁱ - Xⁱ(t))] =

€

d

dtp^β(t) δ³

(

xⁱ - Xⁱ(t)

)

+ p^β(t) dX^j

( )

t dt

∂

∂X^{j δ}

3

(

xⁱ - Xⁱ(t)

)

; 1

c d dt^T

β0(t, xⁱ) =

F

^{β - pβ(t) dXj}

( )

^t

dt

∂

∂x^jδ

3

(

xⁱ - Xⁱ(t)

)

=

F

^{β - ∂}jT^βj(t, xⁱ).

2

• Le moment des forces peut s'écrire :

M

^{αβ =}

∫

^(xα

F

^β−xβ

F

^α)d3

U

; ainsi : σ^{αβ •} =

M

^{αβ -}

∫

^(xα∂_jT^βj−x^β∂_jT^αj)d³

U

^.

• Le dernier terme peut se mettre sous la forme : (x^α∂_jT^βj−x^β∂_jT^αj)d³

U

∫

⁼

∫

^{∂j(xαTβj−xβTαj)d3}

^U

^-

∫

^{(∂jxαTβj− ∂jxβTαj)d3}

^U

^.

• L'intégrale de volume de la “divergence du moment” correspond au “flux du moment” à travers la surface limite, à l'infini (ou au moins au delà des limites du système), donc ce flux est nul :

∂_j(x^αT^βj−x^βT^αj)d³

U

∫

⁼

∫

^{(xαTβj−xβTαj)d2}

^S

^{j = 0.}

• L'autre terme est nul par symétrie de T^αβ (qui exprime le fait que la densité d'impulsion, multipliée par c², est égale à la densité de courant d'énergie) :

(∂_jx^αT^βj− ∂_jx^βT^αj)d³

U

∫

⁼

∫

^{(δαj Tβj− δβjTαj)d3}

^U

⁼

∫

^{(Tβα−Tαβ)d3}

^U

^{= 0.}

• On retrouve donc finalement : σ^{αβ •} =

M

^αβ.

III. Évolution du spin

1.

• Pour une particule libre : dS_α dt ⁼

1

2ε_αβµνdσ^βµ dt ^u

ν + 1

2ε_αβµνσ^βµdu^ν

dt ^avec dσ^βµ

dt = 0 et du^ν dt ^{= 0.}

On obtient donc dS_α dt ^{= 0.}

2.

• Dans le cas général : dσ^βµ

dt ⁼

M

^βµ ; on peut alors poser : M_α = 1

2ε_αβµν

M

^βµuν.

• Par ailleurs du^ν dt ⁼

1 mc

dp^ν dt ⁼

1 mc^f

ν. Ainsi : dS_α

dt ^{= Mα +} 1

2ε_αβµνσ^βµ 1 mc^f

ν.

• La quantité M_α possède des propriétés analogues à celles de S_α. En particulier la relation S_αu^α = 0 impose : 0 = dS_α

dt ^u

α + S_αdu^α dt ^{= Mαu}

α +1

2ε_αβµνσ^βµdu^ν dt ^u

α + 1

2ε_αβµνσ^βµu^νdu^α

dt . Les deux derniers termes sont symétriques en (να), donc le produit par ε_αβµν est nul ; ainsi : M_αu^α = 0.

• En outre dans le référentiel propre : u^ν = (1; 0; 0; 0) donc M₀ = 0 et M_i = 1

2ε_ijk

M

^jk. Hélas cela ne permet pas de simplifier la loi d'évolution de S_α car ce référentiel n'est généralement pas galiléen (d'où le second terme dépendant de σ^βµ et f^ν, décrivant le mouvement global).

IV. Tenseur d'énergie-impulsion

1.

• Le tenseur énergie-impulsion électromagnétique T^αβ =

€

1

µ₀^{.(ηµν F}

αµ F^νβ -

€

1

4η^αβ F_µν F^νµ) a pour trace : T^α_α = η_αβ T^αβ =

€

1 µ₀^.(F

αµ F_µα -

€

1

4η_αβ η^αβ F_µν F^νµ) =

€

1 µ₀^{.(1 -}

€

1

4δ_α^α) F_µν F^νµ = 0.

2.a.

• La trace du tenseur énergie-impulsion électromagnétique est nulle, il suffit donc de considérer la contribution des particules.

• L'énergie-impulsion des particules étant additive, il suffit de raisonner sur l'une d'elles : T^µ_ν = η_µν p^µ

€

dX^ν dt ^δ

3(xⁱ - Xⁱ) = γ m η_µν

€

dX^µ dt

€

dX^ν dt ^δ

3(xⁱ - Xⁱ) ; T^α_α = γ m.(c² - v²) δ³(xⁱ - Xⁱ) = mc²

€

1− β² δ³(xⁱ - Xⁱ) > 0.

3

2.b.

• Pour un fluide, on peut considérer T^αβ = (

p

+ ε₀) u^αu^β -

p

η^αβ, où

p

et ε₀ = µ₀ c² sont mesurées dans le référentiel propre du fluide. Ainsi les particules constituant le gaz ne sont pas immobiles (même si le gaz l'est) et ε₀ inclut l'énergie d'agitation thermique, donc tient compte de la moyenne de

€

1− β².

◊ remarque : ε₀ (à ne pas confondre avec la permittivité diélectrique ε₀) est ici une généralisation de la densité volumique d'énergie interne, incluant l'énergie de masse, donc ε₀ +

p

est une généralisation de la densité volumique d'enthalpie.

• Dans le cas étudié : T^α_α = (

p

+ ε₀) u^αu_α -

p

δ^α_α = ε₀ - 3

p

> 0, donc

p

<

€

1 3ε₀.