Orsay 2006-2007, pr´eparation au C.A.P.E.S. G´eom´etrie, ´ecrit
Devoir no5
Groupe des isom´etries pr´eservant une figure.
(`a rendre le 5 mars 2007)
Soit E l’espaceR3 muni de sa structure naturelle d’espace affine euclidien. SoitX ⊂E l’ensemble des points (x, y, z) avecx, y, z entiers relatifs etx+y+z∈ {0,1}. On se propose d’´etudier l’ensembleGdes isom´etries affinesf deE qui pr´eserventX, c’est `a dire telles que g(X) =X.
On notera X0 (resp. X1) l’ensemble des (x, y, z) ∈ X tels que x+y+z = 0 (resp.
x +y +z = 1). On notera aussi P0 (resp. P1) l’ensemble des (x, y, z) ∈ R3 tels que x+y+z= 0 (resp. x+y+z= 1).
1) D´eterminer l’intersection deX avec la boule ferm´ee de centreω = (0,0,0) et de rayon 1.
En d´eduire que sif ∈Gv´erifief(ω) =ωalorsf(P1) =P1 puisf(X1) =X1 etf(X0) =X0. 2) V´erifier queGest un sous-groupe de Is(E), c’est `a dire queGest stable par composition et par passage `a l’inverse.
3) On consid`ere les six points suivants de X : a1 =ω, a2 = (1,0,0), a3 = (1,0,−1), a4 = (1,1,−1), a5 = (0,1,−1), a6 = (0,1,0), et on pose H = {a1, a2, a3, a4, a5, a6}. Soit D le groupe des isom´etries f de E telles quef(H) =H.
3-a) Montrer que sif ∈Dalorsf~pr´eserve l’ensemble{(1,0,0),(−1,0,0),(0,1,0),(0,−1,0) ,(0,0,1),(0,0,−1)}. En d´eduire quef~pr´eserve l’ensemble des vecteurs (x, y, z) avecx, y, z∈ Z.
3-b) Montrer queH contient exactement deux triangles ´equilat´eraux : a1a3a5 eta2a4a6. En d´eduire que sif ∈Detf(x, y, z) = (x0, y0, z0) alorsx0+y0+z0 =x+y+zou 1−(x+y+z).
3-c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede queD={f ∈G, f(H) =H}.
3-d) Faire la liste de tous les ´el´ements de D et les d´ecrire g´eom´etriquement (nature,
´
el´ements caract´eristiques).
4) Translations deG.
4-a) Montrer que sit~u est une translation deG, alors~u∈X0ettpr´eserve simultan´ement X0 etX1.
4-b) D´eterminer T(E)∩G, c’est `a dire le sous-groupe des translations de G.
4-c) Montrer que sif ∈Genvoie un point deX0dansX0alorsf(X0) =X0etf(X1) =X1
(on pourra remarquer qu’il existe deux translationst1, t2 deGtelles que (t1◦f◦t2)(ω) =ω).
5) Sym´etries centrales de G.
5-a) Montrer que si p et q sont tous les deux dansX0 (ou tous les deux dansX1) alors aucune sym´etrie centrale sde Gn’´echangep etq.
5-b) Montrer qu’une sym´etrie centrale s de centre a est dans G ssi a = (x2,y2,z2) avec x, y, z entiers relatifs de somme ´egale `a 1.
5-c) Quel est le sous-espace affine P1
2 engendr´e par les centres des sym´etries centrales de G? Pour f ∈Getsune sym´etrie centrale deG, que dire de f sf−1 ? En d´eduire que tout
´
el´ementf ∈G v´erifief(P1
2) =P1
2 etf~(P0) =P0.
6) Pour chaque type possible d’isom´etrie de l’espace, dire si G contient un ´el´ement de ce type et d´ecrire pr´ecis´ement une isom´etrieg∈Gdu type donn´e.
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