Orsay 2007-2008, pr´eparation au C.A.P.E.S. G´eom´etrie, ´ecrit Etude d’une application affine de l’espace.
Devoir no2. A rendre le 5 novembre.
SoitEun espace affine de dimension 3, d’espace vectoriel sous-jacentE~, rapport´e `a un rep`ere R= (a, b, c, d). Tous les syst`emes d’´equations cart´esiennes seront relatifs aux coordonn´ees dansR. On note (~i,~j, ~k) la baseR~ = (−→
ab,−→ac,−→ ad).
Soit α un param`etre r´eel. On consid`ere l’application f de E dans E qui au point de coordonn´ees
x y z
R
associe le point de coordonn´ees
(4α−1)x+ 2y−3z+ 4 y−z
(2α−1)x+y−2z+ 3
R
.
1) Montrer quef :E→E est affine et d´eterminer la matriceA de f~dansR.~
Pour quelles valeurs du param`etreαl’applicationf~est-elle bijective ? diagonalisable sur R? (on pourra v´erifier que 1 est valeur propre). Quels sont les points fixes de f ?
2) Dans cette question on suppose α = 0. Montrer que P = f(E) est un plan invariant de E, en donner une ´equation cart´esienne. D´eterminer f(P0) pour tout plan P0 parall`ele
`
a P. Montrer que si D est une droite invariante par f, alors ses vecteurs directeurs sont vecteurs propres de f~ pour la valeur propre 1 (on pourra ´etudier les points fixes de f sur D). R´esoudre l’´equation f~(−−−−→
mf(m)) = −−−−→
mf(m), en d´eduire quef admet une unique droite invariante qu’on d´ecrira param´etriquement.
Dans la fin du probl`eme on suppose α= 1.
3) SoitP le plan d’´equation x+y+z= 1. Montrer que l’image deP parf est un planP0, et donner une ´equation cart´esienne deP0.
Montrer de mˆeme que l’imageD0 de la droiteDpassant parcde vecteur directeur~i+~kest une droite, dont on donnera un syst`eme d’´equations cart´esiennes.
4-a) Montrer que le planP0 deE d’´equation x+y−z=−1 est invariant parf.
4-b) Montrer que f pr´eserve l’ensemble P0 des plans parall`eles `a P0. Montrer que le seul plan deP0 pr´eserv´e par f estP0.
5-a) Montrer que la droiteD0 deE passant pardet de vecteur directeur~i−~j est invariante par f. Montrer que f|D0 co¨ıncide avec une translation t qu’on pr´ecisera. Montrer que g=t−1◦f est une application affine fixant un point et commutant avec f.
5-b) Montrer queD0 ⊂P0. Montrer quef~|P~
0 est une sym´etrie axiale deP~0, puis diagonaliser f~. Montrer que la seule droite deP0invariante parf estD0. L’application affinef|P0 est-elle une sym´etrie ?
5-c) Quelles sont les droites deE envoy´ees parf sur une droite parall`ele ? Montrer qu’une droite D non faiblement parall`ele `a P0 n’est jamais invariante par f. Montrer que D0 est la seule droite deE invariante parf.
5-d) Montrer qu’il existe un unique planP non parall`ele `aP0 et invariant parf.
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