Sous-espaces vectoriels : bases, intersection et sommes, sous-espaces suppl´ementaires, syst`emes d’´equations cart´esiennes

Orsay 2009-2010 IFIPS S2 Math´ematiques (M170).

Fiche de TD num´ero 4. Sous-espaces vectoriels :

bases, intersection et sommes, sous-espaces suppl´ementaires, syst`emes d’´equations cart´esiennes.

Exercice 1 Soit a∈R. Soit v₁= (1,−1,0,2), v₂ = (1,0,1,2) , v₃ = (1,3,5,7) etv₄= (0,2,3, a) des vecteurs deR⁴.

(a) Pour quelles valeurs deala suite S= (v₁, v₂, v₃, v₄) est-elle une base ?

(b) Pour les valeurs deao`uS est li´ee, donner une relation de d´ependance lin´eaire entre ses vecteurs.

(c) Quelle est la dimension deE = Vect(S) selon les valeurs de a? Soitk∈R. Soit e= (4, k,1,3).

(d) Pour les valeurs de a o`u S est li´ee, quelles sont les valeurs de k telles que e ∈ E ? Pour ces valeurs de ket de a, exprimer een fonction dev₁, v₂, v₃ etv₄.

(e) Quand a t-one∈E pour les valeurs deao`u S est libre ? Donner les coordonn´ees de edansS.

Exercice 2 Suite ´echelonn´ee et pivot.

(1) On consid`ere la suite de vecteurs (u1, u2, u3, u4) de R⁴ donn´ee par :

u1 = (2,0,0,0), u2 = (−1,4,0,0), u3= (0,2,3,0), u4 = (1,0,0,−2) Montrer que (u₁, u₂, u₃, u₄) est une base de R⁴.

(Si on ´ecrit ces vecteurs en colonne, le syst`eme correspondant est ´echelonn´e, on dit donc que la suite est ´echelonn´ee.)

(2) Soit (v1, v2, v3, v4) une suite de vecteurs R⁴.

(2-a) Montrer que si les premi`eres coordonn´ees dev₁, v₂, v₃etv₄sont nulles, alors la suite (v₁, v₂, v₃, v₄) est li´ee.

(2-b) Si la premi`ere composante de v<sub>1</sub> est non nulle, et si a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, a<sub>4</sub> d´esignent les premi`eres composantes dev₁, v₂, v₃, v₄ on pose :

v⁰₂ =v2− a2

a₁v1, v₃⁰ =v3−a3

a₁v1, v₄⁰ =v4−a4

a₁v1

(vecteurs obtenus par des op´erations de type “pivot”)

Montrer que Vect(v₁, v₂, v₃, v₄) = Vect(v₁, v⁰₂, v₃⁰, v₄⁰). Quelles sont les premi`eres composantes de v⁰₂, v₃⁰, v₄⁰ ? Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

(i) la suite (v₂⁰, v₃⁰, v⁰₄) est libre ; (ii) la suite (v1, v₂⁰, v⁰₃, v⁰₄) est libre ;

(iii) la suite (v₁, v₂, v₃, v₄) de d´epart est libre.

(3) En utilisant des op´erations de type pivot, montrer que

B= ((1,−2,0,−1),(−2,5,−1,2),(0,−1,5,2),(−1,2,2,6))

est une base. En utilisant une seconde s´erie d’op´erations de type pivot trouver les coordonn´ees de chaque vecteur de la base canonique dans la baseB, et en d´eduire les coordonn´ees dansBd’un vecteur u= (x, y, z, t).

Exercice 3 Soit E ⊂R⁵ un sous-espace vectoriel.

(a) Que dire de dim (E) ?

(b) Dans cette question on suppose queE est engendr´e par une suite (u1, u2, u3). Montrer que toute suite de 4 vecteurs deE est li´ee.

(c) Dans cette question on suppose que E contient une suite libre (v1, v2, v3). Montrer qu’aucune partie deE `a 2 ´el´ements n’est g´en´eratrice.

1

2

Exercice 4 Soient E, F, G, H des sous-espaces vectoriels de R⁴. On suppose queE ⊂F ⊂G⊂H, et de plusE 6={0}, H6=R⁴. Montrer que deux des sous-espaces sont ´egaux.

Exercice 5 Soit E ={(x, y, z, t)∈R⁴, y+z+t= 0} etF ={(x, y, z, t)∈R⁴, x+y= 0 etz= 2t}

deux sous-espaces vectoriels deR⁴.

(a) D´eterminer la dimension et une base deE etF. (b) Trouver la dimension et une base deE∩F.

(c) Que peut-on dire deE+F ? La somme est-elle directe ? Exercice 6 Base d’une intersection.

Dire si la somme de Ei et Ej est directe et donner la dimension de cette somme, pour Ei, Ej deux sous-espaces vectoriels de R⁴ distincts quelconques dans la liste ci-dessous :

E₁= Vect(1,0,1,0),(5,−1,6,0)) ; E₂= Vect((0,3,4,4),(−1,1,2,4)) ;

E3= Vect((1,1,2,0),(1,2,2,0),(3,1,6,0)).

Exercice 7

On consid`ere le sous-espace vectoriel E de R⁴ d´efini par E={(x, y, z, t)∈R⁴, 2x−2y−z+t= 0}.

(a) D´eterminer la dimension deE et une base deE.

(b) D´eterminer un suppl´ementaire de E.

Exercice 8 Consid´erons les vecteurs suivant deR⁵ :

u₁ = (3,2,3,−1,2), u₂ = (1,2,1,−1,−2), u₃ = (1,−6,1,3,14), v₁ = (3,4,3,−2,−2), v₂ = (−2,−3,−3,1,2), v₃ = (2,1,−3,−3,2).

SoientE = Vect(u₁, u₂, u₃) et F = Vect(v₁, v₂, v₃).

(a) Trouver une base et la dimension deE.

(b) Mˆeme question pourF.

(c) D´eterminer la dimension et une base deE∩F.

(d)E et F sont-ils en somme directe ? En d´eduire la dimension deE+F. (e) Donner une base deE+F.

(f) Donner un suppl´ementaire (dans R⁵) deE, F etE+F. Exercice 9 Base incompl`ete et syst`eme d’´equations cart´esiennes.

Soitu1 = (1,1,1,2), u2= (0,1,2,−1), u₃ = (1,3,5,0) des vecteurs deR⁴, et soitE = Vect(u1, u2, u3).

(a) Donner une baseB de E et la dimension deE. Si u 6∈E est-il possible de compl´eter B en une base de R⁴ dont le troisi`eme vecteur est u ? Donner un exemple de vecteurs u, v tels que (u, v) est libre mais il est impossible de compl´eter B en une base de R<sup>4</sup> ayant comme troisi`eme et quatri`eme vecteuru etv.

(b) En utilisant des vecteurs de la base canonique deR⁴, compl´eterBen une baseB⁰deR⁴. Si on note (y₁, y₂, y₃, y₄) les coordonn´ees d’un vecteuru dans la base B⁰, montrer que u∈E ⇐⇒ y₃=y₄= 0.

(c) D´eterminer les coordonn´ees dans la baseB⁰ des vecteurs de la base canonique deR⁴. En d´eduire un syst`eme d’´equations cart´esiennes de E dans les coordonn´ees canoniques (i.e. un syst`eme lin´eaire (S) `a 4 inconnues, tel qu’un vecteuru= (x1, x2, x3, x4) appartient `aEsi et seulement si (x1, x2, x3, x4) est solution de (S)).

3

Exercice 10 Conditions de compatibilit´e et syst`emes d’´equations cart´esiennes.

DansR⁴ on consid`ere les vecteurs

v = (1,2,−3,1), w= (1,−1,1,−3) et on pose E= Vect(v, w).

(a) V´erifier que (v, w) est une base deE.

(b) Montrer qu’un vecteur u = (x, y, z, t) de R⁴ est dans E ssi un certain syst`eme lin´eaire (Σ<sub>u</sub>) est compatible (on explicitera le syst`eme (Σu) ; on remarquera en particulier que seul le deuxi`eme membre d´epend du vecteur u).

(c) Montrer que le syst`eme (Σ<sub>u</sub>) est compatible ssi (x, y, z, t) est solution d’un certain syst`eme lin´eaire homog`ene (S).

(d) Donner un syst`eme d’´equations cart´esiennes de E.

Exercice 11 Syst`emes d’´equations cart´esiennes dansR² etR³.

(a) Donner un syst`eme d’´equation cart´esienne de la droite du plan R² engendr´ee paru= (1,2).

Plus g´en´eralement, soit u = (a, b) un vecteur non nul du plan R². Donner un syst`eme d’´equation cart´esienne de la droite Vect(u). (On pourra deviner une ´equation non nulle satisfaite par les com- posantes deu, puis v´erifier que cette ´equation d´efinit bien la droite Vect(u).)

(b) Donner un syst`eme d’´equation cart´esienne du plan deR³ engendr´e par {(1,0,2),(−1,2,0)}.

(c) Donner un syst`eme d’´equations cart´esiennes de la droite deR<sup>3</sup> engendr´e par (1,2,−1). (Comme en (a), on pourra deviner deux ´equations diff´erentes satisfaites par les composantes deu, puis v´erifier que ce syst`eme d’´equations d´efinit bien la droite Vect(u).)

Exercice 12 Syst`emes d’´equations cart´esiennes dansR<sup>4</sup>. DansR<sup>4</sup> on consid`ere les vecteurs

u₁= (1,−2,1,−2), u₂ = (1,1,2,2), u₃= (2,−1,3,0), u₄ = (0,3,1,4).

(a) D´eterminer le rang de la suite (u1, u2, u3, u4) puis un syst`eme d’´equations cart´esiennes du sous- espaceE= Vect(u₁, u₂, u₃, u₄).

(b) Soit F = {(x, y, z, t) ∈ R⁴ tels que (x, y, z, t) ∈ E et x+ 2y−z−t = 0, x−y−z+t = 0}.

Montrer queF est un sous-espace vectoriel, et en donner deux syst`emes d’´equations cart´esiennes: un contenant 4 ´equations lin´eaires, un autre contenant 3 ´equations lin´eaires.

Exercice 13 Dans R⁴ on consid`ere les vecteurs

v1= (1,−1,2,0), v2 = (0,2,1,1), v3 = (1,1,3,1), v4= (2,0,5,1).

(a) La suite (v1, v2, v3, v4) est-elle libre ?

(b) Soit F = Vect(v₁, v₂, v₃, v₄). D´eterminer la dimension de F et une base de F. En d´eduire le rang de la suite (v1, v2, v3, v4).

(c) Donner un syst`eme d’´equations caract´erisantF. (d) Trouver un suppl´ementaire de F.