Orsay 2007-2008, préparation au C.A.P.E.S. Géométrie, écrit Devoir no 1: théorème de Pappus et homothéties.

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Orsay 2007-2008, préparation au C.A.P.E.S. Géométrie, écrit

Devoir nô 1: théorème de Pappus et homothéties. (à rendre le 08-10-2007) Dans tout l’exercice a, b, c, a⁰, b⁰, c⁰, a⁰⁰, b⁰⁰, c⁰⁰ désignent neuf points d’un espace affine E. On suppose que les triplets de points suivants sont distincts et alignés :

a, b⁰, c⁰⁰ ; a, b⁰⁰, c⁰ ; a⁰, b, c⁰⁰ ; a⁰, b⁰⁰, c ; a⁰⁰, b, c⁰ ; a⁰⁰, b⁰, c .

En notanth_x,y−→z l’unique homoth´etie deEde centrexenvoyantysurz (lorsque x6=y et z ∈(xy)), on pose :

-f₁ =h_b,c⁰_−→a⁰⁰◦h_a,b⁰⁰_−→c⁰,f₂ =h_c,a⁰_−→b⁰⁰◦h_b,c⁰⁰_−→a⁰, f₃ =h_a,b⁰_−→c⁰⁰◦h_c,a⁰⁰_−→b⁰ et ϕ=f1◦f2◦f3 ;

-f₁⁰ =h_b⁰_,c⁰⁰_−→a◦h_a⁰_,b−→c⁰⁰,f₂⁰ =h_c⁰_,a⁰⁰_−→b◦h_b⁰_,c−→a⁰⁰, f₃⁰ =h_a⁰_,b⁰⁰_−→c◦h_c⁰_,a−→b⁰⁰ et ϕ⁰ =f₁⁰ ◦f₂⁰ ◦f₃⁰ ;

-f₁⁰⁰ =h_b⁰⁰_,c−→a⁰◦h_a⁰⁰_,b⁰_−→c,f₂⁰⁰ =h_c⁰⁰_,a−→b⁰◦h_b⁰⁰_,c⁰_−→a,f₃⁰⁰ =h_a⁰⁰_,b−→c⁰◦h_c⁰⁰_,a⁰_−→b et ϕ⁰⁰ =f₁⁰⁰ ◦f₂⁰⁰◦f₃⁰⁰ ;

-g₁ =h_a⁰⁰_,b⁰_−→c◦h_a⁰⁰_,b−→c⁰,g₂ =h_b⁰⁰_,c⁰_−→a◦h_b⁰⁰_,c−→a⁰,g₃ =h_c⁰⁰_,a⁰_−→b◦h_c⁰⁰_,a−→b⁰, et ψ=g2◦g1◦g3.

1) Questions pr´eliminaires.

1-a) Montrer que six, y, zsont distincts align´es, alorshy,z−→x◦hx,y−→z◦hz,x−→y

est la sym´etrie centrale de centre x.

1-b) Soient x, y, z, p, q, r six points distincts de E tels que p ∈ (xq), r ∈ (yq) et {z}= (rp)∩(xy). Montrer que h_y,q−→r◦h_x,p−→q =h_z,p−→r.

1-c) Montrer que si le produit de trois homothéties différentes de l’identité est l’identité, alors leurs centres sont alignés.

2) Montrer que ϕ⁰⁰ ◦ϕ⁰◦ϕ est une translation (en utilisant 1-a), on pourra montrer qu’elle a le mˆeme rapport que le produit de six sym´etries centrales).

3) Montrer que ψ et ϕ⁰⁰ ont mˆeme rapport.

4) Dans cette question on suppose a, b, c align´es sur une droite D.

4-a) Montrer que ϕ(D) =D et que ϕest une homoth´etie de centre a⁰⁰.

4-b) On pose ϕ₁ =ϕ, ϕ₂ =f₂ ◦f₃◦f₁ et ϕ₃ = f₃ ◦f₁◦f₂. Montrer que si ϕ₁, ϕ2 ou ϕ3 est l’identit´e, alors ϕ1 =ϕ2 =ϕ3 =idE.

4-c) Déduire de ce qui précède que, si on suppose de plus {a⁰⁰, b⁰⁰, c⁰⁰} 6⊂D, alors ϕ=idE.

5) Dans cette question on démontre le résultat suivant (théorème de Pappus):

si a, b, c sont alignés sur une droite D et a⁰, b⁰, c⁰ sont alignés sur une droite D⁰ 6=D, alors a⁰⁰, b⁰⁰, c⁰⁰ sont alignés.

Il n’y a rien à démontrer si deux des points a⁰⁰, b⁰⁰, c⁰⁰ sont confondus : on les suppose donc deux à deux distincts. Pour simplifier,on suppose D et D⁰ sécantes.

5-a) Montrer que {a⁰⁰, b⁰⁰, c⁰⁰} 6⊂ D et {a⁰⁰, b⁰⁰, c⁰⁰} 6⊂ D⁰. Montrer que le sous- espace affine engendr´e para, b, c, a⁰, b⁰, c⁰, a⁰⁰, b⁰⁰, c⁰⁰ est un plan.

Déduire de ce qui précède que ϕ=ϕ⁰ =id_E, puis que ϕ⁰⁰ =id_E.

On note D1, D2, D3 (resp: D⁰₁, D⁰₂, D⁰₃) les parallèles à D (resp. à D⁰) passant par a⁰, b⁰, c⁰ (resp. a, b, c).

5-b) Montrer que gi(D_i+1⁰ ) =D_i+2⁰ (indices modulo 3). En d´eduire que g1, g2, g3

sont des homoth´eties non triviales. Montrer qu’on a aussi g_i(D_i+1) = D_i+2 (indices modulo 3 - on remarquera que les expressions d´efinissant les gi sont commutatives)

5-c) Montrer queψ(D₁) =D₁,ψ(D⁰₁) =D⁰₁. En d´eduire queψ=id_E et conclure.