Vocabulaire & Grammaire ´el´ementaires

1

1.1 R´ edaction

Une d´emonstration se d´eroule en 5 sets.

1. Introduire.Commencez par introduire les ´el´ements que vous allez manipuler.

2. Nommer. Pr´esentez toute nouvelle notation au lecteur, ´eventuellement en lui attribuant un nom.

3. Annoncer. Pr´esentez l’objectif `a atteindre. ´Enoncez ´egalement si n´ecessaire le type de raison- nement utilis´e (par ex. : Raisonnement par l’absurde, par contrapos´ee, par r´ecurrence,. . . ).

4. Articuler. Faˆıtes apparaˆıtre clairement les articulations entre les diff´erentes ´etapes du raison- nement. Tout th´eor`eme utilis´e doit l’ˆetre de fa¸conexplicite.

5. Conclure.Enoncez la conclusion `´ a laquelle vous ˆetes arriv´e. Si le r´esultat est l’´etape finale d’un calcul n’h´esitez pas `a l’encadrer.

Attention, le set le plus difficile est sˆurment le quatri`eme. En effet, une d´emonstration doitmener du vrai au vrai. Ses enchaˆınements doivent donc ˆetre tr`es rigoureux.

L’apprentissage d’une notion se d´eroule en 3 sets.

1. Intuition. Rappelez vous de l’id´ee introduisant la notion. Celle-ci s’exprime g´en´eralement en fran¸cais plus ou moins litt´eraire.

2. R´edaction.Enoncez en bon fran¸´ cais math´ematique la notion.

3. Formulation.Enoncez la formulation math´´ ematique correspondante.

Exemple 1. La notion de suite minor´ee.

(i). La suite ne peut pas descendre en dessous d’un certain plancher.

(ii). Soit (un)_n∈Nune suite minor´ee. Il existe un r´eelM tel que pour tout entier natureln,un est sup´erieur ou ´egal `a M.

(iii). Soit (un)_n∈Nune suite minor´ee.∃M ; ∀n∈N, f(x)≥M.

Dans la partie qui suit nous allons pr´eciser le outils dont vous disposez pour r´ediger une d´emonstration en explicitant les diff´erents moyens d’articulation. Nous expliquerons ´egalement certains termes du langage math´ematique.

1.2 Le vocabulaire de la logique

Commen¸cons par aborder les fondements logiques des math´ematiques. Ces notions nous seront indis- pensables pour pouvoir d´emontrer des th´eor`emes et r´esoudre les exercices. Cette partie ne se veut pas exhaustive mais purement introductive.

1.2.1 Assertions et connecteurs

Informellement nous appelleronsassertion toute phrase math´ematique syntaxiquement correcte. Une assertion peut ˆetre vraie ou fausse.

Exemple 2. L’assertionA : 10 est un nombre premier.

L’assertionB :

. . . .

Etant donn´´ ees deux assertionsAetB, on peut construire de nouvelles assertions `a l’aide deconnecteurs

∗ (nonA) qui est vraie siAest fausse et fausse si Aest vraie,

∗ (AetB) qui est vraie si et seulement si les deux assertions sont vraies.

Remarque. Le ouest un ou inclusif.

Etant donn´´ ees deux assertionsAet B, on d´efinit l’assertion

∗ A ⇒ B qui se litAimplique B et qui est d´efinie par (nonA)ouB.

Remarque. L’assertionA ⇒ B est vraie d`es que Aest fausse.

Exemple 3. Etant donn´´ e un entier natureln,

4|n ⇒ nest pair.

. . . .

On dit que deux assertionsA etB sont´equivalentes et on noteA ⇔ B si et seulement siA ⇒ B etB ⇒ A.

1.2.2 Quantificateurs

Les quantificateurs permettent de construire des assertions. Dans toute la suite de ce chapitre E d´esigne un ensemble quelconque.P d´esigne unpr´edicat, c’est-`a-dire un ´enonc´e d´ependant d’une (ou de plusieurs) variables.

Exemple 4. Le pr´edicatP(x) :xest un entier.

Remarque. Contrairement `a une assertion, un pr´edicat n’est ni vrai ou ni faux. Il faut en pr´eciser la valeur de la variable `a l’aide de quantificateurs pour obtenir une assertion.

D´efinitions

Les trois quantificateurs que nous utiliserons sont∀(pour tout),∃(ilexiste) et∃! (ilexiste un unique).

Commen¸cons par donner leur signification.

∗ L’assertionTous les ´el´ements de E satisfont la propri´et´eP se ditPour toutx´el´ement deE, le pr´edicatP(x)est vrai et s’´ecrit math´ematiquement ∀x∈E,P(x).

Exemple 5. Tout entier naturel est sup´erieur `a0 s’´ecrit . . . .

On remarque que la lettre apparaissant apr`es le symbole ∀ peut ˆetre remplac´ee par toute lettre n’apparaissant pas dans le pr´edicatP. Cette lettre, ou variable, sera appel´ee variable muette.

Exemple 6. L’assertion

∀a∈N,2 +a≥2.

est ´equivalente `a l’assertion

. . . .

On remarque ´egalement que les symboles∀peuvent ˆetre permut´es.

Exemple 7. L’assertion

∀x∈R,∀n∈N,P(x, n) est vraie.

est ´equivalente `a l’assertion

. . . . est ´equivalente d’apr`es la remarque pr´ec´edente `a l’assertion

. . . .

∗ L’assertionUn des ´el´ements de E a la propri´et´eP

se ditIl existe un ´el´ementxdeE qui satisfait la propri´et´eP et s’´ecrit math´ematiquement ∃x∈E ; P(x).

Exemple 8. Il existe un entier plus grand que 10 s’´ecrit . . . .

On remarque que la lettre apparaissant apr`es le symbole ∃ peut ˆetre remplac´ee par toute lettre n’apparaissant pas dans le pr´edicatP.

Exemple 9. L’assertion

∃a∈N; 2 +a≥2.

est ´equivalente `a l’assertion

. . . .

On remarque ´egalement que les symboles∃peuvent ˆetre permut´es.

Exemple 10. L’assertion

∃ x∈R,∃ n∈N; P(x, n) est vraie.

est ´equivalente `a l’assertion

. . . .

∗ L’assertionUn seul des ´el´ements deE a la propri´et´e P

se ditIl existe un unique ´el´ement xdeE qui satisfait la propri´et´eP et s’´ecrit math´ematiquement ∃!x∈E ; P(x).

Attention !

∀b bracelet,∃ ssomme d’argent ; spermet d’acheterb.

ne signifie pas la mˆeme chose que

∃ssomme d’argent ; ∀ bbracelet, spermet d’acheterb.

On remarque que dans la premi`ere phrase la somme d’argent d´epend du bracelet ! La n´egation

La n´egation du quantificateur universel∀. L’assertion non(∀ x∈E,P(x)).

est ´equivalente `a l’assertion

∃x∈E ; nonP(x).

Exemple 11. La n´egation de l’assertionTout entier est plus grand que 1 est ´equivalente `a l’assertion

. . . . La n´egation du quantificateur universel∃. L’assertion

non(∃x∈E ; P(x)).

est ´equivalente `a l’assertion

∀x∈E,nonP(x).

Exemple 12. La n´egation de l’assertionIl existe un r´eel n´egatif est ´equivalente `a l’assertion

. . . .

Les d´emonstrations

Comment d´emontrer que...l’assertion∀x∈E,P(x) est vraie ? Pour montrer que le pr´edicatP(x) est vrai quel que soit l’´el´ement xchoisi, on commence par consid´erer un xquelconque et on effectue la d´emonstration avec cex.

Toute d´emonstrationdevra commencer par Soitx∈E.

Comment d´emontrer que... l’assertion ∃x ∈ E ; P(x) est vraie ? Utiliser tous les moyens math´ematiquement rigoureux `a votre disposition pour traquer puis exhiber lexqui marche.

Exemple 13. Montrer que∀x, y∈R,∃z∈R; z > x+y.

. . . .

Comment d´emontrer que. . . l’assertion∃!x∈E ; P(x) est vraie ? On d´ecompose en deux ´etapes.

1 Existence : On d´emontre qu’un telxexiste.

2 Unicit´e : On d´emontre que cexest unique.

Pour cela, on pourra supposer qu’il en existe 2 et arriver `a une contradiction. Ceci est un raisonnement par l’absurde. . .

Exemple 14. Montrer que∃!n0∈N; ∀ m∈N, m≥n0. . . . .

1.3 Raisonnements

1.3.1 Le contre-exemple

Pour montrer qu’une assertion est fausse il suffit d’exhiber un cas o`u elle est fausse.

Exemple 15. Tous les nombres impairs sont premiers.

Cette assertion est fausse car 9 = 2·4 + 1 = 3·3 est un nombre impair qui se d´ecompose en un produit d’entiers diff´erents de 1.

1.3.2 La disjonction de cas

Soient A, Bet C trois assertions. Pour montrer que (A ouB) ⇒ C on montrera dans un premier temps queA ⇒ C puis queB ⇒ C.

Exemple 16. R´esoudre dansRl’´equation : 3|2−x|+ 2|x−5|= 7.

. . . .

1.3.3 La contrapos´ ee

Proposition 1. Soient A, B deux assertions. L’assertion A ⇒ B est vraie si et seulement si l’assertion(nonB) ⇒ (nonA)est vraie.

L’assertion (nonB) ⇒ (nonA) est appel´ee lacontrapos´ee.

D´emonstration. SoientA, Bdeux assertions. D’apr`es la d´efinition de l’implication, l’assertionA ⇒ B est vraie si et seulement si l’assertion (nonA)ouBest vraie. Or, d’apr`es la r`egle du tiers exclu, cette derni`ere assertion s’´ecrit ´egalement (nonA)ou(non(nonB)) qui s’´ecrit (non(nonB))ou nonA, qui s’´ecrit finalementnonB ⇒ nonA.

Exemple 17. Soitnun entier naturel. Montrer quen² pair ⇒ npair.

. . . .

1.3.4 L’´ equivalence & la double implication

Pour montrer une ´equivalence, on priviligiera le raisonnement par double implication : On montre dans un premier temps queA ⇒ B puis dans un deuxi`eme temps queB ⇒ A.

Exemple 18. Montrer que pour tout entiern,

nest pair ⇔ n² pair.

. . . .

1.3.5 L’absurde

Proposition 2. SoientA, B deux assertions. Si l’assertion(nonA ⇒ B)et (nonA ⇒ nonB) est vraie, alors Aest vraie.

Remarque. En pratique, pour montrer que A ⇒ B, on suppose que Aet non B sont vraies et on aboutit `a une contradiction.

Ce raisonnement s’appelle un raisonnement par l’absurde. On l’utilisera tr`es souvent au cours de l’ann´ee. Cependant, il ne faut pas en abuser et toujours se demander si l’absurde est n´ecessaire. . .

Exemple 19. Montrer que√

2 est irrationnel.

. . . .

1.3.6 Le raisonnement par r´ ecurrence

L’ensemble des entiers naturels est not´eN.

Le raisonnement par (ou principe de) r´ecurrence est utilis´e pour montrer qu’une propri´et´e est vraie pour tout entier natureln∈N. Un raisonnement par r´ecurrence se d´eroule enexactement 4 ´etapes.

1. ´Enoncer. On ´enonce le pr´edicatP(n) `a d´emontrer.

2. Initialiser.On v´erifie que le pr´edicat est vrai pourn= 0.

Dans certains cas, le pr´edicat P(n) n’est pas d´efini en n= 0. La phase d’initialisation a alors lieu enn= 1 oun= 2. . .

3. H´eriter. Soit n∈ N. On suppose que le pr´edicat P(n) est vrai et on montre que le pr´edicat P(n+ 1) est vrai. Pour cela, on utilise la v´eracit´e du pr´edicatP(n), autrement appel´eehypoth`ese de r´ecurrence.

Dans certains cas, on suppose dans la phase d’h´er´edit´e queP(k) est vraie pour toutk≤n.

4. Conclure. On ´enonce clairement la conclusion : On a montr´e que P(0) est vrai et pour tout n ∈N, siP(n) est vrai, alors P(n+ 1) est vrai. Ainsi, d’apr`es le principe de r´ecurrence, pour tout n∈N,P(n) est vrai.

Remarques. ∗ Le principe de r´ecurrence n’est pas un axiome : on peut le d´emontrer en partant de la d´efinition de l’ensemble des entiers naturels.

∗ Tout raisonnement par r´ecurrence n’utilisant pas l’hypoth`ese de r´ecurrence dans la phase d’h´er´edit´e n’est pas un raisonnement par r´ecurrence.

Exemple 20. Montrer par r´ecurrence que pour tout entier natureln,Pn

k=0k= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ . . . . .

Remarque. On rappelle que les ´el´ements d’une somme sont appel´es lestermes, ceux d’un produit les facteurs et ceux se trouvant de part et d’autre d’une ´egalit´e ou d’une in´egalit´e les membres.

Exercice 1. (Suite g´eom´etrique) Montrer que pour tout nombre complexez diff´erent de1,

n

X

k=0

z^k= 1−zⁿ⁺¹ 1−z .

Exercice 2. (Binˆome de Newton) Montrer que pour tous nombres complexesa, bet pour tout entier naturel n,

(a+b)ⁿ=

n

X

k=0

n k

a^kb^n−k.

Dessiner le triangle de Pascal qui permet de retrouver rapidement les valeurs successives des ⁿ_k pour (k, n)∈N².

On rappelle que pour tout couple d’entiers (k, n), avec k≤n, on a d´efini ⁿ_k

=_k!(n−k)!^n! .

Remarque. Dans cet exemple, la variable k est dite muette. Ainsi, on peut ´ecrire pour tout n∈ N, (a, b)∈C²,

. . . .

1.4 Glossaire

Nous utiliserons abondamment le vocabulaire suivant

∗ Soit. . . pour montrer qu’une propri´et´e est vraie quel que soit le param`etre.

∗ On vient de montrer / Par hypoth`ese A est vraie donc B est vraie, d’apr`es le th´eor`eme. . . pour justifier une implication.

∗ OrAest vraie. . . On sait queA est vraie, on peut pr´eciser quel est le th´eor`eme ou l’hypoth`ese qui nous permettent de l’affirmer.

∗ Soitunxtel queA. . .

– On sait par un th´eor`eme ou par hypoth`ese qu’il existe unxtel queAsoit vraie. On l’utilise pour notre d´emonstration.

– On veut montrer que quel que soitxtel que Aest vraie. . .

∗ Supposons par l’absurde que. . .

∗ Montrons par r´ecurrence sur n que. . .

1.5 Vocabulaire ensembliste

Dans cette partie, nous ne d´efinirons pas toutes les notions ensemblistes, nous rappelons uniquement le vocabulaire rencontr´e lors de vos pr´ec´edentes p´er´egrinations math´ematiques.

Ainsi, un ensemble est une collection d’objets. Les diff´erents objets d’un ensemble sont appel´es ses

´

el´ements.

On dit qu’un ´el´ementxappartient `a un ensembleE, et on notex∈E.

D´efinition 1. L’ensemble ne poss´edant aucun ´el´ement est appel´e l’ensemblevide et est not´e∅.

Un ensemble ne contenant qu’un seul ´el´ement est appel´e unsingleton.

Un ensemble est g´en´eralement not´e `a l’aide d’accolades.

Exemple 21. On peut consid´erer l’ensemble des 5 nombres pairs les plus petits . . . .

Certains ensembles tr`es utilis´es font l’objet d’une notation standard.

Exemple 22.

. . . .

La plupart des ensembles sont d´efinis `a l’aide d’une propri´et´e commune satisfaite par tous ses ´el´ements.

Exemple 23. l’ensemble des entiers pairs peut s’´ecrire . . . .

Ainsi, certains ensembles pourront ˆetre ´ecrits de plusieurs fa¸cons diff´erentes.

Exemple 24. L’ensemble des entiers naturels pairs . . . . L’ensemble des multiples entiers deπ

. . . .

1.5.1 Inclusion

D´efinition 2. Soient E et F deux ensembles. On dit queE estinclus dans F et on ´ecrit E⊂F, si tout ´el´ement deE est un ´el´ement de F, i.e. si

∀x∈E, x∈F.

On dira aussi que Eest une partie deF ou encore queF contientE.

Exemple 25. On rappelle que

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.

Comment d´emontrer que. . . Eest inclus dansF? On doit montrer que pour tout ´el´ementxdeE, xest un ´el´ement de F. On commence donc par choisir un ´el´ement de E : Soitx∈E et on d´emontre quex∈F.

Remarque. On veillera `a ne pas confondre les symboles∈et ⊂.

Exemple 26.

. . . .

D´efinition 3. SoientEetF deux ensembles. On dit queEetF sont´egaux et on ´ecritE=F s’ils poss`edent exactement les mˆemes ´el´ements, i.e. si

∀x,(x∈E ⇔ x∈F).

Comment d´emontrer que. . . E = F? On montre (de pr´ef´erence) cette propri´et´e par double inclusion en montrant dans un premier temps queE⊂F puis queF ⊂E.

Remarque. On remarque l’analogie entre inclusion ensembliste et implication logique ainsi qu’entre

´

egalit´e ensembliste et ´equivalence logique.

D´efinition 4(Parties). SoitE un ensemble. L’ensemble des parties deE est not´e P(E), c’est-`a- dire, pour tout ensemble A,

A∈ P(E) ⇔ A⊂E.

Exemple 27. SoitE un ensemble.

. . . .

1.5.2 Op´ erations ensemblistes

D´efinition 5. Soient E un ensemble,Aet B deux parties deE.

On appeller´eunion deAetB l’ensemble not´eA∪B,

A∪B={x; x∈Aoux∈B}.

On appelleintersection deAet B l’ensemble suivant :

A∩B={x; x∈A etx∈B}.

00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000

11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111

000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000

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00000000 00000000 00000000 00000000 0000

11111111 11111111 11111111 11111111 1111 A

B

A∩B

000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111

000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 A

B

A∪B

Remarque. En pr´esence de plusieurs ensembles nous utiliserons les formes abr´eg´ees A1∪ · · · ∪An =

n

[

i=1

Ai

A₁∩ · · · ∩A_n =

n

\A_i

Exercice 3. (Formule d’inclusion/exclusion de Poincar´e) SoitEun ensemble de cardinal fini. Mon- trer que pour toutn∈N et toutes parties(A1, . . . , An)deE,

|A1∪. . .∪An|=

n

X

j=1

X

1≤i1<i2<···<ij≤n

(−1)^j+1|Ai₁∩ · · · ∩Ai_j|.

On rappelle que pour toutes partiesA, B deE,|A∪B|=|A|+|B| − |A∩B|.

D´efinition 6(Compl´ementaire). SoitE un ensemble, A une partie de E. Le compl´ementaire de A, not´eA^c ouAest l’ensemble des ´el´ements deE qui n’appartiennent pas `a A,

A^c={x∈E ; x6∈A}.

Proposition 3. SoientA, B deux sous-ensembles d’un ensembleE. On a (A^c)^c = A,

(A∪B)^c = A^c∩B^c. Cette derni`ere ´egalit´e est appel´ee Loi de Morgan.

Remarque. On remarquera les analogies entre logique et th´eorie des ensembles, notammant entre non/^c, et /∩et ou/∪.

D´efinition 7(Produit cart´esien). SoientE1, E2, . . . , En,nensembles non vides. On appelleproduit cart´esien deE1, E2, . . . , En, not´eE1×E2× · · · ×En l’ensemble

{(x1, x2, . . . , xn) ; x1∈E1, x2∈E2, . . . , xn∈En} Lorsque E₁=E₂=. . .=E_n le produitE₁×E₂×. . .×E_n est not´eEⁿ. Exemple 28. Vous avez d´ej`a rencontr´e le plan

. . . . Soient E₁={1,2,4} etE₂={3,5}. On a alors

. . . .

1.6 Comment r´ esoudre un syst` eme lin´ eaire ?

Cette ann´ee, nous allons automatiser la r´esolution des syst`emes lin´eaires `a ninconnues, o`un est un entier naturel quelconque. Pour cela, nous d´evelopperons la th´eorie des espaces vectoriels plus tard dans l’ann´ee. En attendant, nous allons nous entraˆıner `a r´esoudre les syst`emes de fa¸con algorithmique.

Dans toute ce chapitre, la m´ethode de la substitution abord´ee au lyc´ee devra ˆetre abandonn´ee au profit de la m´ethode bien plus efficace du pivot de Gauss.

Soient (a_1,1, . . . , a_1,n, . . . , a_n,1, a_n,n, b₁, . . . , b_n) des nombres r´eels ou complexes. Nous appellerons syst`eme (S) d’inconnuesx₁, . . . , x_n l’ensemble des ´equations

(S)











a_1,1x₁+. . .+a_1,nx_n=b₁ a2,1x1+. . .+a2,nxn=b2

... =... an,1x1+. . .+an,nxn=bn

D´efinition 8(Syst`emes ´equivalents). Unn-uplet est solution de (S) si et seulement si il est solution de chacune des lignes du syst`eme.

Deux syst`emes sont dits´equivalents s’ils ont le mˆeme ensemble de solutions.

Nous noterons L1, . . . , Ln les lignes du syst`eme et appelleronsop´erations ´el´ementaires sur les lignes du syst`eme les transformations suivantes

∗ Pouri6=j, l’´echange des lignesL_i et L_j, symbolis´e parL_i↔L_j.

∗ Pourα6= 0, la multiplication de la ligneL_i parα, symbolis´ee parL_i←αL_i.

∗ Pouri6=j et β∈C, l’ajout `aL<sub>i</sub>de la ligne L<sub>j</sub> multipli´ee parβ, symbolis´e parL<sub>i</sub>←L<sub>i</sub>+βL<sub>j</sub>. Le r´esultat essentiel que nous obtiendrons dans le cours sur les syst`emes est le suivant.

Th´eor`eme 1. Le syst`eme obtenu par application d’op´erations ´el´ementaires sur les lignes est

´

equivalent au syst`eme initial.

Fort de ce th´eor`eme, l’algorithme du pivot de Gauss consiste `a r´esoudre un syst`eme en le transformant en syst`emes ´equivalents grˆace aux op´erations ´el´ementaires.

Principe :On utilise les op´erations ´el´ementaires pour tranformer le syst`eme en un syst`eme ´echelonn´e, c’est-`a-dire dans lequel le nombre d’inconnues d´ecroˆıt strictement quand on passe d’une ligne `a la suivante. De mani`ere imag´ee, on part d’un syst`eme rectangulaire et on arrive `a un syst`eme triangulaire.

Algorithme :

∗ On cherche une ligne o`u le coefficientαdex1est non nul et sympathique. Nous noterons cette ligne Li₀.

∗ On ´echange les lignes 1 eti0de fa¸con `a mettre la ligne sympathique en haut du syst`eme,L1↔Li₀.

∗ On utilise la nouvelle ligneL1 pour ´eliminer les occurences dex1 dans les lignes suivantes, c’est la ligne pivot. Par exemple, si `a la ligneL2le coefficient de x1 esta, on effectue L2←L2−^a_αL1.

∗ On reprend ensuite les ´etapes l’algorithme en travaillant sur toutes les lignes sauf la premi`ere de mani`ere `a ´eliminerx₂. . .

∗ Enfin, on exprime les solutions en fonction des variables libres.

Important :Pour pouvoir revoir les calculs, on notera toujours `a la fin de la ligne du nouveau syst`eme l’op´eration effectu´ee. On rappelle ´egalement qu’il est interdit de diviser par 0.

Exemple 29. R´esoudre le syst`eme (S)







2x−y+ 4z= 2 x+ 2y−3z= 6 4x+ 3y−2z= 14

.

. . . .

Pour terminer, quelques remarques, les d´emonstrations viendront dans le cours d’alg`ebre lin´eaire.

D´efinition 9(Rang). On appellerang du syst`eme le nombre d’´equations non triviales du syst`eme

´

echelonn´e.

Th´eor`eme 2. L’ensemble des solutions d’un syst`eme (S) ne peut avoir que trois formes possibles.

∗ Soit (S) n’a pas de solution (les ´equations sont ditesincompatibles),

∗ soit (S) a un unique solution (le rang est alors ´egal au nombre d’inconnues),

∗ soit (S) a une infinit´e de solutions (le rang est alors strictement inf´erieur au nombre d’inconnues).

Remarque. Si vous trouvez exactement deux solutions `a un syst`eme lin´eaire, vous vous ˆetes tromp´es. . .