D´ eveloppements limit´ es ´ el´ ementaires

Universit´e des Antilles et de la Guyane Facult´e des Sciences Exactes et Naturelles D´epartement Scientifique Interfacultaire, Campus de Schoelcher

D´ eveloppements limit´ es ´ el´ ementaires

Ces formules s’obtiennent toutes par la formule de Taylor, c’est-`a-dire on a a_n=f⁽ⁿ⁾(x₀)/n! pour coefficient de (x−x₀)ⁿ (et ici partout x₀ = 0).

o(xⁿ) repr´esente une fonction inconnue de la formexⁿε(x), avec lim

x→0ε(x) = 0.

e^x= expx= 1 +x+1

2x²+...+ 1

n!xⁿ+o(xⁿ) sinx=x− 1

6x³+−...+ (−1)ⁿ

(2n+ 1)!x²ⁿ⁺¹+o(x²ⁿ⁺²) cosx= 1− 1

2x² +−...+(−1)ⁿ

(2n)! x²ⁿ+o(x²ⁿ⁺¹) ln(1 +x) =x− 1

2x²+−...+(−1)ⁿ⁺¹

n xⁿ+o(xⁿ) 1

1−x = 1 +x+x² +...+xⁿ+o(xⁿ) (1 +x)^α = 1 +αx+ α(α−1)

2 x²+...+ α

n

xⁿ+o(xⁿ) avec

α n

= α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! = α

1 · α−1

2 ·α−2

3 · · ·α−n+ 1 n Attention : Le DL d’une compos´ee f(u(x)) s’obtient par substitution du DL(x₀) de u(x) dans le DL(u₀) de f(u) en u₀ =u(x₀).

Il faut donc s´eparer cette constante pour pouvoir utiliser le DL(0) def. (Exemple : chercher le DL₄(0) de exp(expx) et de sin(x+a).)

Quelques autres DL : (donn´es `a titre indicatif) tanx=x+1

3x³+ 2

15x⁵+ 17

315x⁷+ 62

2835x⁹+o(x¹⁰) arcsinx=x+1

6x³+1·3·x⁵

2·4·5 +...+1·3· · ·(2n−1)x²ⁿ⁺¹

2·4· · ·2n·(2n+ 1) +o(x²ⁿ⁺¹) arctanx=x− 1

3x³+ 1

5x⁵−+...+ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

2n+ 1 +o(x²ⁿ⁺²)

et on a : arccosx= ^π₂ −arcsinx; arctan_x¹ =±^π₂ −arctanx ( DLn(±∞)).

N.B. : Pour tanx, le coefficient g´en´eral s’exprime en terme des nombres de Bernoulli. Pour les fonctions chx = ^ex+e₂^−x et shx = ^ex−e₂^−x et leurs r´eciproques, on a cosx = ch(i x) = <e e^{i x}, sinx = ¹_i sh(i x) = =m e^{i x}, Arsh(x) = ¹_i arcsin(i x)... (donc le signe d’un terme sur deux du DL change).

Primitives des fonctions usuelles

Z

x^αdx= x^α+1

α+ 1 +C (α ∈R\ {−1}) Z 1

xdx= ln|x|+C Z

cosxdx= sinx+C Z

sinxdx=−cosx+C Z

e^xdx=e^x+C Z

shxdx= chx+C Z

chxdx= shx+C Z 1

1 +x² dx= arctanx+C Z 1

√1−x² dx= arcsinx+C (−1≤x≤1) Z 1

√1 +x² dx= Arshx+C = ln(x+√

1 +x²) +C₂ Z

f(u(x))u⁰(x) dx=F(u(x)) avec F(u) = Z

f(u) du .

C’est la formule du changement de variable d’int´egration, valable siuest une bijection telle que u et u⁻¹ soient continˆument d´erivables sur l’intervalle en question (sinon il faut le d´ecouper en sous-intervalles).

En terme d’int´egrales d´efinies, on a Z u(b)

u(a)

f(t) dt= Z b

a

f(u(x))u⁰(x) dx .

Exercice :Refaire le tableau aveca x+bau lieu dex[poseru(x) =a x+b R f(a x+b) dx= ¹_aF(a x+b)] eta x²+b x+cau lieu de 1±x² (moins ´evident).

Int´egration par parties : Pour f, g∈ C¹(I;R), on a Z

f⁰(x)g(x) dx=f(x)g(x)− Z

f(x)g⁰(x) dx ou encore, avec I = [a, b] et en utilisant les int´egrales d´efinies :

Z b a

f⁰(x)g(x) dx=h

f(x)g(x)ib a

− Z b

a

f(x)g⁰(x) dx