14 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode 14.1

(1)

14 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode

14.1

Diagrammes de Bode exact et asymptotique de G(s) = Y(s)

U(s) = K s·(1 +s·T) pourK = 10 et T = 1 [s] :

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−60

−40

−20 0 20 40

60 Diagramme de Bode (exact et asymptotique)

gain [dB]

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−180

−135

−90

−45 0

ω [rad/s]

phase [degré]

f_ra_14_1_1.eps

Lieu de Nyquist :

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

−1000

−900

−800

−700

−600

−500

−400

−300

−200

−100 0

Re

Im

Diagramme de Nyquist

(2)

14.2

U(s) = (1 + 10·s) (1 +s)·(1 + 3·s)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−40

−20 0

gain [dB]

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−90

−45 0 45 90

ω [rad/s]

phase [degré]

f_ra_14_2_1.eps

Lieu de Nyquist :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

Re

Im

Diagramme de Nyquist

f_ra_14_2_2.eps

14.3

U(s) = 10· (1 + 10·s) s·10

(3)

100⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 20

40

gain [dB]

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹

−90

−45 0

ω [rad/s]

phase [degré]

f_ra_14_3_1.eps

14.4

U(s) = 10·(1 +s)

100⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

20 40

gain [dB]

100⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

45 90

ω [rad/s]

phase [degré]

f_ra_14_4_1.eps

(4)

14.5

Diagrammes de Bode exact et asymptotique de N1(s) = 1−s et

N₂(s) = 1 +s

100⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

20

gain [dB]

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−90

−45 0 45 90

ω [rad/s]

phase [degré]

f_ra_14_5_1.eps

(5)

14.6

Diagrammes de Bode exact et asymptotique de G(s) = 100

s² · (1 +s·0.3333)

(1 +s·0.01)·(1 +s·0.003333)

0.1 1 10 59.6418100 1000 10000

−120

−100

−80

−60

−40

−20 0 20 40 60

80 Diagrammes de Bode exact et asymptotique (exact et asymptot ique)

gain [dB]

0.1 1 10 59.6418100 1000 10000

−180

−135

−90

−45 0 45 90 180

ω [rad/s]

phase [degré]

f_ra_14_6_1.eps

(6)

15 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’un syst` eme asservi

On commence par mettre la fonction de transfert en boucle ouverte G_o(s) sous forme de Bode :

G_o(s) = 10· 100

s+ 10 = 100

1 +s·0.1 = K_o 1 +s·T_o

On en déduit l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée, régulation de correspondance :

G_w(s) = W(s)

Y(s) = G_o(s) 1 +G_o(s) =

Ko

1+s·To

1 + _1+s·T^K^o

o

= K_o

1 +s·To+Ko

= K_o 1 +Ko

· 1

1 +s·_1+K^T^o

o

= K_w

1 +s·Tw

Le trac´e des diagrammes de Bode exact et asymptotique est le suivant :

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

−40

−20 0 20 40

Diagrammes de Bode de G_o(s) et G_w(s) (exact et asymptotique)

gain [dB]

G_o G_w

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

−90

−45 0

ω [rad/s]

phase [degré]

G_o G_w

f_ra_17_1.eps

Ces diagrammes confirment que :

1. Tout pendant que le gain de boucle |G_o(j·ω)| est élevé, la précision en boucle fermée est bonne puisque |G_w(j·ω)| →1 ;

(7)

2. Le système est généralement plus dynamique en boucle fermée qu’en boucle ouverte ;

3. A partir d’une certaine pulsation, de l’ordre de grandeur de la pulsation de coupure `a 0 [dB] en boucle ouverte ω_co , le gain en boucle ferm´ee chute et rejoint celui en boucle ouverte.

Les lieux de Nyquist correspondants sont trac´es ci-dessous et ne font que corro- borer ces dires.

0 20 40 60 80 100

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10 0

Re(G_o(jω)) Im(Go(jω))

Lieu de Nyquist de G_o(s)

f_ra_17_2.eps

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0

Re(G_w(jω)) Im(Gw(jω))

Lieu de Nyquist de G_w(s)

f_ra_17_3.eps

16 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’un syst` eme asservi

16.1

Les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée G_w(s) ou G_v(s) sont les valeurs annulant leur dénominateur ; écrire que celui-ci est égal à zéro revient à résoudre l’équation caractéristique dc(s) :

d_c(s) = 1 +G_o(s) = 0

La fonction de transfert en boucle ouvertG_o(s) a pour expression : Go(s) = Kp ·(1 +s·Td)· K_a2

(1 +s·T) · K_e s = K_o

s · (1 +s·T_d) (1 +s·T) avecK_o =K_p·K_a1·K_e

On peut en déduire soit directement l’équation caractéristique, soit tout d’abord la fonction de transfert en boucle fermée, régulation de correspondance, G_w(s) : G_w(s) = Y (s)

W(s) = G_o(s) 1 +G_o(s) =

Ko

s · ^(1+s·T_(1+s·T^d₎⁾

1 + ^K_s^o · ^(1+s·T_(1+s·T^d₎⁾ = K_o·(1 +s·T_d)

s·(1 +s·T) +K_o·(1 +s·T_d)

= (1 +s·T_d) 1

T

(8)

Le dénominateur obtenu est à identifier terme à terme au dénominateur de la fonction de transfert d’un système fondamental d’ordre 2 :

G₂(s) = K₂ 1 + ^2·ζ_ω

n ·s+_ω¹2 n ·s² On a :

ω_n = qKo

T

ζ = ¹₂ ·

T_d+ _K¹

o

·ω_n= ¹₂ ·

T_d+ _K¹

o

·q

Ko

T

On en extrait l’expression deKo en fonction deζ : ζ² = ¹₄ ·

T_d+ _K¹

o

2

· ^K_T^o

4·ζ²·T ·K_o =K_o²·T_d² + 2·T_d·K_o+ 1 K_o²·T_d²+K_o·2·(T_d−2·ζ²·T) + 1 = 0 Finalement :

K_o² ·T_d²+K_o·2·(T_d−2·ζ²·T) + 1 = 0 K_o1,2 = ^−2·(^Td−2·ζ²·T)^±√

4·(T_d−2·ζ²·T)²−4·T_d² 2·T_d²

= ⁻(^Td−2·ζ²·T)^±√

(Td−2·ζ²·T)²−T_d²

T_d² = ⁻(^Td−2·ζ²·T)^±√

−4·T_d·ζ²·T+4·ζ⁴·T² T_d²

= ⁻(^Td−2·ζ²·T)^±2·ζ·√

T·(−T_d+ζ²·T) T_d²

Pour queζ = 0.5, il faut donc que :

Ko1,2 = −(1−2·0.25·10)±2·0.5·p

10·(−1 + 0.25·10)

1 =

7.873 0.127 On choisit ici de manière arbitraire la solution assurant le comportement le plus rapide en boucle fermée. Sachant que la durée de réglage Treg est donnée, pour un système à deux pôles dominants, de manière relativement précise par

T_reg = 3

δ = 3 ζ·ω_n et que selon la relation obtenue pr´ec´edemment

ω_n = rK_o

T

il est évident que c’est la valeur la plus élevée de K_o qui doit être choisie. On en déduit le gain K_p du régulateur :

K_p = K_o

K_a1 ·K_e = 7.873

10·1 = 0.7873

Le programmeMATLABsuivant permet de vérifier qu’avec cette valeur deK_p, le taux d’amortissementζ est bien égal à 0.5.

(9)

% I n i t i a l i s a t i o n d e s p a r a m e t r e s T = 1 0 ;

Ka2 = 1 0 Ke = 1 ; Kp = 0 . 7 8 7 3 ; Td = 1 ; a = 1 e−3;

% F o n c t i o n s de t r a n s f e r t

% R e g u l a t e u r

[ numGc, denGc ] = p a r a l l e l ( [ Kp ] , [ 1 ] , Kp∗[ Td , 0 ] , [ a∗Td , 1 ] ) ;

% S y s t e m e a r e g l e r numGa = Ka2∗Ke ; denGa = [ T , 1 , 0 ] ;

% F o n c t i o n s de t r a n s f e r t en b o u c l e o u v e r t e

[ numGo, denGo ] = s e r i e s ( numGc, denGc , numGa, denGa ) ;

% F o n c t i o n s de t r a n s f e r t en b o u c l e f e r m e e r e g u l a t i o n de c o r r e s p o n d a n c e [ numGw, denGw ] = c l o o p ( numGo, denGo ) ;

% C a l c u l du t a u x d ’ a m o r t i s s e m e n t z e t a a l ’ a i d e de l a f o n c t i o n damp damp( denGw)

% A f f i c h a g e de p o l e s e t d e s c o u r b e s e q u i a m o r t i s s e m e n t a v e c m i s e en f o r m e f i g u r e( 1 )

pzmap ( numGw, denGw) s g r i d ( [ 0 . 1 : 0 . 1 : 0 . 9 ] , [ ] ) a x i s( [−2 , 0 ,−1 , 1 ] ) a x i s( ’ s q u a r e ’ )

t i t l e( ’ C o n f i g u r a t i o n p o l e−z ´e r o en b o u c l e f e r m´e e ’ )

% T r a c e de l a r e p o n s e i n d i c i e l l e f i g u r e( 2 )

s t e p m e ( numGw, denGw)

Le tracé de la configuration pôle-zéro en boucle fermée confirme que ζ = 0.5

−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.8 0.7 0.6 0.2

0.9 0.7

0.9 0.4

0.8 0.1

0.1 0.2

0.3 0.3

0.5 0.4 0.5 0.6

f_ra_18_1.eps Configuration pole−zéro en boucle fermée

Real Axis

Imaginary Axis

alors que la r´eponse indicielle deG_w(s) montre un comportement bien amorti.

(10)

0 2 4 6 8 10 12 14 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

t [s]

y(t)

Réponse indicielle

T_reg+/−5%=5[s]

Tdep T10%

T90%

T_m=1.2[s]

D=26.6875%

y_Inf=1

f_ra_18_2.eps

16.2

Les fonctions de transfert en boucle ouverte G_o(s) ainsi qu’en boucle fermée G_w(s), régulation de correspondance, ont déjà été calculées au point précédent.

La fonction de transfert en boucle ferm´eeGv(s), r´egulation de maintien, a quant

`

a elle pour expression :

Gv(s) = Y (s)

V (s) = Ga2(s) 1 +G_o(s) =

Ka2·Ke

s · _(1+s·T¹ ₎

1 + ^K_s^o ·^(1+s·T_(1+s·T^d₎⁾ = Ka2·Ke

s·(1 +s·T) +K_o·(1 +s·T_d)

= 1

K_p · 1

1 +s·

T_d+_K¹

o

+s² ·_K^T

o

Les diagrammes de Bode des trois fonctions de transfert sont donn´es ci-dessous.

(11)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−80

−60

−40

−20 0 20 40

gain [dB]

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−180

−135

−90

−45 0

ω [rad/s]

phase [degré]

f_ra_18_3.eps

(12)

17 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode de syst` emes poss´ edant un retard pur

17.1

Diagramme de Nyquist de G(s) =e^−s·T^r, avec Tr = 2 [s] :

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Re(G(jω))

Im(G(jω))

Lieu de Nyquist de G(s)

f_ra_15_1.eps

Diagramme de Bode :

10⁻¹ 10⁰ 10¹

−20 0

20 Diagramme de Bode

gain [dB]

10⁻¹ 10⁰ 10¹

−630

−540

−450

−360

−270−225

−180−135−90−450

ω [rad/s]

phase [degré]

f_ra_15_2.eps

La représentation de la phase de l’élément retard pur en échelles linéaires pour la pulsation est la suivante :

(13)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−600

−500

−400

−300

−200

−100 0

ω [rad/s] (lin.)

arg(G(jω)) [deg.]

Phase de G(s)

f_ra_15_3.eps

18 Lieu de Nyquist

L’examen du diagramme de Bode met en ´evidence les comportement suivants : – Pour les basses fr´equences, la phase tend vers −180 [^◦] et le gain vers l’infini.

– A hautes fr´equences, le gain tend naturellement vers z´ero et la phase vers

−180 [^◦].

– Dans une zone de fr´equences interm´ediaires, la phase remonte provisoirement, avant de chuter vers −180 [^◦].

0 G ( j w )

I m

- 1 R e

w = 0 [ r a d / s ]

w = [ r a d / s ]¥

f _ 2 0 _ 1 . e p s