TS 8 DM 4 Correction 24 novembre 2015 Exercice 1 : Probl`eme
Un joueur d´ebute un jeu vid´eo et effectue plusieurs parties successives. On admet que :
• la probabilit´e qu’il gagne la premi`ere partie est de 0,1 ;
• s’il gagne une partie, la probabilit´e de gagner la suivante est ´egale `a 0,8 ;
• s’il perd une partie, la probabilit´e de gagner la suivante est ´egale `a 0,6.
On note, pour tout entier naturelnnon nul :
• Gn l’´ev`enementle joueur gagne lan-i`eme partie;
• pn la probabilit´e de l’´ev`enement Gn· On a doncp1= 0,1.
1. Montrer quep2= 0,62. On pourra s’aider d’un arbre pond´er´e.
Solution:
On a l’arbre pond´er´e suivant :
G1 et G1 forment un syst`eme complet d’´ev´enements.
Donc d’apr`es la formule des probabilit´e totale.
On ap2=p(G1)×pG1(G2) +p G1
×p(G
1)(G2)
= 0,1×0,8 + 0,9×0,6 = 0,08 + 0,54 = 0,62.
ttot
G1 0,1
G2 0,8
G2 0,2
G1 0,9
G2 0,6
G2 0,4
Gn pn
Gn+1 0,8
Gn+1 0,2
Gn 1−pn
Gn+1 0,6
Gn+1 0,4
2. Le joueur a gagn´e la deuxi`eme partie. Calculer la probabilit´e qu’il ait perdu la premi`ere.
Solution: Il faut trouverpG2 G1
= p G1∩G2 p(G2) =0,54
0,62 =27 31.
3. Calculer la probabilit´e que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premi`eres parties.
Solution: La probabilit´e que le joueur ne gagne aucune des trois parties est
´egale `a 0,9×0,4×0,4 = 0,144.
La probabilit´e qu’il gagne au moins une partie est donc ´egale `a 1−0,144 = 0,856.
4. Montrer que pour tout entier naturelnnon nul, pn+1=1
5pn+3 5. Solution:
A la partie` n, on a l’arbre suivant :
Gn et Gn forment un syst`eme complet d’´ev´enements donc d’apr`es la formule des probabilit´es totales : pn+1=p(Gn)×pGn(Gn+1) +p Gn
×pGn(Gn+1)
= pn ×0,8 + (1−pn)×0,6 = 0,8pn + 0,6−0,6pn = 0,2pn+ 0,6 = 1
5pn+3 5.
ttot
G1 0,1
G2 0,8
G2 0,2
G1 0,9
G2 0,6
G2 0,4
Gn pn
Gn+1 0,8
Gn+1 0,2
Gn 1−pn
Gn+1 0,6
Gn+1 0,4
5. Montrer par r´ecurrence que, pour tout entier naturelnnon nul,pn =3 4−13
4
1
5 n
.
Solution:
Pour tout entiern, on appelleP(n) la proposition : pn =34−13 4
1 5
n
. Initialisation :On a bien 3
4−13 4
1
5 1
=3 4−13
20 = 15−13 20 = 2
20= 1
10 = 0,1 = p1.
DoncP(1) est vraie H´er´edit´e :
Soitnun entier naturel tel queP(n) est vraie. Montrons queP(n+ 1) est vraie.
P(n+ 1) s’´ecrit : pn =34−13 4
1 5
n+1
. D’apr`es la formule d´emontr´ee `a la question 4 : pn+1= 1
5pn+3 5.
D’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence,pn3 4−13
4
1
5 n
Doncpn+1 = 1 5
3 4 −13
4
1
5
n
+3 5 = 3
5 ×1 4 +3
5−13 4
1 5
n+1
= 3 20+12
20− 13
4
1
5 n+1
=3 4 −13
4
1
5 n+1
. La propri´et´e est vraie au rangn+ 1.
Conclusion
On a donc d´emontr´e par r´ecurrence que pour n∈N∗, pn=3 4 −13
4
1
5 n
.
6. D´eterminer la limite de la suite (pn) quandntend vers +∞.
Solution:
Comme−1< 1
5 <1, on a lim
n→+∞
1
5 n
= 0, donc lim
n→+∞pn= 3
4 = 0,75.
7. Pour quelles valeurs de l’entier naturelna-t-on : 3
4 −pn <10−7? Solution: Pour tout entier n, pn+1 −pn = −134 × 15
n
× 15−1
= 134 ×
1 5
n
× 45 >0. Donc (pn) est strictement croissante et (34 −pn) est strictement d´ecroissante.
Il suffit donc de d´eterminer le plus petit entier N tel que 34 −pN < 10−7. `A l’aide de la calculatrice (on peut utiliser un algorithme), on a 34−p10>10−7et
3
4−p11<10−7. Donc l’in´equation est v´erifi´ee pour n>11
