L2-S4 2012-2013 Int´egration
Examen
Premi` ere session avril 2013 3 heures
Documents et machines interdits Barˆ eme ` a titre indicatif
Exercice 1. Vrai ou faux (5 points). Indiquer si la proposition est vraie ou fausse, sans justification. + 1 point par r´eponse juste. -1 point par r´eponse fausse ! Note minimale : 0.
(1) Soit f :R+→R. Sif tend vers 0 en +∞, alorsR+∞
0 f converge.
(2) Une fonction continue par morceaux sur un segment a une primitive.
(3) Si Ω est un ensemble quarrable du plan, l’int´egrale double de la fonction constante ´egale `a 1 sur Ω est ´egale `a l’aire de Ω.
(4) L’int´egrale sur [0,1] de la fonction qui vaut 1 sur [0,1/4[, 2 en 1/4, 1/2 sur ]1/4,3/4] et −1 sur ]3/4,1] vaut 1/4.
(5) La 1-formeydx+xdy est exacte sur le disque unit´e.
Exercice 2. (3,5 points)Soitf : [1,+∞[→Rune fonction continue telle queR+∞
1 f(t)dtconverge. Soit F : [1,+∞[→R,F(x) =Rx
1 f.
a) F est-elle continue ? D´erivable ? Convergente en +∞? Born´ee ? Justifier chacune des r´eponses.
b) En utilisant une int´egration par partie, faire apparaitreF dans Z X
1
f(t) tα dt, o`u X >1 etα >0.
c) En d´eduire que pour tout nombre r´eelα >0, l’int´egrale Z +∞
1
f(t) tα dt converge.
Exercice 3. (5 points)Soitw=x2dx−xydy.
a) Calculer l’int´egrale curviligne dewle long du segment orient´e de (0,0) `a (1,1).
b) Calculer l’int´egrale curviligne dew le long de l’arc de paraboley =x2, 0≤x≤1, orient´e dans le sens desxcroissants.
c) Dessiner les deux courbes. Elles d´elimitent un domaine U. Calculer l’int´egrale dewle long du bord de U orient´e dans le sens direct. En utilisant un th´eor`eme du cours, en d´eduire siwest ferm´ee ou non.
d) R´epondre `a la question pr´ec´edente en utilisant la d´efinition.
e)Donner deux arguments diff´erents pour montrer quewn’est pas exacte.
f )Peut-on savoir siwest ferm´ee ou pas en sachant qu’elle n’est pas exacte ? (utiliser un th´eor`eme du cours)
1 / 2
Exercice 4. (7,5 points)
a) SoitD={(t, z)∈R2,|t|+|z| ≤ 12},k, q∈N∗,q pair,k≤3. On pose J =
Z Z
D
(1 +t)kzqdtdz.
(1) Dessiner D.
(2) ´Enoncer le th´eor`eme de Fubini.
(3) En utilisant Fubini, montrer que
J= 2 q+ 1
Z 12
−12
(1 +t)k 1
2− |t|
q+1
dt.
b) Soit Ω ={(x, y, z)∈R3, y≥0,|p
x2+y2−1|+|z| ≤ 12}. On pose I=
Z Z Z
Ω
xk−2yzqdxdydz.
On d´efinit
F : [0, π]×D → Ω
(θ, t, z) 7→ ((1 +t) cos(θ),(1 +t) sin(θ), z) . (1) Dessiner Ω.
(2) V´erifier queF est bien `a valeur dans Ω. Dans la suite on admet queF est une bijection.
(3) Calculer le jacobien deF.
(4) ´Enoncer la formule de changement de variables en dimension 3.
(5) En utilisant le changement de variables donn´e par F et un autre th´eor`eme du cours, montrer que
I= 2 k−1J.
Exercice 5. (Bonus (1 point)Donner la valeur de l’int´egrale double de la fonctionf(x, y) = ln(x2tan(√ y)) sur Ω ={(x, y)∈R2|(x+ 1)2+y2≤1, x≥0}.
Fin de l’´epreuve
2 / 2
