L2-S4 2013–2014 Int´egration
Examen
Premi` ere session mai 2014 3 heures
Documents et machines interdits Barˆ eme ` a titre indicatif
La notation prendra en compte la justification des r´eponses et le soin apport´e `a la r´edaction.
Exercice 1. (7 points) a) Etudier la convergence de´
I1= Z 1
0
et
t dt , I2= Z +∞
−∞
1
t3dt , I3= Z +∞
0
e−t2dt .
b) Etudier la convergence et calculer´
I4= Z +∞
1
1
t2(t+ 1)dt . c) Montrer que l’int´egrale
F(x) = Z +∞
0
e−t2sin3(xt) dt d´efinit une fonction continue et d´erivable surR.
Exercice 2. (6 points)Soitf :R2→Rde classeC2 v´erifiant
∂2f
∂x2 +∂2f
∂y2 = 0. On notea=f(0,0). Pourr >0, on pose
F(r) = Z 2π
0
f(rcos(θ), rsin(θ))dθ .
a) Montrer queF est d´erivable sur ]0,+∞[ et montrer que F0(r) =
Z 2π 0
cos(θ)∂f
∂x(rcos(θ), rsin(θ)) + sin(θ)∂f
∂y(rcos(θ), rsin(θ)) dθ . SoitB(r) le disque de centre 0 et de rayonr, et Γrson bord parcouru dans le sens positif.
b) Enoncer la formule de Green–Riemann pour une 1-forme´ u,B(r) et Γr.
c)Ecrire´ rF0(r) comme l’int´egrale curviligne sur Γrd’une formeωque l’on pr´ecisera. Calculer cette int´egrale.
d) En d´eduireF en fonction dea.
e)En utilisant les coordonn´ees polaires, en d´eduire la valeur de Z Z
B(r)
f .
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Exercice 3. (12 points)
On noteF l’ensemble des fonctions f :R→Rcontinues, born´ees, telles queR+∞
−∞ |f|converge.
a) Rappeler ce que signifie queR+∞
−∞ |f|converge.
Pourf, g∈ F, on d´efinit f∗g, leproduit de convolution def etg, par : pour toutx∈R,
f ∗g(x) = Z +∞
−∞
f(x−t)g(t) dt .
b) Dans cette question,f, g, h∈ F.
(1) Montrer que pour tout x∈R, Z +∞
−∞
f(x−t) dt= Z +∞
−∞
f(t) dt .
(2) Montrer quef∗g est une fonction bien d´efinie surR, continue et born´ee.
(3) Montrer quef∗g=g∗f.
(4) Montrer que sif est d´erivable, etf0 ∈ F, alorsf∗g est d´erivable, et (f∗g)0=f0∗g .
c) Pourn∈N∗, soit fn:R→Rd´efinie par
fn(x) =
fn(x) =−n2x+n,x∈[0,1/n]
fn(x) =n2x+n ,x∈[−1/n,0]
fn(x) = 0 ,|x| ≥ n1
.
(1) Dessiner le graphe defnpourn= 2,n= 3 et unnplus grand de votre choix. V´erifier que l’int´egrale g´en´eralis´eeR+∞
−∞ fn converge et la calculer.
(2) Soitg continue surR. V´erifier quefn∗gest bien d´efinie surRet que (fn∗g)n converge simplement vers g. (Indications : on utilisera la valeur de R+∞
−∞ fn. On remarquera aussi que fn est nulle en dehors d’un intervalle.)
Fin de l’´epreuve
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