TS6 DS 7 29 mars 2019 Dur´ ee 120 minutes. Le bar` eme est donn´ e ` a titre indicatif.

TS6 DS 7 29 mars 2019 Dur´ ee 120 minutes. Le bar` eme est donn´ e ` a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´ e dans la r´ edaction sera p´ enalis´ e.

Nom, pr´ enom :

Exercice 1 : Pour s’´ echauffer (25 minutes) (4

/

points)

1. D´ eterminer une primitive de f : x 7→ 2x + 3 et g : x 7→

d´ efinies sur R 2. Soit f d´ efinie sur R par f (x) = (4x + 9)e

.

(a) Montrer que F d´ efinie sur R par F (x) = (x + 2)e

est une primitive de f (b) En d´ eduire

Z

f (x)dx

3. Dans un rep` ere orthonorm´ e (O;~i;~j ; ~ k), on consid` ere les points A(1; −2; 3), B(−1; 0; 1) et C(2; 1; 0).

Calculer, au dixi` eme pr` es, une mesure de l’angle \ ABC

4. Dans un rep` ere orthonorm´ e (O;~i;~j; ~ k), on consid` ere ~ u(2; 3; 6) et ~ v(3; 2; 3), d´ eterminer un vecteur normal ` a ~ u et ~ v

Exercice 2 : Probl` eme int´ egrale (40 minutes) (6

/

points) On consid` ere la fonction g d´ efinie pour tout r´ eel x de

l’intervalle [0 ; 1] par : g(x) = 1 + e

.

On admet que, pour tout r´ eel x de l’intervalle [0 ; 1], g(x) > 0.

Le but de cet exercice est de partager le domaine D en deux domaines de mˆ eme aire, d’abord par une droite parall` ele ` a l’axe des ordonn´ ees (partie A), puis par une droite parall` ele ` a l’axe des abscisses (partie B).

On note C la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal, etDle domaine plan com- pris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbeC, d’autre part entre les droites d’équationx=0 etx=1.

La courbe C et le domaine D sont représentés ci- contre.

1 2

1

C D

x y

0

Le but de cet exercice est de partager le domaineDen deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soitaun réel tel que 0!^a!^1.

On noteA1l’aire du domaine compris entre la courbe C, l’axe (Ox),les droites d’équationx=0 etx=a, puis A2celle du domaine compris entre la courbeC, (Ox) et les droites d’équationx=aetx=1.

A1etA2sont exprimées en unités d’aire.

1 2

1

A1 A2

C

a x

y

0

1. a. Démontrer queA1=a−e^−a+1.

b. ExprimerA2en fonction dea.

2. Soitf la fonction définie pour tout réelxde l’intervalle [0 ; 1] par : f(x)=2x−2e^−x+1

e.

a. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. On précisera les valeurs exactes def(0) etf(1).

b. Démontrer que la fonctionf s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1]. en un réelα.

Donner la valeur deαarrondie au centième.

3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réelapour lequel les airesA1etA2sont égales.

Partie B

Soitbun réel positif.

Dans cette partie, on se propose de partager le domaineD en deux domaines de même aire par la droite d’équationy=b. On admet qu’il existe un unique réelbpositif solution.

1. Justifier l’inégalitéb<1+1

e. On pourra utiliser un argument graphique.

2. Déterminer la valeur exacte du réelb. *

3

Partie A

On noteC la courbe représentative de la fonctiong dans un repère orthogonal, etDle domaine plan com- pris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbeC, d’autre part entre les droites d’équationx=0 etx=1.

La courbe C et le domaine D sont représentés ci- contre.

1 2

1

C D

x y

0

Le but de cet exercice est de partager le domaineDen deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soitaun réel tel que 0!^a!^1.

On noteA1l’aire du domaine compris entre la courbe C, l’axe (Ox),les droites d’équationx=0 etx=a, puis A2celle du domaine compris entre la courbeC, (Ox) et les droites d’équationx=aetx=1.

A1etA2sont exprimées en unités d’aire.

1 2

1

A1 A2

C

a x

y

0

1. a. Démontrer queA1=a−e^−a+1.

b. ExprimerA2en fonction dea.

2. Soitf la fonction définie pour tout réelxde l’intervalle [0 ; 1] par : f(x)=2x−2e^−x+1

e.

a. Dresser le tableau de variation de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 1]. On précisera les valeurs exactes def(0) etf(1).

b. Démontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1]. en un réelα.

Donner la valeur deαarrondie au centième.

3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réelapour lequel les airesA1etA2sont égales.

Partie B

Soitbun réel positif.

Dans cette partie, on se propose de partager le domaineDen deux domaines de même aire par la droite d’équationy=b. On admet qu’il existe un unique réelbpositif solution.

1. Justifier l’inégalitéb<1+1

e. On pourra utiliser un argument graphique.

2. Déterminer la valeur exacte du réelb. *

3

1. a. D´ emontrer que A

= a − e

+ 1.

b. Exprimer A

en fonction de a.

2. Soit f la fonction d´ efinie pour tout r´ eel x de l’intervalle [0 ; 1] par : f(x) = 2x − 2 e

+ 1

e .

a. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. On pr´ ecisera les valeurs exactes de f(0) et f (1).

b. D´ emontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1]. en un r´ eel α. Donner la valeur de α arrondie au centi` eme.

3. En utilisant les questions pr´ ec´ edentes, d´ eterminer une valeur ap- proch´ ee du r´ eel a pour lequel les aires A

et A

sont ´ egales.

Partie B

Soit b un r´ eel positif.

Dans cette partie, on se propose de partager le domaine D en deux domaines de mˆ eme aire par la droite d’´ equation y = b. On admet qu’il existe un unique r´ eel b positif solution.

1. Justifier l’in´ egalit´ e b < 1 + 1

e . On pourra utiliser un argument graphique.

2. D´ eterminer la valeur exacte du r´ eel b.

TS 6 DS 7 Page 2 sur 2

Exercice 3 : Espace (35 minutes) (6 points)

L’espace est muni d’un rep` ere orthonormal O ; − →

ı , − →

 , − → k

.

1. On d´ esigne par P le plan d’´ equation x + y − 1 = 0 et par P

le plan d’´ equation y + z − 2 = 0.

Justifier que les plans P et P

sont s´ ecants et v´ erifier que leur intersection est la droite D, dont une repr´ esentation param´ etrique est :







x = 1 − t y = t z = 2 − t

, o` u t d´ esigne un nombre r´ eel.

2. a. D´ eterminer une ´ equation du plan R passant par le point O et orthogonal ` a la droite D.

b. D´ eterminer les coordonn´ ees du point I , intersection du plan R et de la droite D.

3. Soient A et B les points de coordonn´ ees respectives

− 1

2 ; 0 ; 1 2

et (1 ; 1 ; 0).

a. V´ erifier que les points A et B appartiennent au plan R.

b. On appelle A

et B

les points sym´ etriques respectifs des points A et B par rapport au point I.

Justifier que le quadrilat` ere ABA’ B’ est un losange.

c. V´ erifier que le point S de coordonn´ ees (2 ; −1 ; 3) appartient ` a la droite D.

d. Calculer le volume de la pyramide SABA

B

.

Exercice 4 : Espace 2 (20 minutes) (3 points)

espace est mini d’un rep` ere

O ; − → ı , − →

 , − → k

.

Soit P le plan d’´ equation cart´ esienne : 2x − z − 3 = 0.

On note A le point de coordonn´ ees 1 ; a ; a

o` u a est un nombre r´ eel.

1. Justifier que, quelle que soit la valeur de a, le point A n’appartient pas au plan P .

2. a. D´ eterminer une repr´ esentation param´ etrique de la droite D (de param` etre t) passant par le point A et orthogonale au plan P.

b. Soit M un point appartenant ` a la droite D, associ´ e ` a la valeur t du param` etre dans la repr´ esentation param´ etrique pr´ ec´ edente.

Exprimer la distance AM en fonction du r´ eel t.

On note H le point d’intersection du plan P et de la droite D orthogo- nale ` a P et passant par le point A.

Le point H est appel´ e projet´ e ortho- gonal du point A sur le plan P et la distance AH est appel´ ee distance du point A au plan P.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Hachurer le domaineDλ. correspondant à la valeurλproposée sur le graphique en annexe page 8.

b. On noteAλl’aire du domaineDλ, exprimée en unités d’aire. Démontrer que :

Aλ=1−λ+1 e^λ .

c. Calculer la limite deAλlorsqueλtend vers+∞et interpréter le résultat.

3. On considère l’algorithme suivant : Variables :

λest un réel positif

Sest un réel strictement compris entre 0 et 1.

Initialisation :

SaisirS

λprend la valeur 0 Traitement :

Tant Que 1−λ+1

e^λ <Sfaire λprend la valeurλ+1 Fin Tant Que

Sortie :

Afficherλ

a. Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeurS=0,8?

b. Quel est le rôle de cet algorithme ?

E

2 3 points

Commun à tous les candidats L’espace est mini d’un repère!

O,→−ı ,−→ ȷ ,→−k"

. SoitPle plan d’équation cartésienne : 2x−z−3=0.

On noteAle point de coordonnées#

1 ;a;a²$

oùaest un nombre réel.

1. Justifier que, quelle que soit la valeur dea, le pointAn’appartient pas au plan P.

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droiteD (de para- mètret) passant par le pointAet orthogonale au planP.

b. SoitMun point appartenant à la droiteD, associé à la valeurtdu para- mètre dans la représentation paramétrique précédente.

Exprimer la distanceAMen fonction du réelt.

On noteHle point d’intersec- tion du plan Pet de la droite D orthogonale àPet passant par le point A. Le point H est appelé projeté orthogonal du point Asur le planPet la dis- tance AHest appelée distance

du pointAau planP. P ^H

A D

Métropole 2 21 juin 2017

3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance AH du point A de coordonn´ ees 1 ; a ; a

au

plan P est minimale ? Justifier la r´ eponse.