Th´ eorie des Nombres - TD5 El´ ´ ements de complexit´ e algorithmique

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2011-2012 Module MM020

Th´ eorie des Nombres - TD5 El´ ´ ements de complexit´ e algorithmique

On appelle “op´eration ´el´ementaire” dans un anneauAla somme ou le produit de deux ´el´ements deA.

On appelle “op´eration binaire ´el´ementaire” la somme ou le produit de deux nombres s’´ecrivant avec un seul chiffre en base 2.

On ne s’int´eresse ici qu’`a la complexit´e temporelle (temps d’´ex´ecution de l’algorithme) et non `a la complexit´e spatiale (encombrement m´emoire).

Exercice 1 :

a) Montrer que le nombre d’op´erations binaires ´el´ementaires pour calculer “na¨ıvement” la somme de deux entiers de moins de n chiffres (´ecrits en binaire) est O(n).

b) Montrer que le nombre d’op´erations binaires ´el´ementaires pour calculer “na¨ıvement” le produit de deux entiers de moins de n chiffres (´ecrits en binaire) est O(n²).

c) Montrer que le nombre d’op´erations ´el´ementaires dansZpour calculer “na¨ıvement”n! estO(n).

Quel est le nombre d’op´erations binaires ´el´ementaires correspondant ?

d) Soient a, k, ntrois entiers. Montrer que le nombre d’op´erations ´el´ementaires modulokpour cal- culer “na¨ıvement” aⁿ modulo k est O(n) et que le nombre d’op´erations binaires ´el´ementaires est O(nlog(k)²). Proposer un algorithme plus efficace, montrer que le nombre d’op´erations

´

el´ementaires modulo k est alors O(log(n)) et que le nombre d’op´erations binaires ´el´ementaires est O(log(n) log(k)²)

Exercice 2 : (Algorithme de Karatsuba)

L’objectif de cet exercice est l’´etude d’un algorithme pour le produit des nombres entiers qui est plus rapide que la m´ethode na¨ıve. On fixeB ≥2 un entier.

a) Soientx, y∈Ndeux nombres entiers, dont l’´ecriture en baseB compte moins de nchiffres. Soit

n

2 ≤m < n. On ´ecrit x=x₁B^m+x₀ ety =y₁B^m+y₀ les divisions euclidiennes de x ety par B^m. Calculer le produitx.y en fonction desx_i ety_j.

b) Combien de multiplications de nombres de moins de m chiffres sont n´ecessaires au calcul de x.y? En d´eduire un algorithme de multiplication des entiers, et ´evaluer rapidement le nombre d’op´erations ´el´ementaires de cet algorithme. Le comparer `a l’algorithme na¨ıf.

c) Avec les notations pr´ec´edentes, v´erifier que x1y0+x0y1= (x1+x0)(y1+y0)−x1y1−x0y0. d) En d´eduire un nouvel algorithme pour calculerx.y, en effectuant moins de multiplications. ´Etablir

une formule de r´ecurrence pour le nombre d’op´erations ´el´ementaires, puis ´evaluer ce nombre et comparer `a l’algorithme na¨ıf (on pourra supposer pour commencer que n est une puissance de 2).

e) Que donne cet algorithme pour le calcul de aⁿ modulo k(voir exercice 1, question d)) ? Exercice 3 : (Transform´ee de Fourier rapide)

Soit k ≥ 0 et n := 2^k. Soit A un anneau et ω ∈A tel que ωⁿ = 1 et ω^t−1 n’est pas diviseur de 0 pour 1≤t≤n−1. SoientF, G∈A[X], tels que deg(F.G)< n. On cherche un algorithme rapide pour calculerF.G∈A[X].

a) On d´efinit φ = φn : A[X] → Aⁿ par φ(P) =: (P(1), P(ω), . . . , P(ωⁿ⁻¹)). L’objectif de cette question est de calculer efficacement φ(H), avec deg(H) < n. On ´ecrit H(X) = Pn−1

i=0 a_iXⁱ et on pose m := ⁿ₂. On ´ecrit les divisions euclidiennes de H par X^m −1 et X^m+ 1 : H(X) = (X^m−1)Q0(X) +R0(X) etH(X) = (X^m+ 1)Q1(X) +R1(X).

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i) Pour toutl∈Z, calculerH(ω^l) en fonction deR₀(ω^l) et R₁(ω^l).

ii) Calculer les coefficients deR₀ etR₁ en fonction des a_i. iii) On poseR₁(X) :=R₁(ωX). Calculer les coefficients deR₁.

iv) Montrer que l’on peut calculerφ_n(H) `a partir deφ_m(R₀) et φ_m(R₁).

v) En d´eduire un algorithme pour calculerφ(H) et ´evaluer le nombre d’op´erations ´el´ementaires dans An´ecessaires.

b) On cherche maintenant `a utiliser la question a) pour calculer le produit F.G.

i) On note φela restriction de φaux polynˆomes de degr´e < n. Calculer la matrice de φedans les bases canoniques, et en d´eduire que φeest inversible et que son inverse se calcule en un nombre d’op´erations ´el´ementaires ´egal `a celui de la question a)v).

ii) En d´eduire un algorithme pour calculerF.G∈A[X], et montrer qu’il n´ecessiteO(nlog(n)) op´erations ´el´ementaires dansA.

c) On cherche maintenant `a multiplier efficacement des entiers de taillen= 2<sup>k</sup>. On suppose donn´e un nombre premier 2n < p < Kn (K est une constante fix´ee, ind´ependante de n) tel que p ≡ 1 [2n] et un g´en´erateur ζ de (Z/pZ)<sup>∗</sup>. En d´eduire un algorithme de multiplication des entiers qui s’´ecrivent en binaire avec moins denchiffres. ´Evaluer le nombre d’op´erations binaires n´ecessaires, et comparer `a la m´ethode na¨ıve et `a l’algorithme de l’exercice 2.

d) En d´eduire un algorithme pour calculer aⁿ modulo k et ´evaluer sa complexit´e (voir exercice 1, question d) et exercice 2, question e)).

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