Cours de math´ematiques. 1.

Cours de math´ ematiques.

1. Int´egrales multiples.

Commen¸cons par quelques rappels sur l”int´egrale d’une fonction num´erique r´eelle - qui nous serviront mˆeme en dimension plus grande.

1.1. Rappels en dimension 1 et d´efinitions pr´eliminaires.

1.1.1. L’int´egrale comme limite de sommes de Riemann. L’int´egrale d’une fonction num´erique r´eelle est d´efinie pour toute fonction continue f : [a, b]→R, not´eeRb

af(x)dx.

Intuitivement il s’agit de l’aire sous la courbe, mais voici comment on proc`ede rigoureusement : pour n≥1 un entier fix´e on subdivise l’intervalle [a, b] en nsous-intervalles cons´ecutifs

[a, b] = [a₁, b₁]∪[a₂, b₂]∪[a_n, b_n]

avec a_i=a+ (i−1)^b−a_n etb_i=a+i^b−a_n . Ensuite on consid`ere la somme (dite de Riemann) : S_n(f) =

i=n

X

i=1

f(a_i)b−a n

Cette somme repr´esente pr´ecis´ement l’aire d’une r´eunion de rectangles de base b_i−a_i(= ^b−a_n ), de hauteur f(ai).

La fonctionf est continue sur chaque intervalle [a_i, b_i], donc elle y admet un maximumM_n,i(f)(=

f(αn,i)) pour un certain αn,i ∈[ai, bi]), et un minimummn,i(f)(= f(βn,i)) pour un certain βn,i∈ [a_i, b_i]). On peut alors consid´erer deux autres sommes de Riemann :

S_n(f) =

i=n

X

i=1

f(α_n,i)b−a

n etS_n(f) =

i=n

X

i=1

f(β_n,i)b−a n On a clairement l’encadrement :

S_n(f)≤S_n(f)≤S_n(f)

La sommeS_n(f) repr´esente l’aire d’une union de rectangles au dessous de la courbe repr´esentative de f (et la somme Sn(f) repr´esente l’aire d’une union de rectangles au dessus de la courbe repr´esentative de f).

Th´eor`eme 1.1. Les trois sommes de Riemann S_n(f), Sn(f), Sn(f) convergent quand n tend vers l’infini. Elles ont mˆeme limite, par d´efinition cette limite est l’int´egrale de f sur [a, b], not´ee Rb

af(x)dx.

esquisse de d´emonstration. Par l’encadrement il suffit de montrer que S_n(f) et S_n(f) ont mˆeme limite.

On remarque queSn(f)−S_n(f) =Pi=n

i=1(Mn,i(f)−mn,i(f))^b−a_n .

Commef est continue sur [a, b] elle y est uniform´ement continue. Donc pour εfix´e quelconque il existe α >0 tel que si|x−y|< αalors|f(x)−f(y)|< α.

Poussonsnassez loin pour que le pas de subdivision ^b−a_n devienne< α. Nous aurons alors pour touti la majoration suivante de l’´ecart maximal des valeurs def sur [ai, bi]:

Mn,i(f)−mn,i(f)< ε

1

Ainsi

Sn(f)−S_n(f)<

i=n

X

i=1

εb−a

n =ε(b−a)

Nous venons en fait de montrer que limn→+∞Sn(f)−S_n(f) = 0. Il reste `a montrer que les deux suites convergent (ou une seule, puisque leur distance tend vers 0).

On constate alors que sim≥1 divise n≥1 alors on a

S_n(f)≤S_m(f)≤S_m(f)≤S_n(f)

Donc par exemple la suite S₂ⁿ(f) est croissante, la suiteS2ⁿ(f) est d´ecroissante et on a montr´e ci-dessus queS2ⁿ(f)−S₂n(f)→0 : par le th´eor`eme des suites adjacentes il en r´esulte que ces deux suites ont mˆeme limite.

(Cette fa¸con d’int´egrer par subdivisions successives en deux intervalles ´egaux - “dichotomie” - se programme bien.)

Pour conclure la preuve on montre que la suiteS_n(f) est de Cauchy. Pourn, k≥N (on prendra N tr`es grand ensuite), posons m=kn. AlorsS_n(f)≤S_m(f)≤Sn(f), donc

|S_n(f)−S_m(f)| ≤ |S_n(f)−Sn(f)|

et de mˆeme

|S_k(f)−S_m(f)| ≤ |S_k(f)−Sk(f)|

Or nous avons montr´e que la suite (|S_p(f)−Sp(f)|) tend vers 0, donc siN est assez grand|S_n(f)− S_m(f)|et|S_k(f)−S_m(f)|sont tr`es petits, de sorte que finalement|S<sub>n</sub>(f)−S<sub>m</sub>(f)|est tr`es petit.

Le th´eor`eme de Cauchy sur les suites assure alors que (S_n(f))n≥1 est convergente.

Une cons´equence imm´ediate de la d´efinition est l’encadrement suivant, o`u l’on a pos´em(f,[a, b]) = minx∈[a,b]f(x) et M(f,[a, b]) = maxx∈[a,b]f(x) :

m(f,[a, b])(b−a)≤ Z b

a

f(x)dx≤M(f,[a, b])(b−a) On obtient une approximation (en g´en´erale grossi`ere) deRb

a f(x)dxpar la quantit´ef(c)×(b−a), pour c∈[a, b] quelconque. L’erreur commise est :

| Z b

a

f(x)dx−f(c)(b−a)| ≤max M(f,[a, b])−f(c), f(c)−m(f,[a, b])

×(b−a) donc

| Z b

a

f(x)dx−f(c)(b−a)| ≤ M(f,[a, b])−m(f,[a, b])

×(b−a) Enfin lorsque c varie dans [a, b], la quantit´e Rb

af(x)dx−f(c)(b−a) est ≥ 0 en tout point c tel que f(c) = m(f,[a, b]), et elle est ≤ 0 en tout point c tel que f(c) = M(f,[a, b]). Donc par la continuit´e de f et le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, il existe au moins un point c∈[a, b] tel queRb

af(x)dx=f(c)(b−a).

Remarque 1.2.

1) Si au lieu de prendre le pointa_i pour ´evaluerf dans la somme de Riemann on prend un point quelconque c_i de l’intervalle [a_i, b_i], la somme de Riemann correspondante reste comprise entre S_n(f) etSn(f). Donc cette suite de sommes converge ´egalement.

2) Si on prend une subdivision de [a, b] = [a₁, b₁]∪[a₂, b₂]∪[a_n, b_n] en intervalles non n´ecessairement de mˆeme longueur (mais toujours d’int´erieurs disjoints), et si on choisit dedans un pointci∈[ai, bi] pour ´evaluer f, on peut consid´erer la somme de Riemann associ´ee :

S(f,(a_i),(b_i),(c_i)) =

i=n

X

i=1

f(c_i)×(b_i−a_i)

On montre facilement que quand on prend une suite de subdivisions dont le pas (par d´efinition

= max_i(b_i−a_i)) tend vers 0 alors la suite de sommes de Riemann converge encore versRb

af(x)dx.

3) Enfin si on consid`ere une union d’intervalles [a1, b1]∪[a<sub>2</sub>, b2]∪[a<sub>n</sub>, bn]⊂[a, b] dont les int´erieurs sont deux `a deux disjoints, et si on choisit dedans un point c_i ∈ [a_i, b_i] pour ´evaluer f, alors la somme de Riemann associ´ee :

S(f,(ai),(bi),(ci)) =

i=n

X

i=1

f(ci)×(bi−ai) converge encore vers Rb

af(x)dx si = maxi(bi −ai) tend vers 0 et de plus la longueur totale du multi-intervalle (= (b₁−a₁) + (b₂−a₂) +· · ·+ (b_n−a_n)) tend versb−a.

Cela d´ecoule du point 2) en compl´etant [a1, b1]∪[a2, b2]∪[an, bn]⊂[a, b] en une vraie subdivision de [a, b]: on rajoute les quelques intervalles manquant (il y en a au plusn+ 1, et la longueur totale des intervalles manquant tend vers 0), en choisissant dedans arbitrairement un point pour ´evaluer f

Pour les calculs explicites:

(1) d’une part on ne se sert (presque) pas de la d´efinition (par limite de sommes de Riemann) mais plutˆot des propri´et´es vues en cours ;

(2) d’autre part on travaille avec les fonctions usuelles (restreintes `a un intervalle [a, b]).

On proc`edera de mˆeme pour int´egrer les fonctions continues sur un domaine du plan ou de l’espace.

1.1.2. Rappel sur la dimension 1.

Une fonction f : I → R est continue (sur I) si pour tout t dans l’intervalle I et toute suite (t_n)n≥0 de r´eels de I tendant verston a limf(t_n) =f(t). Parmi les fonctions continues une classe essentielle est constitu´ee des fonctions usuelles.

D´efinition 1.3(fonctions usuelles sur un intervalle deR). Une fonction num´erique usuelle de base d’une variable r´eelle, c’est f : I → R, avec I ⊂ R un intervalle (de longueur > 0 [ou mˆeme une union finie d’intervalles]), et f(x) polynomiale, exponentielle, sinuso¨ıdale. Ensuite les fonctions usuelles s’obtiennent `a partir des fonctions de base par les op´erations habituelles : somme, produit, quotient (l`a o`u le d´enominateur ne prend pas la valeur 0), compos´ee, inverse (quand et o`u bijectif).

Exemple 1.4. Fractions rationnelles, logarithme, puissances, polynˆome trigonom´etrique.

La d´eriv´ee d’une fonction usuelle est une fonction usuelle. Mais l’int´egration - l’op´eration inverse de la d´erivation - pose plus de probl`emes : il est souvent difficile de calculerRb

af(x)dx, mˆeme pour f usuelle assez simple.

Rappelons le :

Th´eor`eme 1.5 (th´eor`eme fondamental de l’analyse). Soit f : [a, b] → R une fonction continue.

Alors la fonctionF(x) =Rx

a f(t)dtest d´erivable sur[a, b], de d´eriv´eeF⁰(x) =f(x). SiG: [a, b]→R est une quelconque autre fonction d´erivable telle que G⁰(x) =f(x), alors F−Gest constante. Et

Z b a

f(t)dt=G(b)−G(a)

Certaines fonctions usuelles (comme les polynˆomes) sont des d´eriv´ees de fonctions usuelles, d’autres non !

Probl`eme 1.6. Calculer limA→+∞R+A

−A exp(−x²)dx...

Proposition 1.7 (r`egles de calcul pourR_b

af(x)dx).

1.1.3. Les fonctions usuelles de plusieurs variables et leurs domaines.

Un point du plan g´eom´etrique est d´etermin´e par deux coordonn´ees cart´esiennes : pour cette raison nous appellerons l’ensembleR² des couples (x, y) un (voire “le”)plan, et ses ´el´ements seront appel´es des points. De mˆeme nous appellerons l’ensemble R³ de tous les triplets (x, y, z) l’espace, et ses ´el´ements seront appel´es des points.

D´efinition 1.8 (polynˆomes en 2 ou 3 variables). Unpolynˆome surR² est une fonctionP : (x, y)7→

P

i+j≤daijxⁱy^j (somme finie de monˆomes). De mˆeme un polynˆome sur R³ est une fonction P : (x, y, z)7→P

i+j+k≤da_ijkxⁱy^jz^k.

Bref les polynˆomes s’obtiennent en faisant des sommes et des produits de fonctions tr`es simples : les constantes d’une part, les coordonn´eesx, y (oux, y, z) d’autre part.

Exemple 1.9. (x, y)7→1; (x, y)7→x+ 2y; (x, y)7→2x²−3xy+y−5; (x, y)7→x³y³−x−y (x, y, z)7→1; (x, y, z)7→x+ 2y−3z; (x, y)7→ −x²+ 2yz+xz³+ 4; (x, y, z)7→x⁹y⁸z⁷+x⁷y⁹z⁸+ x⁸y⁷z⁹−3

Remarque 1.10. Certains polynˆomes sur R² (ou sur R³) ne d´ependent en fait que d’une seule variable. Par exempleP(x, y) = 2x−x³ - qu’il ne faut pas confondre avecp(x) = 2x−x³ (fonction d’une seule variable) - ni avecQ(x, y) = 2y−y³ (qui vaut P(y, x)).

D’autre part quand on fixe une variable dans un polynˆome P de n variables, on obtient un polynˆome desn−1 autres variables. Par exemple pourP(x, y, z) =xy²z³−x²y+ 4 fixonsz=−1, nous obtenons la fonction (x, y)7→4−x²y−xy², polynˆome en deux variables.

Par exemple siP =P(x, y) est un polynˆome de deux variables, quand on fixey=y0, on obtient un polynˆome d’une seule variable x 7→ P(x, y₀). Ce polynˆome est d´erivable sur R, on notera

∂P

∂x(x₀, y₀) sa d´eriv´ee en x =x₀. Cette fonction de (x₀, y₀) s’appelle la d´eriv´ee partielle de P par rapport `a x au point (x0, y0), c’est encore un polynˆome.

Par exemple pour P(x, y) = 3x³y−2xy²+y⁴−1 et y₀ quelconque fix´e, on obtient P(x, y₀) = 3x³y0−2xy²₀+y₀⁴−1, fonction d´erivable de xdont la d´eriv´ee par rapport `ax est : 9x²y0−2y₀², de sorte que ^∂P_∂x(x, y) = 9x²y−2y².

On d´efinit de mˆeme la d´eriv´ee partielle par rapport `a y : on fixe x =x0 et on obtient ainsi un polynˆome en y, que l’on d´erive par rapport `a y. Le r´esultat est not´e ^∂P_∂y(x₀, y₀), appel´e la d´eriv´ee partielle de P par rapport `a y au point(x0, y0).

D´efinition 1.11 (domaines du plan ou de l’espace).

Un domaine ´el´ementaire du plan est une partie D du plan R² d´efinie par une seule in´egalit´e (large ou stricte) : D={(x, y)∈R², c(x, y)≥0}(ouD={(x, y)∈R², c(x, y)>0}).

Undomaine de base du plan est une partieDdu planR² d´efinie par un nombre finid’in´egalit´es larges ou strictes : D = {(x, y) ∈ R², c1(x, y) ≥ 0, c2(x, y) ≥ 0, . . . , ci(x, y) ≥ 0, ci+1(x, y) >

0, . . . , c_k(x, y)>0}.

Un domaine du plan est une union finiede domaines de base.

De mˆeme undomaine de l’espaceest une union finie de domaines de base de l’espace, autrement dit des partiesD⊂R³ d´efinies par une famille finie d’in´egalit´es larges ou strictes : D={(x, y, z)∈ R³, s₁(x, y, z) ≥ 0, s₂(x, y, z) ≥ 0, . . . , s_j(x, y, z) ≥ 0, s_j+1(x, y, z) > 0, . . . , s<sub>`</sub>(x, y, z) > 0} (les domaines´el´ementaires de l’espace correspondent `a une seule in´egalit´e).

Pour nous les fonctions (x, y)7→c(x, y) (ou (x, y, z)7→s(x, y, z)) seront des fonctions usuelles de base (voir plus bas la D´efinition 1.14), presque toujours des polynˆomes.

Tous les domaines de base de R² consid´er´es seront r´eguliers, au sens o`u on interdit qu’il y ait un point (x0, y0)∈R² tel queci(x0, y0) = 0 et simultan´ement ^∂c_∂xⁱ(x0, y0) = ^∂c_∂yⁱ(x0, y0) = 0. Par le cours de calcul diff´erentiel, cette condition assure que l’ensemble des (x, y)∈R²tels queci(x, y) = 0 est bien une courbe (pour abr´eger cette courbe est not´ee par son ´equation c(x, y) = 0).

On dira alors que le domaine D = {(x, y) ∈ R², c1(x, y) ≥ 0, c2(x, y) ≥ 0, . . . , ci(x, y) ≥ 0, c_i+1(x, y)>0, . . . , c_k(x, y)>0}est d´elimit´e par les courbesc₁(x, y) = 0, c₂(x, y) = 0, . . . , c_k(x, y) = 0.

De mˆeme on supposera tous les domaines de base deR³r´eguliers: si^∂s_∂x^j(x0, y0, z0) = ^∂s_∂y^j(x0, y0, z0) =

∂sj

∂z (x₀, y₀, z₀) = 0 alorss_j(x₀, y₀, z₀)6= 0. Dans ce cass_j = 0 est une bien une surface deR³, et les surfaces s1 = 0, . . . , s` = 0 d´elimitent le domaine.

Un domaine estferm´es’il est une union finie de domaine de base d´efinis par des in´egalit´es larges uniquement.

Un domaine est born´e s’il est contenu dans un disque ou une boule.

Noter quec(x, y) =x²+y² est bien un polynˆome maisc(x, y) = 0 n’est pas une courbe. D’ailleurs

∂c

∂x(0,0) = _∂y^∂c(0,0) = 0.

Exemple 1.12 (quelques domaines).

(1) Carr´es, cubes.

(2) Disque, boules.

Remarque 1.13. Par d´efinition, tout domaine peut s’obtenir `a partir d’unions finie d’intersections finies de domaines de la forme c(x, y) ≥ 0 ou c(x, y) > 0. Le sens des in´egalit´es importe peu: il suffit de changerc en −c.

La classe des domaines consid´er´es est stable par certaines op´erations sur les ensembles:

(1) uneunion finie de domaine est un domaine (2) uneintersection finie de domaine est un domaine (3) le compl´ementaire d’un domaine est un domaine

D´efinition 1.14. Une fonction num´erique usuelle de base de deux variables r´eelles, c’estf :R² → R qui associe au point (x, y) la quantit´e φ(P(x, y)) avec P polynomiale sur R² et φ : R → R polynomiale, exponentielle ou sinuso¨ıdale.

De mˆeme une fonction num´erique usuelle de base de trois variables r´eelles, c’est f : R³ → R qui associe au point (x, y, z) la quantit´e φ(P(x, y, z)) avec P polynomiale sur R³ et φ : R → R polynomiale, exponentielle ou sinuso¨ıdale.

Ensuite les fonctions usuelles s’obtiennent `a partir des fonctions de base par les op´erations habituelles : somme, produit, quotient (l`a o`u le d´enominateur ne prend pas la valeur 0), com- pos´ee, inverse (quand bijectif).

Enfin les fonctions usuelles seront restreintes `a des domaines quelconques contenu dans le domaine de d´efinition, ce qui introduit une vari´et´e infinie pour une mˆeme formule de f en fonction des coordonn´ees (par d´efinition la mˆeme formule (x, y) 7→x²+y² sur le domainex ≥1 ou sur y ≤2 donne deux fonctions distinctes - fonction = formule + domaine).

Mise en garde 1.15. Autant les domaines de d´efinition des fonctions d’une variable sont tr`es simples, autant les domaines du plan (ou de l’espace) peuvent avoir des formes tr`es compliqu´ees.

Pour parvenir `a ´etudier - par exemple int´egrer - une fonction de plusieurs variables, il faudra d’abord visualiser le domaine o`u elle est d´efinie, et si possible le dessiner (sch´ematiquement).

D´efinition 1.16. Une fonction f :D⊂R² →Restcontinue (sur D)si pour tout pointp= (x, y) dans le domaineDet toute suite (pn)n≥0= (xn, yn)n≥0 de points deDtendant versp (c’est `a dire limx_n=x et limy_n=y), on a limf(p_n) =f(p).

De mˆeme une fonction f :D ⊂ R³ → R est continue (sur D) si pour tout point p = (x, y, z) dans le domaine Det toute suite (pn)n≥0 = (xn, yn, zn)n≥0 de points deD tendant vers p (c’est `a dire limx_n=x, limy_n=y et limz_n=z), on a limf(p_n) =f(p).

1.2. D´efinition de l’int´egrale.

1.2.1. Int´egrale d’une fonction f :D ⊂ R² → R. Soit D un domaine born´e r´egulier de R². Soit f : D → R une fonction num´erique continue. On approxime d’abord D par une union finie de carr´es internes.

Plus pr´ecis´ement : Soitn≥0 un entier (pens´e assez grand). SoitE_n (=E_n(D)) l’ensemble des points dont les coordonn´ees sont de la forme (r, s) = (₂^kn,₂<sup>`</sup>n) o`u (k, `) ∈ Z², et de plus le carr´e ferm´e C(r, s, n) de sommet (r, s),(r+₂¹n, s),(r+₂¹n, s+₂¹n),(r, s+¹_n) (“ de cˆot´e ₂¹n et d’aire (₂¹n)²

”) est contenu dans D. La somme de Riemann est la somme S(f, n) = X

(r,s)∈En

f(r, s). 1 2²ⁿ

Noter que cette somme peut ˆetre nulle : si le domaine est de taille petite par rapport `a ₂¹n alors aucun carr´e de cˆot´e ₂¹n n’est contenu dans D, donc En = ∅. En revanche comme D est born´e l’ensemble E_n est toujours fini, donc la somme de RiemannS(f, n) est finie.

Nous admettrons le r´esultat suivant, dont la preuve est similaire `a celle du th´eor`eme de conver- gence des sommes de Riemann des fonctions num´eriquesf : [a, b]→R.

Th´eor`eme 1.17 (convergence des sommes de Riemann vers l’int´egrale double).

Soit f :D ⊂R² → R une fonction continue sur D r´egulier born´e. Supposons que f est d´efinie et continue sur un domaine D qui contient D et qui de plus est r´egulier, born´e et ferm´e. Alors quandn→+∞, les sommes de Riemann S(f, n)ont une limite finie, qui sera not´eeR

Df(x, y)dxdy (parfoisRR

Df(x, y)dxdy en physique).

Si `a chaque pas n dans les sommes S(f, n) on remplace f(r, s) par f(r<sup>0</sup>, s<sup>0</sup>), o`u (r⁰, s⁰) est un point arbitraire dans le carr´e C(r, s, n), alors les sommes de Riemann correspondantes convergent aussi et elles ont la mˆeme limite.

Remarque 1.18.

(1) Une condition suffisante de convergence des sommes de Riemann est donc que le domaine d’int´egrationD de la fonction continue soit born´e, r´egulier et ferm´e.

(2) Mˆeme si la d´efinition est donn´ee pourf continue quelconque, les calculs explicites ne pour- ront ˆetre faits que pourf usuelle, qui plus est sur des domainesD tr`es simples.

Mise en garde 1.19. La condition “f d´efinie continue sur un domaine ferm´e contenant D” est essentielle dans le th´eor`eme ci-dessus ! Penser `a (x, y)7→ _x¹ sur le carr´e D=]0,1]×[0,1].

1.2.2. Int´egrale d’une fonction f :D ⊂ R³ → R. Soit D un domaine born´e r´egulier de R³. Soit f :D→ Rune fonction num´erique continue. On approxime d’abord Dpar un domaine union de cubes.

Pour n ≥ 0 un entier soit En (= En(D)) l’ensemble des points dont les composantes sont de la forme (r, s, t) = (₂^kn,₂<sup>`</sup>n,<sub>2</sub><sup>m</sup>n) o`u (k, `, m) ∈ Z³ et de plus le cube ferm´e C(r, s, t, n) de coin (r, s, t),(r+₂¹n, s, t),(r, s+₂¹n, t),(r, s, t+₂¹n) (“ de volume (₂¹n)³ ”) est contenu dansD. La somme de Riemann associ´ee est

S(f, n) = X

(r,s,t)∈En

f(r, s, t). 1 2³ⁿ

Th´eor`eme 1.20 (convergence des sommes de Riemann vers l’int´egrale triple).

Soitf :D⊂R³ →Rune fonction continue surD r´egulier born´e. Supposons que f est d´efinie et continue sur un domaineDqui contient Det qui de plus est r´egulier, born´e etferm´e. Alors quand n→ +∞ les sommes de Riemann S(f, n) ont une limite finie, not´ee R

Df(x, y, z)dxdydz (parfois RRR

Df(x, y, z)dxdydz en physique).

De plus si `a chaque pas n dans les sommes S(f, n) on remplace f(r, s, t) par f(r<sup>0</sup>, s<sup>0</sup>, t<sup>0</sup>), o`u (r⁰, s⁰, t⁰) est un point arbitraire dans le cube C(r, s, t, n), alors les sommes ont la mˆeme limite.

D´efinition 1.21 (aires et volumes). Soit D un domaine r´egulier born´e de R². Alors l’aire de D est par d´efinition

Aire(D) = Z

D

1dxdy

Soit Dun domaine r´egulier born´e deR³. Alors levolume de Dest par d´efinition Volume(D) =

Z

D

1dxdydz

Remarque 1.22. La fonction constante 1 est continue sur tout le plan ou l’espace, et le domaine Dborn´e est contenu dans un disque ferm´e ou une boule ferm´ee.

Avec la d´efinition de l’int´egrale comme limite de sommes de Riemann, on voit qu’on d´efinit l’aire de D comme la limite (croissante) de la suite des aires des sous-domaines Dn unions de carr´es contenus dansD. La d´efinition est donc raisonnable, puisqu’on peut montrer que l’aire r´esiduelle (celle de D\Dn) tend vers 0 (voir la preuve de la convergence des sommes de Riemann). D’autre part la d´efinition est compatible avec les formules pour les surfaces planes usuelles : polygone, disque, secteur ...

1.2.3. Interprˆetation g´eom´etrique des int´egrales.

On sait qu’intuitivement l’int´egrale R_b

af(x)dx d’une fonction f : [a, b] → R positive repr´esente

“l’aire sous la courbe repr´esentative de f”, autrement dit l’aire du domaineD={(x, y)∈R², a≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f(x)}. Notre d´efinition de l’aire d’un domaine donne un sens pr´ecis `a cette identification.

De mˆeme si Dest un domaine born´e deR², toute fonction (continue) f :D⊂R²→Rpeut-ˆetre repr´esent´e g´eom´etriquement par la surface Σ ={(x, y, z)∈R³,(x, y)∈D etz=f(x, y)}. On a:

Th´eor`eme 1.23 (Interprˆetation g´eom´etrique de l’int´egrale). Si f ≥ 0 soit S le solide sous la surface repr´esentative de f, autrement dit S ={(x, y, z)∈R³,(x, y)∈D et 0≤z≤f(x, y)}.

Alors R

Df(x, y)dxdy =Volume(S).

1.3. Premi`eres propri´et´es.

1.3.1. Les courbes du plan et les surfaces de l’espace sont invisibles pour l’int´egrale.

L’aire d’une courbe r´eguli`erec(x, y) = 0 est nulle. Le volume d’une surface r´eguli`eres(x, y, z) = 0 est nul. Plus g´en´eralement l’int´egrale double (ou triple) sur une courbe (ou une surface) est nulle.

Proposition 1.24. Soit C = {c(x, y) = 0} une courbe r´eguli`ere du plan R². Alors pour toute fonction continue f :D⊂R² →Rd´efinie sur un domaine r´egulier born´e ferm´eD, on a

Z

C∩D

f(x, y) dxdy = 0

De mˆeme soitS ={s(x, y, z) = 0}une surface r´eguli`ere de l’espaceR³. Alors pour toute fonction continue f :D⊂R³ →Rd´efinie sur un domaine r´egulier born´e ferm´eD, on a

Z

S∩D

f(x, y, z) dxdydz= 0 1.3.2. Propri´et´es alg´ebriques de l’int´egrale.

Les propri´et´es suivantes sont vraies pour les sommes de Riemann - donc en passant `a la limite elles sont vraies pour l’int´egrale.

Proposition 1.25 (l’int´egrale est lin´eaire).

1) Si f, g sont continues sur D ferm´e born´e r´egulier alors R

D(f+g) =R

Df+R

Dg.

2) Si a∈Ret f, est continue sur D ferm´e born´e r´egulier alorsR

Daf =aR

Df. 1.3.3. Majorations, minorations.

Proposition 1.26 (l’int´egrale est croissante par rapport `a la fonction).

Si f ≥g alors R

Df ≥R

Dg.

Comme cons´equences on obtient par exemple : Corollaire 1.27.

(1) Si f ≥0 alors R

Df ≥0.

(2) |R

Df| ≤R

D|f|.

(3)

minx∈Df(x)

aire(D)

≤ Z

D

f(x)dx ≤ max

x∈D f(x)

aire(D)

Clairement si f = 0 (la fonction nulle) R

Df = 0. On peut se demander quand est-ce que l’implication r´eciproque est vraie: quand est-ce que R

Df = 0 implique f = 0.

Proposition 1.28.

Soit D un domaine r´egulier born´e ferm´e.

Si f est continue et positive surD, alors f = 0 ⇐⇒ R

Df = 0.

Si f est continue de signe quelconque sur D, alors f = 0 ⇐⇒ R

D|f|= 0.

1.3.4. Lin´earit´e de l’int´egrale.

[lin´earit´e de l’int´egrale]R

(f+g) =R f+R

g,R

af =aR f

1.3.5. D´ecoupage des domaines.

Th´eor`eme 1.29 (d´ecoupage ´el´ementaire). Soit D⊂R² un domaine r´egulier born´e contenu dans un domaine r´egulier born´e ferm´e D ⊂ R², et soit f : D → R une fonction continue. Soient

∆1 = {(x, y) ∈ R², c(x, y) ≥ 0} et ∆2 = {(x, y) ∈ R², c(x, y) < 0}. Ainsi D = D1 tD2 avec D1=D∩∆1 et D1=D∩∆1. Alors

Z

D=D1tD₂

f(x, y)dxdy = Z

D1

f(x, y)dxdy+ Z

D2

f(x, y)dxdy Plus g´en´eralement :

Th´eor`eme 1.30 (d´ecoupage). Soit D⊂R² un domaine r´egulier born´e contenu dans un domaine r´egulier born´e ferm´e D ⊂ R², et soit f : D → R une fonction continue. Soient ∆₁ = {(x, y) ∈ R², c1(x, y) ≥0, . . . , ck(x, y) ≥0} et ∆2 =R²\∆1 le compl´ementaire de ∆1, i.e. ∆2 ={(x, y) ∈ R², c₁(x, y) <0, ou c₂(x, y) <0, . . . , ou c_k(x, y) <0}. Ainsi D=D₁tD₂ avec D₁ =D∩∆₁ et D₁=D∩∆₁. Alors

Z

D=D1tD2

f(x, y)dxdy = Z

D1

f(x, y)dxdy+ Z

D2

f(x, y)dxdy

En fait si on pose ∆⁰₂ = {(x, y) ∈ R², c₁(x, y) ≤ 0, ou c₂(x, y) ≤ 0, . . . , ou c_k(x, y) ≤ 0} puis D⁰₂=D∩∆⁰₂ on peut d´ecouper selon le Th´eor`eme 1.30 pour obtenir

Z

D⁰₂

f(x, y)dxdy = Z

D2

f(x, y)dxdy+ Z

D∩c(x,y)=0

f(x, y)dxdy= Z

D2

f(x, y)dxdy Autrement dit on ne change pas une int´egrale en enlevant ou en rajoutant les courbes au bord.

Et on a donc tout aussi bien : Corollaire 1.31.

Z

D=D1∪D⁰₂

f(x, y)dxdy = Z

D1

f(x, y)dxdy+ Z

D₂⁰

f(x, y)dxdy On a le mˆeme type de propri´et´es dans l’espace, avec les mˆemes arguments :

Th´eor`eme 1.32. Soit D ⊂ R<sup>3</sup> un domaine r´egulier born´e contenu dans un domaine r´egulier born´e ferm´e D ⊂ R<sup>3</sup>, et soit f : D → R une fonction continue. Soient ∆1 = {(x, y, z) ∈ R<sup>3</sup>, s<sub>1</sub>(x, y, z) ≥ 0, . . . , s<sub>`</sub>(x, y, z) ≥ 0} et ∆₂ = R³ \∆₁ le compl´ementaire de ∆₁, i.e. ∆₂ = {(x, y, z)∈R³, s1(x, y, z)<0, ou s2(x, y, z)<0, . . . , ou s`(x, y, z)<0}. Alors

Z

D=D1tD2

f(x, y, z)dxdydz= Z

D1

f(x, y, z)dxdydz+ Z

D2

f(x, y, z)dxdydz

= Z

D1

f(x, y, z)dxdydz+ Z

D⁰₂

f(x, y, z)dxdydz

Noter que les relations de d´ecoupage des int´egrales obtenues dans le plan ou l’espace g´en´eralisent la relation de Chasles pour les int´egrales Rb

af(x)dx.

Corollaire 1.33 (calcul d’aires et de volumes par d´ecoupages).

1.4. Le th´eor`eme de Fubini.

C’est l’outil essentiel pour le calcul explicite des int´ egrales multiples, car

il ram` ene le calcul des int´ egrales doubles au calcul des int´ egrales simples, et

celui des int´ egrales triples ` a celui des int´ egrales doubles.

1.4.1. Fubini dans le plan.

Un domaine D ⊂R² est dit en piles (ou en tranches horizontales) est un domaine de la forme D={(x, y)∈R², a≤x≤b, ψ(x)≤y≤φ(x)}, o`uφ: [a, b]→Retψ: [a, b]→Rsont des fonctions continues usuelles telles queψ(x)≤φ(x) pour x∈[a, b].

Th´eor`eme 1.34 (Fubini en piles). Soit f :D ⊂R<sup>2</sup> → R une fonction continue sur un domaine r´egulier, ferm´e, born´e. Supposons que D est en piles (ou en tranches verticales) , c’est `a dire que D est de la forme

D={(x, y)∈R², a≤x≤b, ψ(x)≤y ≤φ(x)}

o`u φ: [a, b]→Ret ψ: [a, b]→Rsont des fonctions continues usuelles telles que ψ(x)≤φ(x) pour x∈[a, b].

Alors l’int´egrale partielle Rφ(x0)

ψ(x0) f(x₀, y)dy est bien d´efinie pour tout x₀ ∈ [a, b] fix´e. De plus la fonction x7→Rφ(x)

ψ(x) f(x, y)dy est continue sur [a, b]et on a Z b

a

Z φ(x) ψ(x)

f(x, y)dy dx=

Z

D

f(x, y)dxdy

Th´eor`eme 1.35 (Fubini en tranches). Soitf :D⊂R<sup>2</sup> →Rune fonction continue sur un domaine r´egulier, ferm´e, born´e. Supposons que D D est en tranches (horizontales) , c’est `a dire que D est de la forme

D={(x, y)∈R², a≤y≤b, ψ(y)≤x≤φ(y)}

o`u φ: [a, b]→Ret ψ: [a, b]→R sont des fonctions continues usuelles telles queψ(y)≤φ(y) pour y∈[a, b].

Alors l’int´egrale partielle Rφ(y0)

ψ(y0)f(x, y₀)dx est bien d´efinie pour tout y₀ ∈[a, b] fix´e. De plus la fonction y7→Rφ(y)

ψ(y) f(x, y)dx est continue sur [a, b] et on a Z b

a

Z φ(y) ψ(y)

f(x, y)dx dy=

Z

D

f(x, y)dxdy

En g´en´eral on utilisera Fubini en piles et / ou Fubini en tranches apr`es avoir d´ecoup´e conven- ablement le domaine d’int´egration.

Remarque: Fubini (en piles) appliqu´e au calcul de l’aire de l’hypographe d’une fonction redonne l’int´egrale unidimensionnelle.

Comme cons´equence de Fubini, voici un premier r´esultat (simple) de changement de variables.

Corollaire 1.36(effet d’une dilatation des coordonn´ees). Soientλ, µdeux r´eels6= 0. On consid`ere la fonctionφ:R²→R² qui transforme (x, y) en(λx, µy).

Soit D⊂R² un domaine du plan, D⁰ =φ(D) son image parφ, et f :D⁰ →R. Alors

Z

D⁰

f(x⁰, y⁰)dx⁰dy⁰ = Z

D

f(λx, µy)|λ||µ|dxdy

Par exemple siDest un rectangle de la forme [a, b]×[c, d] (doncx varie dea`a bety varie dec

`

ad), alorsD⁰ est le rectangle [|λ|a,|λ|b]×[|µ|c,|µ|d]. Et sif est la fonction constante 1, la relation pr´edite par l’´enonc´e est simplement que l’aire de l’image D⁰ n’est pas ´egale `a l’aire de D, mais `a l’aire de Dmultipli´ee par|λ||µ|- ce qui est ´evident.

Ainsi une homoth´etie de rapportk multiplie les aires park².

1.4.2. Fubini dans l’espace.

Th´eor`eme 1.37 (Fubini sur un cyclindre). Soit f :D ⊂ R<sup>3</sup> → R une fonction continue sur un domaine r´egulier, ferm´e, born´e. Supposons que D est en piles (ou en tranches verticales) , c’est `a dire que Dest de la forme

D={(x, y, z)∈R³,(x, y)∈∆, ψ(x, y)≤z≤φ(x, y)}

o`u∆est un domaine r´egulier, born´e, ferm´e etφ: ∆→Retψ: ∆→Rsont des fonctions continues usuelles telles que ψ(x, y)≤φ(x, y) pour(x, y)∈∆.

Alors l’int´egrale partielle Rφ(x0,y0)

ψ(x0,y0) f(x0, y0, z)dz est bien d´efinie pour tout (x0, y0) ∈∆ fix´e. De plus la fonction (x, y)7→Rφ(x,y)

ψ(x,y) f(x, y, z)dz est continue sur ∆et on a Z

∆

Z φ(x,y) ψ(x,y)

f(x, y, z)dz

dxdy = Z

D

f(x, y, z)dxdydz

On peut bien sˆur appliquer Fubini sur un cylindre d’axe de direction (Ox) ou (Oy) (donc D est de la forme D = {(x, y, z) ∈ R³,(y, z) ∈ ∆, ψ(y, z) ≤ x ≤ φ(y, z)} ou D est de la forme D={(x, y, z)∈R³,(x, z)∈∆, ψ(x, z)≤y≤φ(x, z)}).

Th´eor`eme 1.38 (Fubini sur un cˆone). Soitf :D⊂R<sup>3</sup> →Rune fonction continue sur un domaine r´egulier, ferm´e, born´e. Supposons queD est un cone, c’est `a dire queD est de la forme

D={(x, y, z)∈R³,(x, y)∈h_ω,^z−a

b−a(∆), a≤z≤b}

o`u ∆ est un domaine r´egulier, born´e, ferm´e, h_ω,^z−a

b−a d´esigne l’homoth´etie de centre ω ∈ R² et de rapport k, et a < b sont des r´eels. Pour z ∈ [a, b] on notera ∆z le domaine h_ω,^z−a

b−a(∆), de sorte que ∆a= ∆ et ∆b={ω}. La condition(x, y)∈∆z ´equivaut explicitement `a demander qu’il existe (p, q)∈∆ tel que(x, y) =ω+^z−a_b−a(p, q).

Alors l’int´egrale partielle R

(x,y)∈∆z0f(x, y, z0)dxdy est bien d´efinie pour tout z0 ∈[a, b] fix´e. De plus la fonction z7→R

∆zf(x, y, z)dxdy est continue sur [a, b]et on a Z b

a

Z

∆z

f(x, y, z)dxdy dz=

Z

D

f(x, y, z)dxdydz (Ici encore on peut changer l’axe du cˆone.)

1.4.3. Applications. Aire d’un parall´elogramme, d’un disque, d’une ellipse, volume d’une boule, d’une pyramide... On retrouve les formules “classiques”.

SiR ⊂R² est un rectangle R= [a, b]×[c, d] et sif :R →R est continue de la forme f(x, y) = g(x)h(y) avec g: [a, b]→R, h: [c, d]→Rcontinues, on a

Z

R

f(x, y)dxdy = Z b

a

(g(x)dx Z d

c

(h(y)dy

SiD⊂R³ est un prismeD= ∆×[c, d] (avec ∆⊂R²) et sif :D→Rest continue de la forme f(x, y, z) =g(x, y)h(z) avecg: ∆→R, h: [c, d]→Rcontinues, on a

Z

R

f(x, y, z)dxdydz = Z

∆

(g(x, y)dxdy Z d

c

(h(z)dz

1.5. Invariance par isom´etries.

Th´eor`eme 1.39. Soit D ⊂ R² (ou R³) un domaine r´egulier born´e. Soit φ : R² → R² (ou φ:R³ →R³) une isom´etrie. Alors Aire(φ(D)) =Aire(D) (ou Vol(φ(D)) =Vol(D)).

L’int´egrale d’une fonction f : D ⊂ R² → R, c’est le volume de l’hypographe de f. Quand on d´eplace la fonction par une isom´etrie, l’hypographe de la nouvelle fonction s’obtient en d´epla¸cant l’hypographe de d´epart par une isom´etrie de R³. Donc l’int´egrale ne change pas. Ceci montre le r´esultat suivant.

Th´eor`eme 1.40.

Soit D⊂R² un domaine r´egulier ferm´e born´e, soitφ:R² →R² une isom´etrie (une translation, ou une rotation, ou une sym´etrie orthogonale par rapport `a une droite, ou une compos´ee quelconque de sym´etries orthogonales par rapport `a des droites), et soitf :φ(D)→Rune fonction continue.

Alors

Z

φ(D)

f(x⁰, y⁰)dx⁰dy⁰ = Z

φ(D)

f(x⁰, y⁰)dx⁰dy⁰ Exemple :

Z

[0,1]×[0,1]×[−1,+1]

1

(x+ 4)(y−5)³((z+ 3)²+ 4)dxdydz

On faitx⁰ =x+ 4, y⁰=y−5, z⁰ =z+ 3, de sorte queD⁰ = [4,5]×[−5,−4]×[2,4] s’obtient par translation de D...

Autre exemple : en utilisant l’invariance par isom´etrie on peut deviner que le volume d’un secteur sph´erique est proportionnel `a l’ouverture du secteur.

1.6. Calculs en coordonn´ees polaires dans le plan. Passer en coordonn´ees polaires, c’est

´

ecrire x = rcosθ et y = rsinθ, o`u r et θ varient dans un domaine R (`a pr´eciser) lorsque (x, y) d´ecrivent un domaine donn´e S (lequel ne doit pas contenir (0,0)). Lors de ce passage les fonctions f(x, y) sur S se transforment en fonctionsg(r, θ) =f(rcosθ, rsinθ) surR.

Pour −π < θ₁ ≤ θ₂ ≤ π et 0 < r₁ ≤ r₂ le domaine rectangulaire R = {(r, θ) ∈ R², r₁ ≤ r ≤ r2, θ1 ≤ θ ≤ θ2} correspond en (x, y) au rectangle curviligne S = {(x, y) ∈ R², r₁² ≤ x²+y² ≤ r₂², xsinθ2−ycosθ2≥0≥}. L’aire d’un secteur angulaire de rayon r d’ouvertureαest ¹₂αr², donc l’aire du rectangle curviligneSest ¹₂(θ2−θ1)(r₂²−r₁²), ce n’est pas l’aire du rectangleR, la formule tentanteR

Rg(r, θ)drdθ=R

Sf(x, y)dxdyest donc fausse (pourf = 1) ! Il faut donc imp´erativement introduire un coefficient pour pouvoir passer de l’int´egration surS `a l’int´egration surR.

En fait la bonne formule est : Z

R

g(r, θ)rdrdθ= Z

S

f(x, y)dxdy, Z

R

g(r, θ)drdθ= Z

S

f(x, y) px²+y²dxdy

1) Remarque: c’est coh´erent avec l’aire d’un secteurD⁰, i.e. la formule est juste pourf = 1 etD= un rectangle.

2) Esquisse de preuve. On se contente de montrer la formule pourD= [a, b]×[c, d], ensuite ce sera vrai pour tout domaineD⊂R⁺×[−π,+π] en ´ecrivantDcomme une union croissante de domaines Dnqui se d´ecoupent en rectangles, de sorte que Aire(D\Dn)→0.

a) PourD= [a, b]×[c, d] etf quelconque, on d´ecoupeDenn²rectanglesRij = [a+(i−1)^b−a_n , a+

i^b−a_n ]×[c+ (i−1)^d−c_n , c+i^d−c_n ].

Dans D⁰ on obtient un d´ecoupage par petits secteurs angulairesSijφ(Rij).

DoncR

D⁰f(x, y)dxdy =P

ij

R

Sijf(x, y)dxdyet de mˆemeR

Drf(rcosθ, rsinθ)drdθ=P

ij

R

Rijrf(rcosθ, rsinθ)drdθ.

b) Formule de la moyenne : nous avons d´ej`a remarqu´e que pour g continue sur un rectangleR, on a:

Min_(s,t)∈R(g(s, t))×Aire(R)≤ Z

R

g(s, t)dsdt≤Max_(s,t)∈R(g(s, t))×Aire(R)

Soit A₁ = (s₁, t₁) ∈ R un point o`u g atteint son minimum, et soit A<sub>2</sub> = (s<sub>2</sub>, t<sub>2</sub>) ∈R un point o`u g atteint son maximum. Tout le segment [A1A2] est dans le rectangle R, et comme g est continue la fonctionγ : [0,1]3u7→g(us₂+ (1−u)s₁, ut₂+ (1−u)t₁) est continue sur [0,1]. Alors γ(t)≤Max(s,t)∈R(g(s, t)) =γ(1), d’o`u Max_[0,1](γ(u)) =γ(1). De mˆeme Min_[0,1](γ(u)) =γ(0).

Par le th´eor`eme des valeurs interm´ediairesγ prend toutes les valeurs entre Min(s,t)∈R(g(s, t)) et Max(s,t)∈R(g(s, t)), donc pour un certainu0 on a

γ(u0) = R

Rg(s, t)dsdt Aire(R)

Alors au pointA0 = (u0s2+ (1−u0)s1, u0t2+ (1−u0)t1) on a g(A0) =

R

Rg(s,t)dsdt

Aire(R) . Autrement dit nous avons montr´e la formule de la moyenne :

Il existe toujours (au moins) un pointA0∈R tel que : Z

R

g(s, t)dsdt=g(A₀)×Aire(R)

c) Appliquons la formule de la moyenne sur Rij et sur Sij. Donc il existe des points Aij ∈ Rij

etB_ij ∈S_ij tels que : R

Sijf(x, y)dxdy =f(Bij)×Aire(Sij) et R

Rijrf(rcosθ, rsinθ)drdθ=r(Aij)f(Aij)×Aire(Rij).

d) On a Aire(R_ij) = _n¹2(b−a)(d−c) et Aire(S_ij) = ¹₂^d−c_n [(a+i^b−a_n )² −(a+ (i−1)^b−a_n )²] =

1 2

d−c n

b−a

n [2(a+(i−1)^b−a_n +^b−a_n ] = _n¹2(b−a)(d−c)[r(sommet deR_ij)+^b−a_2n] = Aire(Rij)[r(sommet deRij)+

b−a 2n ].

Ainsi, `a une quantit´e n´egligeable pr`es,

Aire(Sij)'Aire(Rij)r(sommet deRij) e) Alors, en notantA⁰_ij le point deRij tel queBij =φ(A⁰_ij) :

| Z

Sij

f(x, y)dxdy− Z

Rij

rf(rcosθ, rsinθ)drdθ|

=|f(φ(A⁰_ij))×Aire(Rij)[r(sommet deRij) + b−a

2n ]−r(Aij)f(φ(Aij))×Aire(Rij)|

≤Aire(Rij)× |[f(φ(A⁰_ij))r(sommet deRij)−r(Aij)f(φ(Aij))] +f(φ(A⁰_ij))b−a 2n ]|

Le premier et le deuxi`eme terme deviennent < εpour nassez grand, donc pour nassez grand :

| Z

Sij

f(x, y)dxdy− Z

Rij

rf(rcosθ, rsinθ)drdθ| ≤εAire(R_ij) Il en r´esulte que

| Z

S

f(x, y)dxdy− Z

R

rf(rcosθ, rsinθ)drdθ| ≤ε(X

ij

Aire(Rij)) =εAire(R)

Les deux int´egrales sont donc ´egales.

Remarque : ce qu’il faut retenir de cette preuve c’est que ce qui compte dans le changement de variable c’est la fa¸con dont φ transforme l’aire des rectangles infinit´esimaux : un rectangle infinit´esimal d’airedxdy correspond `a un rectangle d’aire rdrdθ.

3) Application.

On poseI(A) =R+A

−A e^−t2dt. D´eterminer limt→+∞I(A).

Attention : t7→e^−t2 est continue surRdonc admet une primitive, mais cette primitive n’est pas une fonction usuelle.

L’astuce est d’introduiref(x, y) =e^−(x2+y2) et de l’int´egrer sur divers domaines.

a) Par Fubini [I(A)]² =R

RAe^−(x2+y2)dxdy avec R_A= [−A,+A]². b) En polaires : R

DAe^−(x2+y2)dxdy = R

0≤r≤A,−π≤θ≤+πre^−r2drdθ = π(1−e^−A2) avec D_A = {x²+y² ≤A²}.

c) Encadrement : on aDA⊂RA⊂D^√_2Aetf ≥0 donc Z

DA

e^−(x2+y2)dxdy≤ Z

RA

e^−(x2+y2)dxdy ≤ Z

D^√_2A

e^−(x2+y2)dxdy Soit π(1−e^−A2)≤[I(A)]²≤π(1−e^−2A2) et donc limt→+∞I(A) =√

π.

1.7. Calculs en coordonn´ees cylindriques dans l’espace.

On peut repr´esenter tout point (x, y, z) de l’espaceR³ sous la formex=rcosθ, y=rsinθ, z=z avecr ∈[0,+∞[, θ∈[−π, π], z∈R. Autrement dit si on poseφ(r, θ, z) = (rcosθ, rsinθ, z) on peut repr´esenter tout point (x, y, z)∈R³ sous la forme (x, y, z) =φ(r, θ, z).

Th´eor`eme 1.41(changement de coordonn´ees cylindriques). SoitD⊂R⁺×[−π, π]×Run domaine (ferm´e born´e). Soit D⁰ =φ(D)⊂R³ le domaine correspondant (dans les variables (x, y, z)). Pour toute fonction continuef :D⁰ →Ron a :

Z

D⁰

f(x, y, z)dxdydz= Z

D

f(rcosθ, rsinθ, z)rdrdθdz

1) Justification : un parall´el´epip`ede R = [r₁, r₂]×[θ₁, θ₂]×[z₁, z₂] de R⁺ ×[−π,+π]×R est transform´e par φ : (r, θ, z) 7→ (rcosθ, rsinθ, z) en un prisme droit S de base un secteur d’aire (θ₂−θ₁)×^r22−r₂ ²¹, et de hauteur z₂−z₁, donc (par Fubini en piles !) de volume

(θ2−θ1)×r²₂−r₁²

2 (z2−z1)

Le quotient _Volume(R)^Volume(S) vaut ^r1+r₂ ² et tend donc vers r lorsquer₂ →r, r₁ →r.

2) Calcul d’un volume.

PourR ≥0 ett≥0 on consid`ere le solideS={(x, y, z)∈R³, t²(x²+y²)≤z², x²+y²+z²≤R²}.

Calculer son volume.

D’abord repr´esenterS !!!

Alors on voit queS est l’intersection d’un cˆone avec une sph`ere, doncS est en tranche verticales au dessus d’un certain disque (de centre 0 et de rayon ^√R

1+t² - i.e. en posant t = tanϕ c’est R₀ =Rcosϕ) : les coordonn´ees cylindriques sont adapt´ees.

Ainsi

Volume(S) = Z

S

1dxdydz = Z

D

dxdy(

Z z=

√

R²−(x²+y²) z=t

√

x²+y²

1dz)

= Z

D

(p

R²−(x²+y²)−tp

x²+y²dxdy= Z

r∈[0,R0],θ∈[−π,π]

(p

R²−r²−tr)rdrdθ

en passant en polaires. D’o`u : Volume(S) = 2π(1

3[(R²−r²)³²]⁰_R0 −t[r³

3]^R₀⁰) = 2π

3 R³(1−sinϕ)

1.8. Calculs en coordonn´ees sph´eriques dans l’espace. Passer en coordonn´ees sph´eriques, c’est ´ecrirex=rcosθcosϕ,y=rsinθcosϕetz=rsinϕ, o`ur, θ, ϕvarient dans un domaine R(`a pr´eciser) lorsque (x, y, z) d´ecrivent un domaine donn´eS (lequel ne doit pas contenir la verticale en (0,0,0)). Lors de ce passage les fonctions f(x, y, z) surS se transforment en fonctionsg(r, θ, ϕ) = f(rcosθcosϕ, rsinθcosϕ, rsinϕ) surR.

Ce qui compte c’est comment φ transforme le volume d’un parall´el´epip`ede infinit´esimal [r, r+ dr]×[θ, θ+dθ]×[ϕ, ϕ+dϕ].

Pour cela on calcule le volume (not´e V(r₁, r₂, θ₁, θ₂, ϕ₁, ϕ₂)) de l’image d’un parall´el´epip`ede normal [r1, r2]×[θ1, θ2]×[ϕ1, ϕ2]. Par d´ecoupage on a :

V(r₁, r₂, θ₁, θ₂, ϕ₁, ϕ₂) = V(r₁, r₂, θ₁, θ₂, ϕ₁,0)−V(r₁, r₂, θ₁, θ₂, ϕ₂,0) = V(r₁,0, θ₁, θ₂, ϕ₁,0)− V(r₂,0, θ₁, θ₂, ϕ₁,0)−V(r₁,0, θ₁, θ₂, ϕ₂,0) +V(r₂,0, θ₁, θ₂, ϕ₂,0).

On est ramen´e `a calculer V(R,0, θ1, θ2, ϕ,0) qu’on note V(R, θ1, θ2, ϕ). L’invariance du volume par rotation assure que V(R, θ<sub>1</sub>, θ<sub>2</sub>, ϕ) est proportionnel `a θ₂ −θ₁, donc il suffit de consid´erer le cas θ2 = +π, θ1 = −π (on note alors V(R, ϕ) le volume). Mais alors le solide consid´er´e est le compl´ementaire dans la demi-boule de la toupie conique/sph´erique dont on a d´ej`a calcul´e le volume.

On trouve :

V(R, ϕ) = ^2π₃ R³−[^2π₃ R³(1−sinϕ)] = ^2π₃ R³sinϕet donc V(R, θ₁, θ₂, ϕ) = θ₂−θ₁

3 R³sinϕ Alors

V(r, r+dr, θ, θ+dθ, ϕ, ϕ+dϕ) =V(r, θ, θ+dθ, ϕ)−V(r+dr, θ, θ+dθ, ϕ)−V(r, θ, θ+dθ, ϕ+ dϕ) +V(r+dr, θ, θ+dθ, ϕ+dϕ)'dθ[r²drsinϕ−r²drsin(ϕ+dϕ)] =dθ[r²drcosϕdϕ]

La formule est donc Z

R

g(r, θ, ϕ)r²cosϕdrdθdϕ= Z

S

f(x, y, z)dxdydz