Universit´e de NICE
Master 1 Enseignement de math´ematiques 2019-2020 Analyse 2 : notes de cours sur l’int´egration
Antoine Douai 27 janvier 2020
1 Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees
Soit −∞< a < b≤+∞ etf : [a, b[→Rune fonction continue. On cherche `a donner un sens `a l’int´egraleRb
af(t)dt. Par exemple, comment d´efinirR+∞
a f(t)dt sif est continue sur [a,+∞[ ? 1.1 D´efinitions
D´efinition 1.1 Soit −∞ < a < b ≤ +∞ et f : [a, b[→ R une fonction continue. On dit que l’int´egraleRb
af(t)dt, int´egrale g´en´eralis´ee (ou impropre) def sur[a, b[, estconvergentesi la fonction F : [a, b[→R d´efinie par
F :x7→
Z x a
f(t)dt
a une limite `∈Rquand x tend vers b. Si tel est le cas, on note Z b
a
f(x)dx=`.
Si F n’a pas de limite r´eelle quand x tend vers b, on dit que l’int´egrale est divergente.
D´eterminer lanature d’une telle int´egrale c’est d´ecider si elle est convergente ou divergente.
Exemple(s) 1.2 D´eterminons la nature deR+∞
0 e−tdt: avec les notations pr´ec´edentes, on aF(x) = 1−e−x et ceci tend vers 1 quand x tend vers +∞. Donc R+∞
0 e−tdt converge et vaut 1.
Remarque(s) 1.3 1.On a une d´efinition analogue de la convergence deRb
af(t)dt sif est continue sur ]a, b]avec −∞ ≤a < b <+∞.
2. La fonction F est l’analogue de la suite des sommes partielles pour les s´eries num´eriques. Les notions de convergence pour les s´eries et les int´egrales sont tr`es proches. De fait, nous allons voir que l’essentiel des crit`eres de convergence pour les s´eries se transpose sans difficult´es au cas continu.
3.La constanteane joue ici qu’un rˆole anecdotique : sib > c > aet f continue sur[a, b[, il revient au mˆeme de dire que l’int´egrale Rb
af(t)dt converge ou que l’int´egrale Rb
c f(t)dt converge. On peut toujours prendre c assez proche de b.
1
Soit maintenant−∞ ≤a < b≤+∞etf :]a, b[→Rune fonction continue sur ]a, b[. Un cas fr´equent est celui o`ua=−∞et b= +∞ : quel sens donner alors `a R+∞
−∞ f(t)dt?
D´efinition 1.4 Soit f une fonction continue sur]a, b[, c∈]a, b[. On dit que l’int´egrale Z b
a
f(t)dt est convergente si chacunedes int´egrales Rc
af(t)dt etRb
c f(t)dt est convergente.
Remarque(s) 1.5 1.Il faut bien avoir compris cette d´efinition : R+∞
−∞ t3dtest divergente parce que R0
−∞t3dt l’est (par exemple) bien que Ra
−at3dt= 0 pour tout a >0! 2. Comme plus haut, le choix de c∈]a, b[est anecdotique.
Exemple(s) 1.6 Voici les int´egrales de r´ef´erence, analogues des s´eries de Riemann : a. l’int´egrale R+∞
1 dx
xα est convergente si et seulement si α > 1 et R1 0
dx
xα est convergente si et seulement siα <1. Ceci se voit en calculant explicitement la fonctionF : dans cet exemple, on se ram`ene donc `a un simple calcul de primitives.
b. L’int´egrale
Z +∞
0
dx xα
n’est jamais convergente : en effet, pour que se soit le cas il faudrait que R1 0
dx
xα soit convergente, donc α <1 d’apr`es a., et que. R+∞
1 dx
xα le soit aussi, donc α >1, toujours d’apr`es a.. Il est clair que l’on ne peut pas avoir simultan´ement les deux.
1.2 Crit`eres de convergence
Venons en aux crit`eres de convergence. Ceux ci sont analogues `a ceux donn´es pour les s´eries num´eriques. Les deux premiers r´esultats sont valables lorsque les fonctions int´egr´ees sontpositives.
Th´eor`eme 1.7 Soient f, g: [a, b[→R,
0≤g(t)≤f(t) pour tout t∈[a, b[.
1. Si Rb
af(t)dt est convergente il en est de mˆeme de Rb
ag(t)dt.
2. Si Rb
ag(t)dt est divergente, il en est de mˆeme de Rb
af(t)dt.
Preuve. 1. La fonction G : x 7→ Rx
a g(t)dt, a ≤ x < b, est croissante parce que g est positive. Si Rb
af(t)dt est convergente, l’hypoth`ese 0 ≤ g ≤f montre que G est aussi major´ee. Cette fonction admet donc une limite quand x tend versb.
Remarque(s) 1.8 L’hypoth`ese f et g positives n’est pas n´egociable. Par contre les conclusions de la proposition restent vraies si l’on suppose seulement
0≤g(t)≤f(t)
pour tout t ∈[c, b[, c ∈]a, b[. En pratique, il suffit donc de v´erifier ces in´egalit´es pour tout t assez proche de b.
2
On en d´eduit, exactement comme pour les s´eries num´eriques, le crit`ere des ´equivalents :
Th´eor`eme 1.9 Soient f, g: [a, b[→R deux fonctions positives, ´equivalentes au voisinage de b.
1. Rb
ag(t)dt et Rb
af(t)dt sont de mˆeme nature, c’est `a dire simultan´ement convergentes ou diver- gentes.
2. Si Rb
af(t)dt diverge (et donc Rb
ag(t)dt aussi) on a, au voisinage deb, Z x
a
f(t)dt∼ Z x
a
g(t)dt,
et, siRb
af(t)dt converge on a, au voisinage de b, Z b
x
f(t)dt∼ Z b
x
g(t)dt.
Lorsque les fonctions int´egr´ees ne sont pas de signe constant, on peut employer la convergence absolue, qui nous permet de nous ramener au cas positif :
D´efinition 1.10 Soit f :]a, b[→ R continue. On dit que Rb
a f(t)dt est absolument convergente si Rb
a|f(t)|dt est convergente.
Th´eor`eme 1.11 Tout int´egrale g´en´eralis´ee absolument convergente est convergente.
Remarque(s) 1.12 Pour d´ecider si une int´egrale est absolument convergente, on peut bien entendu utiliser les crit`eres vus pour les fonctions positives.
Il existe des int´egrales convergentes qui ne sont pas absolument convergentes : on dit alors qu’elles sont semi-convergentes. En pratique, leur convergence peut se montrer au moyen d’une int´egration par parties : l’exemple classique estR+∞
1
sin(t)
t dt. Pr´ecisons ce point (les deux r´esultats qui suivent ne doivent pas ˆetre retenus par coeur : en pratique, on fera des int´egrations par parties ou des changements de variables classiques et on prendra la limite quandx→b) :
Proposition 1.13 Soient f et g deux fonctions d´efinies et de classe C1 sur l’intervalle [a, b[. Si limx→b,x<bf(x)g(x) existe, les int´egrales Rb
af(t)g0(t)dt et Rb
af0(t)g(t)dt sont de mˆeme nature et si elles convergent on a
Z b a
f(t)g0(t)dt= lim
x→b,x<bf(x)g(x)−f(a)g(a)− Z b
a
f0(t)g(t)dt.
On peut aussi utiliser un changement de variables. La proposition suivante se montre `a partir du changement de variable usuel :
3
Proposition 1.14 Soit ϕ une bijection de classe C1 de l’intervalle ouvert ]a, b[ sur l’intervalle ouvert ]α, β[. Soit f une fonction continue sur ]α, β[. Pour que l’int´egrale de f sur ]α, β[ soit convergente, il faut et il suffit que l’int´egrale de(f◦ϕ)ϕ0 sur ]a, b[ le soit. Si tel est le cas, on a
Z β α
f(t)dt= Z b
a
f(ϕ(t))ϕ0(t)dt.
Rappelons enfin le th´eor`eme de comparaison s´erie-int´egrale vu au chapitre I (th´eor`eme 1.20) : Th´eor`eme 1.15 Soitf une fonction continue, positive et d´ecroissante sur[0,+∞[(ou sur[a,+∞[, a ≥ 0). Alors R+∞
f(x)dx et P
f(n) sont de mˆeme nature. Si de plus n ≥ 0 on a, en cas de convergence,
Z +∞
n+1
f(x)dx≤
+∞
X
k=n+1
f(n)≤ Z +∞
n
f(x)dx.
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