Int´egration Table des mati`eres

Table des mati` eres

1 Int´egrale d’une fonction 1

1.1 D´efinition . . . 1 1.2 Propri´et´es . . . 4

2 Notion de primitive d’une fonction 5

2.1 D´efinition . . . 5 2.2 Ensemble des primitives d’une fonction . . . 6

3 Calcul de primitives 6

3.1 Existence de primitives . . . 6 3.2 Primitives des fonctions usuelles . . . 7 3.3 Lien entre primitive et int´egrale . . . 8

4 Propri´et´es 9

5 Valeur moyenne 9

6 Exemples 9

6.1 Calcul d’une primitive avec une fonction de la forme e^u(x) . . . 9 6.2 Calcul de l’aire entre deux courbes . . . 11

1 Int´ egrale d’une fonction

1.1 D´efinition

D´efinition : Int´egrale d’une fonction

Soitf continue et positive sur un intervalle [a;b] (a < b), etCsa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthogonal (axes orthogonaux), l’int´egrale de f sur [a;b] not´ee Rb

af(x)dx est l’aire du domaine limit´e par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’´equations x = a et x = b, cette aire ´etant exprim´ee en unit´es d’aire.

Une unit´e d’aire correspondant `a un rectangle dont les cˆot´es ont une longueur de une unit´e sur l’axe des abscisses et de une unit´e sur l’axe des ordonn´ees.

r Exemple 1 : exemple d’int´egrale

f est la fonction affine d´efinie surRd´efinie par f(x) =x+ 2.

Tracer la repr´esentation graphique de f dans un rep`ere orthonorm´e (axes orthogonaux et mˆeme unit´e sur chacun des axes).

En d´eduireR2

0 f(x)dx

* Solution:

La repr´esentation graphique def est une droite passant par les points A(0; 2) et B(2; 4)

Graphiquement, R₂

0 f(x)dx est l’aire, en unit´es d’aire, du trap`ezeOABB⁰(zone rouge sur le gra- phique).

Un unit´e d’aire est ´egale `a l’aire du carr´e bleu sur le graphique.

On a doncR2

0 f(x)dx= 6 r Exemple 2 : Lecture graphique d’int´egrales

Dans chaque, la fonctionf d´efinie surRest repr´esent´ee graphiquement.

D´eterminer graphiquementR4

0 f(x)dx.

* Solution:

Dans chaque cas, sur [0; 4] la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses donc on a f(x)≥0 R4

0 f(x)dx est l’aire en unit´es d’aire de la zone (en rouge sur le graphique) d´elimit´ee par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’´equationsx= 0 (axe des ordonn´ees) et x= 4

Une unit´e d’aire (zone bleue sur le graphique) est l’aire d’un rectangle (ou un carr´e si le rep`ere est ortho- norm´e) de une unit´e selon l’axe des abscisses et une unit´e selon l’axe des ordonn´ees.

On a donc pour la figure 1 : la zone rouge contient 16 rectangles du quadrillage et une unit´e d’aire contient deux rectangles du quadrillage.

doncR4

0 f(x)dx= 16÷2 = 8 (unit´es d’aire)

Pour la figure 2 : la zone rouge contient 4÷2 = 2 rectangles du quadrillage et une unit´e d’aire contient un carr´e du quadrillage.

doncR4

0 f(x)dx= 2 (unit´es d’aire)

r Exemple 3 : Encadrement d’une int´egrale

On donne ci-contre la repr´esentation graphique de la fonc- tion f.

En utilisant le maximum et le minimum de f sur [1; 3], donner un encadrement def(x) sur [1; 3]

En d´eduire alors un encadrement de R₃

1 f(x)dx

* Solution:

Le minimum de f sur [1; 3] est 1 et le maximum 4 donc pour tout r´eelx∈[1; 3], on a 1≤f(x)≤4

Sur [1; 3] la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses donc f(x)>0 R3

1 f(x)dx est l’aire en unit´es d’aire de la zone (en rouge sur le graphique) d´elimit´ee par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’´equationsx= 1 etx= 3

Une unit´e d’aire est l’aire d’un rectangle du quadrillage.

cette aire est comprise entre l’aire du rectangle (en bleu) de largeur 2 unit´es et de hauteur 1 unit´e et celle du rectangle (en vert) de largeur 3 unit´es et de hauteur 4 unit´es.

on a donc 2<R₃

1 f(x)dx <8

r Exemple 4 : Encadrement d’une int´egrale

La fonctionf d´efinie sur Rest repr´esent´ee graphiquement c-dessous.

D´eterminer graphiquement un encadrement deR5

0 f(x)dx.

* Solution:

Sur [0; 5] la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses donc f(x)>0

R5

0 f(x)dxest l’aire en unit´es d’aire de la zone (hachur´ee sur le graphique) d´elimit´ee par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’´equationsx= 0 (axe des ordonn´ees) et x= 5 Une unit´e d’aire est l’aire d’un rectangle du quadrillage.

L’aire de la zone rouge est de 23 unit´es d’aire et celle de la zone bleue de 40 unit´es d’aire

donc 23<R5

0 f(x)dx <40

1.2 Propri´et´es

Propri´et´e : relation de Chasles

Soit f continue et positive sur [a;b] (a < b), pour tout r´eelc de [a;b], on a : Rb

af(x)dx=Rc

af(x)dx+Rb

c f(x)dx Interpr´etation graphique :

Graphiquement, sif est continue etf(x)≥0 sur [a;b], on a : Rc

af(x)dx est l’aire du domaine limit´e par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’´equationsx=aetx=c (zone rouge sur le graphique).

Rb

c f(x)dx est l’aire du domaine limit´e par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’´equationsx=c etx=b (zone bleue sur le graphique).

Rb

af(x)dx est l’aire du domaine limit´e par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’´equationsx=aet x=b (zone rouge+zone bleue sur le graphique).

Propri´et´e : Ordre

Soit f etg continues et positives sur [a;b] (a < b), telles quef(x)< g(x) pour tout r´eelx de [a;b].

Rb

af(x)dx <Rb

ag(x)dx

Interpr´etation graphique :

Graphiquement, si f et g sont continues et g(x) > f(x) ≥0 sur [a;b], on a :

Rb

af(x)dx est l’aire du domaine limit´e par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’´equationsx=aetx=b (zone hachur´ee en rouge sur le graphique).

Rb

af(x)dx est l’aire du domaine limit´e par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’´equationsx=aetx=b(zone bleue sur le graphique).

La courbe de repr´esentative de f est en-dessous de la courbe repr´esentative de g doncRb

af(x)dx <Rb

ag(x)dx (l’aire de la zone rouge est inf´erieure `a l’aire de la zone bleue).

2 Notion de primitive d’une fonction

2.1 D´efinition

D´efinition : Primitive d’une fonction Soit f d´efinie sur un intervalle I.

La fonctionF est une primitive de f sur I si pour tout r´eel x de I,F est d´erivable sur I etF⁰(x) =f(x) Remarque

On note en g´en´eral une primitive d’une fonction avec la lettre majuscule correspondante

r Exemple 5 : Primitive d’une fonction affine Soit f d´efinie surRpar f(x) = 2x−1

D´eterminer une primitiveF def surR

* Solution:

On a (x²)⁰ = 2x et (x)⁰ = 1

doncF(x) =x²−x est une primitive def surR

F(x) =x²−x

En effet F⁰(x) = 2x−1 =f(x) Remarque

En prenantF(x) =x²−x+ 2, on a F⁰(x) = 2x−1 + 0 = 2x−1 =f(x) doncF d´efinie sur RparF(x) =x²−x+ 2 est aussi une primitive de f surR Plus g´en´eralementF(x) =x²−x+C avec C∈Rest une primitive def surR.

On a bienF⁰(x) = 2x−1 + 0 = 2x−1 =f(x) (la d´eriv´ee d’une fonction constante est nulle) Remarque

Si la fonction F est donn´ee dans l’´enonc´e, v´erifier que F est bien une primitive de f sur un intervalle I de R revient `a calculerF⁰(x) et v´erifier queF⁰(x) =f(x) pour tout r´eel x∈I

r Exemple 6 : Recherche de primitives D´eterminer une primitive def sur D_f

1.f(x) = 4x³ avec Df =R 2.f(x) =x²−2x+ 1 avec Df =R 3.f(x) = 1

x avec Df =]0; +∞[ 4.f(x) =e^x avec Df =R

* Solution:

1. f(x) = 4× x⁴ 4 =x⁴ F(x) =x⁴

2. F(x) = x³

3 −2× x²

2 +x= x³

3 −x²+x F(x) = x³

3 −x²+x

3. F(x) =ln(x)

4. F(x) =e^x Remarque

On demande dans l’exemple une primitive de f mais il y a une infinit´e de primitives possibles.

Par exemple, pour le cas 4. F(x) = 3e^x+C avec C∈R ets l’ensemble des primitives de f.

Par exemple,F(x) = 3e^x+ 1 est une autre primitive possible.

2.2 Ensemble des primitives d’une fonction

Propri´et´e :Ensemble des primitives d’une fonction Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I.

SiF est une primitive de f sur I alors les primitives de f sur I sont de la forme G(x) =F(x) +C,C

´

etant une constante r´eelle quelconque.

Propri´et´e :Primitive v´erifiant une condition Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I.

Si F est une primitive de f sur I alors il existe une unique primitive de f sur I telle que F(x0) = y0

o`u x₀ ety₀ sont deux r´eel donn´es.

r Exemple 7 : Recherche des primitives Soit f d´efinie surRpar f(x) = 3x²−x+ 2

1. V´erifier que F d´efinie surRparF(x) =x³−1

2x²+ 2xest une primitive de f surR 2. D´eterminer une expression de l’ensemble des primitives def sur R

3. En d´eduirela primitiveF₁ de f surR telle que F₁(2) = 0

* Solution:

1. F⁰(x) = 3x²−1

22x+ 2 = 3x²−x+ 2 =f(x) doncF est une primitive de f surR

2. G(x) =F(x) +C=x³−1

2x²+ 2x+C avec C∈Rest l’ensemble des primitives de f surR. 3. F1(x) =x³−1

2x²+ 2x+C etF1(2) = 0 F₁(2) = 2³−1

2 ×2²+ 2×2 +C= 0

⇐⇒10 +C= 0

⇐⇒C =−10 F₁(x) =x³−1

2x²+ 2x−10 est l’unique primitive def sur Rtelle que F₁(2) = 0 F₁(x) =x³−1

2x²+ 2x−10

3 Calcul de primitives

3.1 Existence de primitives

Th´eor`eme : Existence de primitives (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle I de Radmet des primitives sur I

3.2 Primitives des fonctions usuelles

f(x) = PrimitiveF(x) = sur l’intervalle f(x) = PrimitiveF(x) = sur l’intervalle

a ax R 1

x ln(x) ]0; +∞[

x x²

2 R 1

x²

−1

x R^∗ (Tous les r´eels sauf 0)

x² x³

3 R 1

x³

−1

2x² R^∗

n≥2

x³ x⁴

4 R 1

xⁿ

−1

(n−1)xⁿ⁻¹ R^∗

n∈N^∗

xⁿ xⁿ⁺¹

n+ 1 R e^x e^x R

r Exemple 8 : Utilisation des primitives des fonctions usuelles La fonctionf est d´efinie sur ]0; +∞[ parf(x) =x²+ 1

x.

f est continue(somme de fonctions continues sur 0 : +∞[) sur ]0; +∞[ donc admet des primitives sur ]0; +∞[

En utilisant les primitives usuelles des fonctions x 7−→ x² etx 7−→ 1

x donn´ees dans le tableau ci-dessus, on a :

F(x) = x³

3 +ln(x) estuneprimitive de f sur ]0; +∞[

etl’ensemble des primitivesde f sur ]0; +∞[ est de la formeG(x) = x³

3 +ln(x) +C avec C constante r´eelle.

r Exemple 9 : Application `a la recherche de primitives D´etermineruneprimitiveF def surD_f dans chaque cas : 1.f(x) = 2x²−5x+e^x surD_f =R 2.f(x) = 2

x² avecD_f =R^∗ 3.f(x) =−2e^x+1

x avecD_f =]0; +∞[

* Solution:

1. F(x) = 2× x³

3 −5×x²

2 +e^x= 2x³ 3 −5x²

2 +e^x

F(x) = 2x³ 3 −5x²

2 +e^x 2. F(x) = 2× −1

x = −2 x

F(x) = −2 x

3. F(x) =−2e^x+ln(x)

3.3 Lien entre primitive et int´egrale

Th´eor`eme (admis)

Sif est continue et positive sur un intervalle I de R

alors pour tout r´eel x de I, la fonctionF d´efinie parF(x) =Rx

a f(x)dx est d´erivable sur I etF⁰(x) = f(x)

Remarque

F est alors la primitive de f s’annulant enx=a.

En effet,F(a) =Ra

a f(x)dx=F(a)−F(a) = 0

r Exemple 10 : Primitive de la fonction exponentielle La fonctionF d´efinie surRparF(x) =Rx

0 e^xdxest la primitive def d´efinie sur Rparf(x) =e^x telle que F(0) = 0.

On a F(x) =R_x

0 e^xdx=e^x−e⁰=e^x−1 (rappel :(e^x)⁰ =e^x) Th´eor`eme (admis)

Sif est continue sur un intervalleI = [a;b] de R etF est une primitive de f sur I alorsRb

af(x)dx=F(b)−F(a)

r Exemple 11 : Calcul d’une aire

Soitf d´efinie surRparf(x) =x² etC_f sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e d’unit´e 2cm.

Calculer l’aire du domaine limit´e par la courbe Cf, l’axe des abscisses, l’axe des ordonn´ees et la droite d’´equation x= 3 en cm²

M´ethode :

• V´erifier quef est continue et positive sur [0; 3]

• D´eterminer une primitiveF de f surR

• Faire le lien entre la question pos´ee et le calcul de l’int´egrale (voir exemples 1, 2 et 3)

• Calculer A =R3

0 f(x)dx (en unit´es d’aire) et calculer ensuite l’aire en cm² d’une unit´e d’aire puis de A en cm²

* Solution:

• f(x) =x² doncf est continue sur Retf(x)≥0 surR

• F(x) = x³

3 est une primitive de f surR

• f est continue sur R et f(x) ≥ 0 donc l’aire A en unit´es d’aire du domaine limit´e par la courbe C_f, l’axe des abscisses, l’axe des ordonn´ees et la droite d’´equation x= 3 est ´egale `a R₃

0 f(x)dx

• A=R3

0 f(x)dx=F(3)−F(0) = 3³ 3 − 0³

3 = 9 u.a (unit´es d’aire) Une unit´e d’aire correspond `a une aire de 2×2 = 4 cm²

doncA= 9×4 = 36 cm²

4 Propri´ et´ es

Propri´et´es : propri´et´es de l’int´egrale

f etg sont deux fonctions continues sur [a;b] (a < b), k∈Retc∈R. 1. Lin´earit´e : Rb

af(x) +g(x)dx=Rb

af(x)dx+Rb

ag(x)dx etRb

a kf(x)dx=kRb

af(x)dx 2. Relation de Chasles :Rb

af(x)dx=Rc

af(x)dx+Rb

c f(x)dx 3. signe deRb

af(x)dx Sif(x)< g(x) sur [a;b],Rb

af(x)dx <Rb

ag(x)dx 4. comparaison

Sif(x)>0 sur [a;b], Rb

af(x)dx >0 åD´emonstration : propri´et´e 3

Si on noteF une primitive def sur [a;b], on a alors F⁰(x) =f(x) f(x)>0 sur [a;b] doncF⁰(x)>0

etF est donc strictement croissante sur [a;b] doncF(a)< F(b).

On a doncRb

af(x) =F(b)−F(a) et F(b)> F(a) donc Rb

af(x)>0

5 Valeur moyenne

D´efinition : Valeur moyenne def sur [a;b]

La valeur moyenne d’une fonctionf continue sur [a;b] est d´efinie par m= 1 b−a

Rb

af(x)dx Interpr´etation graphique dans le cas o`uf est continue et positive sur [a;b] :

m= 1 b−a

Rb

af(x)dx doncRb

af(x)dx=m(b−a)

m(b−a) est l’aire du rectangle dont les cˆot´es ont pour longueur b−aetm (voir graphique)

Rb

af(x)dxest l’aire du domaine limit´e par la courbe repr´esentative de f, l’axe des abscisses et les droites d’´equations x=aet x=b et est ´egale `a l’aire du rectangle dont les cˆot´es ont pour longueur b−aetm (rectangle bleu sur le graphique).

6 Exemples

6.1 Calcul d’une primitive avec une fonction de la forme e^u(x)

r Exemple 12 : primitive de x7−→e^u(x)

Soit la fonction f d´efinie sur R parf(x) =e^2x+1 et on note CF sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e d’unit´e 2cm.

1. Calculer la d´eriv´ee de la fonction d´efinie surRpar x7−→e^2x+1 2. En d´eduire une primitiveF de f sur R.

3. Calculer l’aire du domaine limit´e par la courbeC_f, l’axe de abscisses, l’axe des ordonn´ees et la droite d’´equationx= 3 en unit´es d’aire puis donner la valeur de cette aire en cm² arrondie au mm² pr`es.

* Solution:

1. (e^2x+1)⁰= 2e^2x+1 (rappel : (e^u(x))⁰ =u⁰(x)e^u(x))

2. F(x) = e^2x+1 2

En effet, on a a alors :F⁰(x) = 2e^2x+1

2 =e^2x+1 =f(x) 3. Pour tout r´eelx, on ae^2x+1 >0

doncf est continue etf(x)>0 surR donc sur [0; 3]

L’aire A du domaine limit´e par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’´equations x = 0 (axe des ordonn´ees) et x= 3 est don ´egale `a A=R3

0 f(x)dx A=R3

0 f(x)dx=F(3)−F(0) F(0) = e⁰⁺¹

2 = e¹ 2 = e

2 etF(3) = e⁶⁺¹

2 = e⁷ 2 doncA= e⁷

2 −e

2 = e⁷−e 2

A= e⁷−e

2 unit´es d’aire

Le rep`ere est orthonorm´e d’unit´e 2cm donc une unit´e d’aire correspond `a une aire de 2×2 = 4 cm². A= 4×e⁷−e

2 = 2(e⁷−e)≈2187,83 cm²

A=≈2187,83 cm² Remarque

Les mm² correspondent au chiffre des centi`emes

6.2 Calcul de l’aire entre deux courbes

r Exemple 13 : Calcul de l’aire du domaine d´elimit´e par deux courbes On donne les fonctionsf etg d´efinies sur ]0; +∞[ parf(x) = 1

x etg(x) =xet on donne ci-dessous C_f et Cg les repr´esentations graphiques de f etg dans un rep`ere orthogonal.

On note Al’aire, en unit´es d’aire, du domaine limit´e par C_f,Cg et les droites d’´equationsx= 1 et x= 4 1. Par lecture graphique, donner une encadrement deA

2. Etudier le signe def(x)−g(x) et en d´eduire que Cf est en-dessous de Cg sur [1; +∞[

3. Calculer R4

0 f(x)dx puisR4

1 g(x)dx

4. En d´eduire l’aire du domaine limit´e parC_f,Cg et les droites d’´equationsx= 1 etx= 4

* Solution:

1. Une unit´e d’aire correspond `a un carreau du quadrillage.

A est comprise entre l’aire du polygone vert et du triangle bleu (voir figure)

donc 4,5< A <7,5

2. f(x)−g(x) = 1

x −x+ 1 = 1−x² x

x >0 donc f(x)−g(x) est du signe de 1−x² Polynˆome du second degr´e) 1−x² = 0⇐⇒x² = 1⇐⇒x= 1 ou x=−1(on peut aussi calculer ∆ = 4) Signe de 1−x² sur R

donc sur [1; +∞[,f(x)−g(x)≤0 soitf(x)≤g(x)

donc C_fest en-dessous de C_g sur [1; +?inf ty[

3. f(x) = 1

x doncF(x) =ln(x) est une primitive def sur ]0; +∞[

g(x) =x doncG(x) = x²

2 est une primitive de g sur ]0; +∞[

F(x) =ln(x) et G(x) = x²

2 sur ]0; +∞[

4. Sur [1; 4], on af et g continuesetf(x)>0 et g(x)>0

donc l’aire A₁, en unit´es d’aire, du domaine limit´e par C_f, l’axe des abscisses et les droites d’´equations x= 1 etx= 4 est :

A1 =R4

1 f(x)dx) =F(4)−F(1) =ln(4)−ln(1) =ln(4)u.a (rappelln(1) = 0)

De mˆeme, l’aireA2, en unit´es d’aire, du domaine limit´e parCg, l’axe des abscisses et les droites d’´equations x= 1 etx= 4 est :

A₂ =R4

1 g(x)dx) =G(4)−G(1) = 4² 2 −1²

2 = 17 2 u.a Sur [1; 4], on af(x)< g(x)

doncA=A2−A1= 17

2 −ln(4)≈7,1 u.a

A= 17

2 −ln(4) u.a