6 Appendice : int´ egrale de surface
6.1 D´ efinition et exemples
Soit Σ ⊂ Rd une surface d´efinie par une fonction r´eguli`ere g : U → Rd, o`u U ⊂ Rdy−1 est un domaine born´e `a bord r´egulier, telle que les vecteurs
∂1g, . . . , ∂d−1g sont lin´eairement ind´ependants. Soit f : Σ → R une fonction continue. Alors on d´efinit l’int´egrale def sur Σ par la formule
Z
Σ
f(x)dσ= Z
U
f(g(y))G(y)dy, o`uGd´esigne le d´eterminant de Gram :
G(y) = det{(∂ig, ∂jg)}di,j=1−1 1/2
. (6.1)
Si Σ est la r´eunion d’un nombre fini de surfaces Σk d´efinies par des fonctions r´eguli`eresgk et f ∈C(Σ), alors on pose
Z
Σ
f(x)dσ=X
k
Z
Σk
f(x)dσ.
La proposition suivante est un r´esultat standard de la g´eom´etrie diff´eren- tielle ; voir, par exemple, le livre [Laf96].
Proposition 6.1 (sans d´emonstration). La valeur de l’int´egrale de surface ne d´epend pas du choix de param´etrisation.
Exemples 6.2. (a) Soit d = 2 et Σ = {g(y) = (y,0), a ≤ y ≤ b}. Alors pour toute fonctionf ∈C(Σ), on a
Z
Σ
f dσ= Z b
a
f(y,0)dy.
Plus g´en´eralement, si Σ = {g(y) = (y,0), y ∈ U} ⊂ Rd+1, o`u U ⊂Rd est un domaine born´e `a bord r´egulier, alors
Z
Σ
f dσ= Z
U
f(y,0)dy.
Donc, la d´efinition de l’int´egrale de surface est consistante avec l’int´egrale de Riemann.
(b)Soitd= 2 et Σ ={g(y), a≤y≤b}une courbe r´eguli`ere. Alors Z
Σ
f dσ= Z b
a
f g(y)
˙
g12(y) + ˙g22(y)1/2
dy.
En particulier, pourf ≡1 on obtient la longueur de Σ.
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(c)Soit SR ={x∈Rd :|x| =R} la sph`ere de rayon R et de centre z´ero.
AlorsSR=SR+∪SR−, o`uSR±={x∈SR:±xd≥0}, et pourf ∈C(SR) on a Z
SR
f dσ= Z
SR+
f dσ+ Z
S−R
f dσ.
D’autre part, toute fonctionf ∈C(SR) peut ˆetre consid´er´ee comme une fonction sur la sph`ere unit´eS1:
f˜(ω) =f(Rω), ω∈S1.
Si g± : U± → SR± est une param´etrisation de SR±, alors ˜g± =R−1g± est une param´etrisation deS1±. On conclut que
Z
S±R
f dσ= Z
U±
f(g±(y))G±(y)dy=Rd−1 Z
U±
f˜(˜g±(y)) ˜G±(y)dy,
o`uG± et ˜G± d´esignent la fonction (6.1) avecgremplac´e par g±et ˜g± respecti- vement. Donc,
Z
SR
f dσ=Rd−1 Z
S1
f dσ.˜ (6.2)
6.2 D´ emonstration de la formule d’int´ egration par parties
On montre la formule (3.1) dans le casd= 2 pour des domaines de la forme Ω ={(x1, x2)∈R2:a < x1< b, c(x1)< x2< d(x1)},
o`uc, d∈C1([a, b]). Consid´erons, par exemple, le cas j= 1. On a Z
Ω
u∂1v dx= Z b
a
Z d(x1)
c(x1)
u∂1v dx2
dx1
= Z b
a
∂
∂x1
Z d(x1)
c(x1)
uv dx2
− Z d(x1)
c(x1)
∂1uv dx2
−d′(x1)(uv)(x1, d(x1)) +c′(x1)(uv)(x1, c(x1))
dx1. (6.3) Remarquons que
Z b
a
∂
∂x1
Z d(x1)
c(x1)
uv dx2
dx1=
Z d(b)
c(b)
(uv)(b, x2)dx2− Z d(a)
c(a)
(uv)(a, x2)dx2
= Z
Γ1
uvν1dσ, (6.4)
Z b
a
d′(x1)(uv)(x1, d(x1))−c′(x1)(uv)(x1, c(x1))
dx1=− Z
Γ2
uvν1dσ, (6.5) o`u Γ1={x∈∂Ω :x1=aoub}et Γ2=∂Ω\Γ1. En reportant les relations (6.4) et (6.5) dans (6.3), on obtient (3.1) avecj= 1.
Exercice 6.3. Consid´erer le casj= 2.
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