Techniques math´ematiques de base Printemps 2014
Fiche 9 - Int´egration
Exercice 1. D´eterminer, par un calcul direct les int´egrales suivantes : a.
Z 2
−1
(ex+ cosx+ 3x+ 1)dx,
b.
Z 3
2
(x−2)(x+ 3)
√x dx,
c.
Z 2
−1
|x|dx,
d.
Z 2
0
f(x)dx o`u f(x) =
(1 si 0 6x61 x si 1 < x62.
Exercice 2. En reconnaissant une d´eriv´ee de fonctions compos´ees, d´eterminer en fonction dea et b (pour quelles valeurs de a et b cela a-t-il du sens ?) :
a.
Z b
a
cos(x)esin(x)dx, b.
Z b
a
ln(5 + 3x)
x dx, c.
Z b
a
√ 3x
1−x4dx.
Exercice 3. A l’aide d’un changement de variable, d´` eterminer en fonction de a etb : a.
Z b
a
cos(x) sin(x)dx, b.
Z b
a
x(x2−1)5dx,
c.
Z b
a
1 1 +exdx, d.
Z b
a
√ 1
x(1 +x)dx,
e.
Z b
a
sin(lnx) x dx, f.
Z b
a
1
x14(x30+ 1)dx.
Exercice 4. A l’aide d’une int´` egration par parties, d´eterminer en fonction de a etb : a.
Z b
a
x2ln(x)dx, b.
Z b
a
xe−xdx,
c.
Z b
a
cos(x)exdx, d.
Z b
a
ex(x+ 1)2dx,
e.
Z b
a
sin4(x)dx, f.
Z b
a
arcsin(x)dx.
Exercice 5. D´eterminer, par la m´ethode de votre choix : a.
Z π2
0
xsin(x)dx, b.
Z 1
0
dx
1 +x, c.
Z π8
0
dx
cos(x)(sin(x)−cos(x)) Exercice 6. Sachant que la longueur d’une courbe d´ecrite sur un intervalle [a;b] par y=f(x) (o`uf est une fonction continue d´erivable et de d´eriv´ee continue) est donn´ee par
L= Z b
a
p1 +f0(x)2dx, d´eterminer :
1. la longueur de la courbe y= 13√
x(3−x) pour 06x63, 2. la circonf´erence d’un cercle de rayon r.
Exercice 7. Calculer les int´egrales suivantes, apr`es avoir d´ecompos´e l’int´egrand en ´el´ements simples.
Licence PCSI 1 Universit´e Claude Bernard - Lyon 1
Techniques math´ematiques de base Printemps 2014
a.
Z 12
0
x+ 2 x2−3x+ 2dx b.
Z 12
0
1 x2−1dx
c.
Z 5
1
1
x(x+ 1)2dx d.
Z a
0
1
x2+x+ 1dx Exercice 8. Calculer les primitives des fonctions suivantes.
a. x7→sin(x)2 b. x7→tanx
c. x7→sin2(x) cos3(x) d. x7→ cossin32(x)(x)
Licence PCSI 2 Universit´e Claude Bernard - Lyon 1
