IUT Villetaneuse - Universit´e Paris 13
S2 Ann´ee 2014-2015
Analyse. Fiche n 4. D´eveloppements limit´es.
Exercice 1.Soient f et g deux fonctions s’´ecrivant comme suit : f(x) =3 +x+ 5x3+x2"1(x), avec lim
x!0"1(x) = 0 g(x) = 2 + 2x 2x52 +x2+ 4x3+x3"2(x), avec lim
x!0"2(x) = 0.
1. L’expression donn´ee def d´efinit-elle un DL `a l’ordre 3 en 0 def? 2. Montrer quef admet un DL `a l’ordre 2 en 0.
3. L’expression donn´ee deg d´efinit-elle un DL `a l’ordre 3 en 0 deg? 4. Montrer queg admet un DL `a l’ordre 2 en 0.
5. Montrer, en d´efinissant explicitement le reste, que la fonctionh(x) = 2 +x+x3p
1 +x+x52e x admet un DL d’ordre 2 en 0.
Exercice 2.Calculer le d´eveloppement limit´e def `a l’ordre 3 en 0 lorsque a)f(x) = cos(x) exp(x), b)f(x) =⇣
ln(1 +x)⌘2
, c)f(x) =ln(1 +x) (1 +x)2 .
Exercice 3.
1. Soitf(x) = ex cosx
x .
a. Calculer le d´eveloppement limit´e def(x) `a l’ordre 2 en 0.
b. En d´eduire lim
x!0f(x). Peut-on en d´eduire lim
x!2f(x) ? c. Donner l’´equation de la tangente `af en 0.
d. Quelle est la position de la courbe de f par rapport `a sa tangente en 0 ? 2. Reprendre les questions ci-dessus lorsquef(x) =ln(1 +x) sinx
x .
3. Reprendre les questions ci-dessus lorsquef(x) = sinx 1 +x. Exercice 4.
1. Soitf(x) = x1. Calculer le DL de f en 1 `a l’ordre 2. On poseray =x 1 pour se ramener `a un d´eveloppement limit´e usuel en 0.
2. `A l’aide d’un changement de variable, calculer le DL en 2 `a l’ordre 2 def(x) =ex. 3. `A l’aide d’un changement de variable, calculer le DL en 2 `a l’ordre 2 def(x) = ln(x).
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