Int´ egrales curvilignes et applications

(1)

Chapter 1 Fonctions holomorphes

Ce chapitre rassemble la définition et les premières propriétés des fonctions holomorphes, ainsi que quelques exemples fondamentaux. Nous verrons en particulier que toute fonction définie par une série entière est holomorphe.

Pour tout nombre complexe a∈Cet pour tout r´eel strictement positif r >0, on note D(a, r) = ©

z∈C : |z−a|< rª

le disque ouvert de centre a et de rayon r. On note D(a, r) le disque ferm´e de centre a et de rayonr. Enfin on notera D^◦(a, r) = D(a, r)\ {a}, disque ouvert de centrea et de rayon r priv´e du point a.

1.1 Fonctions holomorphes. Soit Ω ⊂ C un ouvert non vide du plan complexe. Soit f: Ω → C une fonction. Étant donné z₀ ∈ C, on dit que f est C-dérivable en z₀ si le quotient ^f^(z)−f(z_z−z₀ ⁰⁾, défini pour z ∈Ω\ {z₀}, admet une limite lorsque z tend vers z₀. Dans ce cas on note

f⁰(z₀) = lim

z→z0

f(z)−f(z₀) z−z0

.

Il est clair que la C-dérivabilité en z₀ est équivalente à l’existence d’un nombre complexe ` tel que

f(z) = f(z₀) +`(z−z₀) +o(|z−z₀|) lorsque z →z₀. Dans ce cas, on a ` =f⁰(z₀).

On dit que f estholomorphe si

(i) f est C-d´erivable en tout point de Ω;

(ii) La fonctionf⁰: Ω→C est continue.

Dans ce cas,f⁰ s’appelle la d´eriv´ee complexe de f.

(2)

1.2 ´Equations de Cauchy-Riemann. Consid´erons l’identification usuelle entre R² et C.

A tout (x, y) ∈R², correspond le nombre complexe z =x+iy. Soit Ω ⊂C un ouvert non vide et soit f: Ω→C. Si l’on considère Ω comme un ouvert deR² etf comme une fonction de deux variables réelles, on obtient que f est holomorphe si et seulement si f est de classe C¹ et vérifie

∂f

∂y = i∂f

∂x sur Ω. (1.1)

En effet, supposons f holomorphe, et soient x₀, y₀ r´eels tels que z₀ =x₀+iy₀ ∈Ω. Alors f((x0+h) +iy0)−f(x0+iy0)

h = f(z0+h)−f(z0)

h −→ f⁰(z0)

lorsque h → 0. Donc ^∂f_∂x existe en (x0, y0) et vaut f⁰(z0). De même, ^∂f_∂y existe en (x0, y0) et vaut if⁰(z₀). Donc f admet en tout point des dérivées partielles continues vérifiant (1.1).

Ceci implique ´egalement que f est de classe C¹ comme fonction de deux variables r´eelles.

R´eciproquement, supposons f de classeC¹ en tant que fonction de deux variables r´eelles, soit z0 = x0 +iy0 ∈ Ω, et soit ` = ^∂f_∂x(x0, y0). On suppose (1.1). Alors pour w = x+iy suffisamment petit, on a

f(z₀+w) = f((x₀+x) +i(y₀+y))

=x∂f

∂x(x0, y0) + y∂f

∂y(x0, y0) + o(|x+iy|)

=`(x+iy) + o(|x+iy|)

=`w+o(|w|).

Ceci montre que f est C-dérivable en z₀, sa dérivée complexe valant alors `. On en déduit que f est holomorphe.

La condition (1.1) s’appelleéquation de Cauchy-Riemann. La démonstration qui précède montre que si f est holomorphe, alors

f⁰(z) = ∂f

∂x(x, y) pourz =x+iy∈Ω.

1.3 L’espace des fonctions holomorphes. Etant donn´e un ouvert non vide Ω´ ⊂ C, on note

H(Ω) = ©

f: Ω→C : f holomorpheª .

Il est clair que pour tous f, g ∈ H(Ω) et pour tout λ ∈ C, les fonctions f +g et λf sont holomorphes, avec

(f +g)⁰ = f⁰+g⁰ et (λf)⁰ = λf⁰.

(3)

Ceci signifie en particulier que H(Ω) est un C-espace vectoriel. De même, en raisonnant comme dans le cas des fonctions dérivables d’une variable réelle, on obtient que le produit f g est holomorphe pour tous f, g ∈H(Ω), avec

(f g)⁰ = f⁰g+f g⁰.

Ceci signifie en particulier que H(Ω) est une C-algèbre. Enfin, et toujours en raisonnant comme dans le cas d’une variable réelle, on voit que si f ∈ H(Ω) ne s’annule pas, alors ¹_f est holomorphe, sa dérivée complexe valant alors −_f^f2⁰. En combinant avec ce qui précède on déduit que si f, g∈H(Ω) et si f ne s’annule pas, alors _f^g ∈H(Ω) et

³g f

´₀

= g⁰f −gf⁰ f² .

Il est clair que si Ω₁ ⊂ Ω₂ sont deux ouverts emboités de C, et si f: Ω₂ → C est holomorphe, alors sa restriction à Ω1 est holomorphe. Cette propriété sera utilisée sans plus de commentaires dans la suite. Ainsi l’opération de restrictionf 7→f_|Ω₁ induit une inclusion naturelle H(Ω₂)⊂H(Ω₁).

1.4 Polynomes et fractions rationnelles. On vérifie facilement que pour tout entier n ≥ 0, le monome z 7→ zⁿ est holomorphe sur C, de dérivée complexe égale à nzⁿ⁻¹. Par combinaison linéaire (voir 1.3), on en déduit que toute fonction polynome P définie par

P(z) = XN n=0

a_nzⁿ

est holomorphe sur C, de d´eriv´ee complexe P⁰(z) =

XN n=1

nanzⁿ⁻¹.

Soient P, Q deux polynomes. Soit Ω ⊂ C un ouvert ne contenant aucune racine (complexe) deQ. Alors il résulte de ce qui précède et du paragraphe 1.3 que la fonction rationnelle

P

Q est d´efinie et holomorphe sur Ω.

1.5 Exemples simples de fonctions non holomorphes. On vérifie facilement (voir Exercices) que l’application de conjugaison z 7→ z¯ n’est holomorphe sur aucun ouvert non vide de C. En effet elle ne vérifie pas l’équation de Cauchy-Riemann (1.1). De même, les applications z 7→Re(z), z 7→Im(z), et z 7→ |z|² ne sont pas holomorphes.

Nous allons maintenant voir que la dérivation complexe respecte les règles usuelles de composition des dérivées. Bien que semblables, les deux parties de la proposition qui suit concernent deux situations bien distinctes. Dans (2), on considère la composition de fonctions holomorphes mais dans (1), on considère la composition d’une fonction holomorphe et d’une fonction d’une variable réelle dérivable au sens usuel.

(4)

Proposition 1.6 Soit f: Ω→C une fonction holomorphe.

(1) SoitI ⊂R un intervalle, et soitϕ: I →Ωune fonction de classeC¹. Alors la fonction f◦ϕ: I →C est de classe C¹, et

∀t∈I, (f◦ϕ)⁰(t) = f⁰(ϕ(t))ϕ⁰(t).

(2) Soit Ω⁰ un autre ouvert de C, et soit g: Ω⁰ → Ω une fonction holomorphe. Alors la fonction f ◦g: Ω⁰ →C est holomorphe, et

∀z ∈Ω⁰, (f◦g)⁰(z) = f⁰(g(z))g⁰(z).

Démonstration. Les démonstrations de (1) et (2) sont identiques à celles qui apparaissent lorsque l’on considère la composition de deux fonctions d’une variable réelle. Donnons par exemple rapidement celle de (1), la démonstration de (2) étant semblable.

Soit t₀ ∈I. D’apr`es les hypoth`eses, on a

f ◦ϕ(t)−f ◦ϕ(t0) =f(ϕ(t))−f(ϕ(t0)) =f⁰(ϕ(t0))(ϕ(t)−ϕ(t0)) +o(|ϕ(t)−ϕ(t0)|) et

ϕ(t)−ϕ(t₀) = ϕ⁰(t₀)(t−t₀) +o(|t−t₀|).

En combinant, on a

f◦ϕ(t)−f◦ϕ(t₀) =f⁰(ϕ(t₀))ϕ⁰(t₀)(t−t₀) +f⁰(ϕ(t₀))o(|t−t₀|) +o(|ϕ(t)−ϕ(t₀)|).

De plus, en réutilisant la dérivabilité deϕent₀, on voit que ϕ(t)−ϕ(t₀) =O(|t−t₀|). Donc finalement,

f ◦ϕ(t)−f◦ϕ(t₀) = f⁰(ϕ(t₀))ϕ⁰(t₀)(t−t₀) +o(|t−t₀|),

ce qui prouve que f◦ϕest dérivable en t₀, de dérivée égale à f⁰(ϕ(t₀))ϕ⁰(t₀). Comme f⁰, ϕ, et ϕ⁰ sont continues, cette formule implique que f ◦ϕ est de classe C¹, ce qui termine la

d´emonstration de (1). ¤

Corollaire 1.7 Soit Ω ⊂ C un ouvert non vide connexe, et soit f ∈ H(Ω). Si f⁰ est identiquement nulle sur Ω, alors f est constante.

Démonstration. Soient a et b deux points de Ω. Compte tenu de la connexité de Ω, on peut trouver ϕ: [0,1]→ Ω de classe C¹ telle que ϕ(0) = a et ϕ(1) = a. Par la proposition précédente, f ◦ϕ: [0,1] → C est une fonction de classe C¹ de dérivée nulle. Elle est donc constante. Donc f ◦ϕ(0) =f ◦ϕ(1), et ainsi f(a) = f(b). ¤

(5)

1.8 Séries entières. Les séries entières vont jouer un rôle fondamental dans ce cours. On supposera connues les techniques de détermination du rayon de convergence d’une telle série (règle de D’Alembert, règle de Cauchy), et les propriétés de convergence de ces séries.

On rappelle cependant que si P

anzⁿ est une série entière de rayon de convergence égal

à R > 0, alors la série numérique P

|a_n|rⁿ converge pour tout 0 < r < R. De plus pour tout nombre réelα, la série entièreP

ann^αzⁿ a mˆeme rayon de convergence queP

anzⁿ. En cons´equence on a

∀0< r < R, ∀α ∈R,

X+∞

n=1

|a_n|n^αrⁿ < +∞.

Proposition 1.9 Soient a ∈C, R > 0, et soit P

a_n(z−a)ⁿ une série entière autour de a de rayon supérieur ou égal à R. Soit f:D(a, R)→C la fonction somme correspondante,

f(z) = X+∞

n=0

an(z−a)ⁿ. Alors f est holomorphe, et sa dérivée complexe est donnée par

f⁰(z) = X+∞

n=1

na_n(z−a)ⁿ⁻¹.

D´emonstration. On peut supposer que a = 0. Soient z₀ ∈ D(0, R), et soit r tel que

|z₀|< r < R. Pour tout nombre z ∈C, et pour tout entierp≥1, on a

z^p −z^p₀ = (z−z₀)(z^p−1+z₀z^p−2+· · ·+z₀^p−2z+z^p−1₀ ). (1.2) Donc si |z|< r, on a

|z^p−z₀^p| ≤ |z−z₀|(|z|^p−1+|z₀||z|^p−2 +· · ·+|z₀|^p−2|z|+|z₀|^p−1) ≤ p r^p−1|z−z₀|.

Supposons maintenant que z 6=z₀, et soitn ≥2. En appliquant (1.2) avec p=n, on a zⁿ−z₀ⁿ

z−z₀ −nz₀ⁿ⁻¹ = (zⁿ⁻¹+z0zⁿ⁻²+· · ·zⁿ⁻²₀ z+z₀ⁿ⁻¹)−nzⁿ⁻¹₀

= Xn−2 k=0

z₀^kz^n−1−k−z₀ⁿ⁻¹

= Xn−2 k=0

z₀^k(z^n−1−k−z₀^n−1−k).

(6)

Supposons maintenant que |z| < r. Alors en appliquant ce qui précède avec p= n−1−k pour chaque k allant de 0 à n−2, on obtient

¯¯

¯zⁿ−z₀ⁿ z−z0

−nz₀ⁿ⁻¹

¯¯

¯ ≤ Xn−2

k=0

|z₀|^k|z^n−1−k−z^n−1−k₀ |

≤ Xn−2

k=0

|z−z₀|(n−1−k)rⁿ⁻²

≤ |z−z0|

³n(n−1) 2

´ rⁿ⁻². En ´ecrivant

f(z)−f(z0) z−z₀ −

X+∞

n=1

nanz₀ⁿ⁻¹ = X+∞

n=1

an

³zⁿ−zⁿ₀

z−z₀ −nz₀ⁿ⁻¹

´ , on en d´eduit que

¯¯

¯¯f(z)−f(z₀) z−z₀ −

X+∞

n=1

na_nz₀ⁿ⁻¹

¯¯

¯¯ ≤ |z−z₀| X+∞

n=2

|a_n|

³n(n−1) 2

´ rⁿ⁻².

Cette somme est finie, par le rappel du paragraphe 1.8. On a donc trouv´e une constante K ≥0 telle que ¯

¯¯

¯f(z)−f(z₀) z−z0

− X+∞

n=1

na_nz₀ⁿ⁻¹

¯¯

¯¯ ≤ K|z−z₀|.

On en d´eduit imm´ediatement que

z→zlim0

f(z)−f(z0) z−z₀ =

X+∞

n=1

nanz₀ⁿ⁻¹.

Ceci démontre la C-dérivabilité de f et la formule donnant la dérivée. Puisque f⁰ est la somme d’une série entière, elle est continue. Donc f est bien holomorphe. ¤ 1.10 Dérivées successives. Soit f: D(a, R) → C somme d’une série entière, comme dans la proposition précédente. Sa dérivée complexe f⁰ étant elle-même somme d’une série entière, elle est à son tour holomorphe, de dérivée égale à la somme d’une série entière. Par récurrence, on peut donc pour tout entier p≥ 1 définir une p-ième dérivée complexe de f, que l’on note f^(p), qui est holomorphe sur D(a, R), et qui est telle qu’en posant f⁽⁰⁾ =f, on ait ¡

f^(p)¢₀

=f^(p+1) pour toutp≥0. De plus, f^(p)(z) =

X+∞

n=p

n(n−1)· · ·(n−p+ 1)an(z−a)^n−p.

(7)

pour tout p ≥ 1 et pour tout z ∈ D(a, R). En appliquant cette formule avec z = a, on obtient en particulier que

∀p≥0, a_p = f^(p)(a) p! .

1.11 La fonction exponentielle. La fonction exponentielle est la fonction holomorphe d´efinie sur C par

e^z = X+∞

n=0

zⁿ

n!. (1.3)

Elle est égale à sa dérivée, et e^z+z⁰ = e^ze^z⁰ pour tout couple (z, z⁰) de nombres complexes (voir Exercices). De plus sa restriction à R coincide avec la fonction exponentielle réelle usuelle.

Parmi les propriétés classiques de l’exponentielle, notons que e⁰ = 1, et qu’on a donc e^ze^−z = 1 pour tout z ∈C. Par conséquent, e^z 6= 0 pour tout z ∈ C. Par ailleurs |eîy| = 1 pour tout nombre réel y (voir Exercices). Par conséquent, |e^z| = e^Re(z) pour tout z ∈ C.

Enfin (voir Exercices)

e^z = 1 ⇐⇒ ∃m∈Z ¯

¯ z = 2πim. (1.4)

A partir de cet exemple, on peut d´efinir les fonctions cosinus et sinus:

cos(z) = e^iz +e^−iz

2 et sin(z) = e^iz−e^−iz 2i .

Ces fonctions sont bien entendu holomorphes sur C, et leurs restrictions `aRcoincident avec les fonction trigonom´etriques cos et sin usuelles.

On peut ´egalement d´efinir les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique sur C en posant

ch(z) = cos(iz) et sh(z) = −isin(iz).

Compte tenu de (1.3), ces fonctions s’´ecrivent aussi cos(z) =

X+∞

n=0

(−1)ⁿz²ⁿ

(2n)! , sin(z) = X+∞

n=0

(−1)ⁿz²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)! , ch(z) =

X+∞

n=0

z²ⁿ

(2n)!, sh(z) = X+∞

n=0

z²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!.

1.12 Logarithmes. Nous utiliserons la notation ln pour désigner la fonction ‘logarithme népérien’, définie surR^∗₊et à valeurs dansR. On rappelle quee^ln(x)=xpour tout réelx >0.

Nous allons maintenant utiliser une identit´e analogue pour d´efinir une notion de logarithme complexe.

(8)

Soit Ω ⊂ C un ouvert non vide. On appelle fonction logarithme sur Ω une fonction continue L: Ω→Ctelle que

∀z ∈Ω, e^L(z) = z.

Il n’existe pas de fonction logarithme sur tout ouvert. Pour qu’une telle fonction existe il est par exemple n´ecessaire que 0∈/ Ω. En effet, la fonction exponentielle ne s’annule pas.

A défaut d’existence, on a un résultat d’unicité à 2πi près, qui s’énonce comme suit:

• Si Ω est connexe et si L₁, L₂: Ω→ C sont deux fonctions logarithmes sur Ω, il existe un entier m∈Z tel que L₂(z)−L₁(z) = 2πim pour tout z ∈Ω.

En effet si L₁, L₂ sont des fonctions logarithmes, on a e^L²^(z) = e^L¹^(z), donc e^L²^(z)−L¹^(z) = 1 pour tout z ∈ Ω. Par cons´equent, il existe pour chaque z ∈ Ω un entier m(z) tel que L₂(z)− L₁(z) = 2πim(z). Or L₁ et L₂ sont continues, donc m: Ω → Z est continue.

L’ouvert Ω étant connexe, m est alors nécessairement constant, ce qui prouve le résultat.

Notons qu’inversement, si L: Ω → C est une fonction logarithme sur Ω et si m est un entier, alors L+ 2πmest ´egalement une fonction logarithme sur Ω.

1.13 Détermination principale du logarithme. Soit Ω⊂Cun ouvert non vide, connexe et contenant 1. D’après le paragraphe 1.12 ci-dessus, il existe au plus une fonction logarithme sur Ω valant 0 au point 1. Cette fonction, si elle existe, s’appelle détermination principale du logarithme sur Ω.

L’exemple le plus important est celui de l’ouvert C\R₋. Pour tout z dans cet ouvert, il existe un unique couple (r, θ)∈R^∗₊×]−π, π[ tel quez =re^iθ. Les nombresretθs’appellent les coordonn´ees polairesde z. On pose alors

Log(z) = ln(r) + iθ pour z =rîθ tel que r >0 et −π < θ < π. (1.5) Si on note z =x+iy, avecx et y réels, on peut exprimer les coordonnées polaires (r, θ) de z en fonction dex et y comme suit. Tout d’abord,

r=¡

x²+y²¢¹

2. Puis on ´ecrit

tan¡ θ/2¢

= sin(θ)

1 + cos(θ) = y r+x et ainsi

θ = 2 arctan

µ y

(x²+y²)¹² +x

¶ .

Ceci montre que r et θ sont des fonctions continues en (x, y). Ainsi la fonction Log définie par (1.5) est continue. Il est dès lors clair que Log est une fonction logarithme sur C\R−. Puisque Log(1) = ln(1) = 0, cette fonction Log estladétermination principale du logarithme surC\R₋.

(9)

Lemme 1.14 La fonction Log: C\R₋ −→C d´efinie par (1.5) est holomorphe.

Démonstration. Considérons f = Log comme fonction des deux variables réelles (x, y).

Compte tenu des expressions des coordonnées polaires vues ci-dessus, f est de classe C¹. Pour montrer l’holomorphie, il nous suffit donc de vérifier l’équation de Cauchy-Riemann (1.1) pourf. On a

f¡

rcos(θ), rsin(θ)¢

= ln(r) +iθ.

Donc en d´erivant successivement en les variables r etθ, on obtient cos(θ)∂f

∂x + sin(θ)∂f

∂y = 1

r et −rsin(θ)∂f

∂x +rcos(θ)∂f

∂y =i.

On en d´eduit que

∂f

∂x = cos(θ)−isin(θ)

r et ∂f

∂y = icos(θ) + sin(θ)

r .

Ceci montre (1.1) pourf = Log et termine la d´emonstration. ¤

Proposition 1.15

(1) Étant donné α ∈R, considérons la demi-droite fermée ∆_α ={reîα : r ≥ 0}. Alors il existe une fonction logarithme sur l’ouvert C\∆α.

(2) Il n’existe pas de fonction logarithme sur C^∗.

(3) Soit L: Ω → C une fonction logarithme sur un ouvert Ω. Alors L est holomorphe, 0∈/ Ω, et L⁰(z) = ¹_z pour tout z ∈Ω.

Démonstration. (1): Le cas traité dans le paragraphe 1.13 correspond à α = −π. Le cas général se traite de la même fa¸con. Pour tout z ∈ C\∆_α, il existe un unique couple (r, θ)∈R^∗₊×]α, α+2π[ tel quez =reîθ. On obtient alors une fonction logarithme surC\∆_α en posant L(z) = ln(r) +iθ. Dans la suite de cette démonstration, on note cette fonction L_α pour commodité.

(2): Supposons L: C^∗ → C fonction logarithme. Sa restriction à C\∆₀ coincide avec L₀, à un multiple de 2πiprès (voir 1.12). Ainsi il existe m∈Z tel queL(eîθ) = iθ+mpour tout 0 < θ < 2π. Comme L est continue, on en déduit en faisant tendre θ vers 0 puis vers 2π qu’on a à la fois L(1) =L(e⁰) =m, et L(1) =L(e^2πi) = 2π+m, d’où une contradiction.

(3): La d´emonstration du Lemme 1.14 montre aussi bien que pour tout α, la fonctionL_α est holomorphe.

Soit L: Ω → C une fonction logarithme sur un ouvert Ω, et soit a ∈ Ω. Soit α r´eel tel que a /∈ ∆_α, et soit R > 0 tel que D(a, R) ⊂ Ω et D(a, R)∩∆_α = ∅. Puisque D(a, R)

(10)

est connexe, L et L_α diff`erent d’une constante sur cet ouvert, donc L est holomorphe sur D(a, R). Ceci prouve l’holomorphie de L sur Ω.

Enfin en d´erivant la relation e^L(z) =z et en appliquant la Proposition 1.6 (2), on obtient

L⁰(z)e^L(z) = 1, et doncL⁰(z)z = 1. ¤

1.16 Développement de Log. On rappelle que Log désigne la fonction définie sur C\R₋ en (1.13). On sait que

∀z ∈D(0,1), 1 1 +z =

X+∞

n=0

(−1)ⁿzⁿ.

On en déduit un développement de Log en séries entières autour de 1 donné par:

∀z ∈D(0,1), Log(1 +z) = X+∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹zⁿ

n .

En effet, la série entière du membre de droite a un rayon de convergence égal à 1, sa fonction somme est donc bien définie sur D(0,1). Notons g cette fonction. Elle est holomorphe par la Proposition 1.9. En appliquant la formule de sa dérivée donnée par cette dernière, la Proposition 1.15 (3), et le développement de 1/(1+z) ci-dessus, on obtient que Log⁰(1+z) = g⁰(z) pour tout z ∈ D(0,1). La fonction z 7→ Log(1 +z)−g(z) est donc constante par le Corollaire 1.7. Puisque Log(1)= g(0) = 0, on conclut finalement à l’égalité Log(1+·) = g surD(0,1).

1.17 Fonction puissance. Soit α un nombre complexe. ´Etant donn´ez ∈C\R−, on pose z^α = e^αLog(z).

L’applicationz 7→z^α est appelée fonction puissance principale, en référence au fait que Log est la détermination principale du logarithme sur C\R−. Il existe en fait une notion de fonction puissance associée à chaque fonction logarithme mais nous nous contenterons ici de considérer la fonction associée à Log.

Soit z ∈C\R₋, et soient r >0 etθ ∈]−π, π[ ses coordonnées polaires. Alors par (1.5), on a z^α = r^αeîαθ. Il faut faire très attention au fait qu’une telle formule devient fausse si l’on n’impose pas à θ d’être entre −π et π. Par exemple, 1^α = 1 et l’on a 1 = e^2πi. Mais e^2πiα est différent de 1 si α n’est pas entier.

Par composition et holomorphie de Log, on voit que z 7→z^α est holomorphe sur C\R−, de dérivée complexe égale àz 7→αz^α−1. Par ailleurs la restriction de cette fonction puissance

`a R^∗₊ coincide avec la fonction puissance r´eelle usuelle.

On remarquera enfin que si αest un entier, la définition que l’on a donnée dez^α coincide avec la définition usuelle (produit de z par lui-même α fois).

(11)

Chapter 2 Int´ egrales curvilignes et applications

2.1 Chemins et int´egrales curvilignes. On appelle chemin une application γ: [α, β]→ C continue et de classe C¹ par morceaux d´efinie sur un intervalle compact [α, β] de R.

Rappelons que cela signifie que γ est continue et qu’en outre, il existe une subdivision α = α0 < α1 < . . . < αn = β de l’intervalle [α, β] telle que pour tout 1 ≤ j ≤ n, la restriction deγ `a l’intervalle [α_j−1, α_j] soit de classe C¹.

Si γ: [α, β] → C est un chemin, on note γ^∗ son image dans C. Elle est appel´ee support de γ. Si Ω est un ouvert de C contenant γ^∗, on dit que γ est un chemin dans Ω. Enfin on dit que γ est un chemin ferm´esiγ(α) =γ(β).

Soit γ: [α, β]→ C un chemin et soitf une fonction d´efinie et continue sur γ^∗, `a valeurs dans C. On pose Z

γ

f(z)dz = Z _β

α

f(γ(t))γ⁰(t)dt . (2.1)

Cette intégrale est appelée intégrale de f le long de γ. Le terme générique d’intégrale curviligne est utilisé pour toutes les intégrales obtenues par un tel procédé. Dans la définition (2.1), il faut noter que la fonction γ⁰ peut ne pas être définie sur tout [α, β], mais sur [α, β]

privé d’un ensemble fini. Le membre de droite doit donc précisément s’interpréter comme suit. Si α =α₀ < α₁ < . . . < α_n =β est une subdivision de [α, β] telle que la restriction de γ à [α_j−1, α_j] est de classe C¹ pour tout 1 ≤j ≤n, ce membre de droite signifie

Xn−1 j=1

Z _α_j

αj−1

f(γ(t))γ⁰(t)dt .

Pour des raisons pratiques, nous conserverons dans ce qui suit l’abus de notation utilisé dans (2.1), dès lors que celui-ci ne conduit à aucune confusion.

2.2 Chemins équivalents. Soit γ: [α, β] → C un chemin, soit ϕ: [α₁, β₁] → [α, β] une bijection de classe C¹ à dérivée strictement positive, et soit γ1 = γ ◦ϕ. C’est un chemin

(12)

défini sur [α₁, β₁], et γ et γ₁ ont même support. De plus, si f est une fonction définie et continue sur ce support, on a

Z

γ

f(z)dz = Z

γ1

f(z)dz . (2.2)

En effet, Z _β₁

α1

f(γ₁(t))γ₁⁰(t)dt = Z _β₁

α1

f(γ(ϕ(t)))γ⁰(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt ,

et en effectuant le changement de variable s= ϕ(t), on obtient que cette derni`ere int´egrale

vaut Z _β

α

f(γ(s))γ⁰(s)ds .

Nous dirons que deux chemins γ: [α, β] → C et γ₁: [α₁, β₁] → C sont équivalents lorsqu’il existe une bijection ϕ: [α₁, β₁] → [α, β] de classe C¹ telle que γ₁ = γ ◦ ϕ et ϕ⁰ > 0 sur [α₁, β₁]. Il est facile de vérifier qu’il s’agit bien d’une relation d’équivalence. Intuitivement, deux chemins équivalents parcourent leur support commun dans le même sens.

Il est souvent commode de confondre un chemin avec sa classe d’équivalence, et donc de considérer un ‘chemin à équivalence près’. Dans cette optique, γ: [α, β] → C sera ap- pelé un paramétrage de cette classe, et passer d’un chemin à un chemin équivalent consiste simplement en un changement de paramétrage. Pour calculer les intégrales curvilignes cor- respondant à une classe donnée, on choisira alors l’un de ses paramétragesγ et l’on calculera (2.1) en posant z =γ(t) et en écrivant dz =γ⁰(t)dt.

Le changement de param´etrage le plus simple s’obtient en utilisant ϕ: [α₁, β₁] → [α, β]

d´efinie par:

ϕ(t) = β−α β1−α1

t− βα₁−αβ₁ β1 −α1

,

fonction affine qui envoie α₁ sur α et β₁ sur β. Grâce à celui-ci on peut lorsque l’on étudie un chemin (à équivalence près) supposer qu’il est défini sur un intervalle compact prédéfini.

Ce qui précède permet de définir la somme de chemins. Supposons par exemple qu’on dispose de deux chemins γ1: [α1, β1] →C et γ2: [α2, β2]→ C tels que γ1(β1) = γ2(α2). On peut alors changer le paramétrage deγ₂ en un paramétrage équivalent tel queβ₁ =α₂. Puis on définit leur somme γ: [α₁, β₂] → C en posant γ(t) = γ₁(t) si t ≤ β₁, et γ(t) = γ₂(t) si t≥α₂. Intuitivement, on parcoureγ en parcourant successivement γ₁ etγ₂.

On définit de même la somme den≥2 cheminsγ₁, . . . , γ_ntels que pour tout 1≤j ≤n−1, le chemin γ_j se termine là où commence γ_j+1.

(13)

2.3 Param´etrages oppos´es. Nous dirons que deux chemins γ: [α, β]−→C et γ₁: [α₁, β₁]−→C

sontopposés lorsqu’il existe une bijectionϕ: [α₁, β₁]→[α, β] de classeC¹ telle queγ₁ =γ◦ϕ etϕ⁰ <0 sur [α₁, β₁]. Il est clair que deux chemins opposés ont même support. Intuitivement, deux chemins opposés décrivent ce support en sens inverses.

Etant donn´e un chemin´ γ: [α, β]→C, le chemin γ⁻: [α, β]→C d´efini par γ⁻(t) = γ(α+β−t)

lui est opposé. De plus il est facile de vérifier qu’un chemin est opposé àγ si et seulement s’il est équivalent à γ⁻. On peut donc considérer γ⁻ comme l’opposé ‘canonique’ de γ. Passer d’un chemin à son opposé change le signe de l’intégrale curviligne associée. Précisément, pour toute fonction continue sur le support γ^∗, on a

Z

γ

f(z)dz = − Z

γ⁻

f(z)dz . Cette identité se vérifie aisément à l’aide de la définition (2.1).

2.4 Segments et cercles. Les exemples les plus simples sont les suivants.

(1) Segment. Soient z, w deux points de C. On notera [z, w] le chemin (à équivalence près) γ: [0,1]→C défini par γ(t) = z+t(w−z). Ce chemin s’appelle segment allant de z

à w. Il est à noter que [w, z] est l’opposé de [z, w].

(2) Cercle. Soient a ∈ C et r > 0. Le chemin γ: [0,2π] → C défini par γ(t) = a+reît a pour support le cercle de centre a et de rayon r > 0. Il décrit celui-ci dans le sens direct.

(14)

Ce chemin (à équivalence près) sera en général noté Γ(a, r) dans la suite. Lorsque a = 0, on le notera simplement Γ_r.

2.5 Intégrale d’une dérivée sur un chemin fermé. Soit Ω⊂C un ouvert non vide, et soit F: Ω→ C une fonction holomorphe. Soit γ un chemin dans Ω, défini sur un intervalle [α, β]. Par 1.1 (ii), la fonction F⁰ est continue sur γ^∗, et on peut donc définir l’intégrale de F⁰ surγ. En appliquant (2.1) et la Proposition 1.6 (1), on voit que

Z

γ

F⁰(z)dz = Z _β

α

(F ◦γ)⁰(t)dt =F(γ(β))−F(γ(α)).

Ainsi, Z

γ

F⁰(z)dz = 0 si γ est ferm´e.

Proposition 2.6 (Indice d’un chemin ferm´e.) Soit γ un chemin ferm´e, et soit λ /∈γ^∗. On pose

Ind_γ(λ) = 1 2πi

Z

γ

dz z−λ.

Alors ce nombre, appel´e indice de λ par rapport `a γ, est un entier. La fonction Ind_γ:C\γ^∗ −→Z

ainsi d´efinie est constante sur chaque composante connexe de C\γ^∗, et vaut 0 sur sa com- posante connexe non born´ee.

Avant de passer à la démonstration, il est bon de noter que le supportγ^∗ du cheminγ est compact, et donc borné. Il existe donc un disque le contenant. Dès lors, le complémentaire de ce disque est inclus dans C \ γ^∗. Ceci implique que C \γ^∗ possède exactement une composante connexe non bornée.

On remarquera par ailleurs que l’indice Ind_γ(λ) n’est pas changé si on change γ en un chemin qui lui est équivalent. Par contre, l’indice de λpar rapport au chemin opposéγ⁻ est

´egal `a −Ind_γ(λ).

(15)

Démonstration. On peut supposer que l’intervalle de définition de γ est [0,1] (voir le dernier paragraphe de 2.2). Soit λ /∈γ^∗, alors l’indice de λ par rapport à γ est

Ind_γ(λ) = 1 2πi

Z ₁

0

γ⁰(t) γ(t)−λdt . Soit ϕ: [0,1]→Cd´efini par

∀s ∈ [0,1], ϕ(s) = exp

³Z s 0

γ⁰(t) γ(t)−λdt

´ .

Compte tenu de (1.4), montrer que Indγ(λ) est entier est ´equivalent `a montrer que ϕ(1) = 1.

On pose

ψ = ϕ

γ−λ. Alorsψ est de classe C¹ par morceaux et on a

ψ⁰ = ϕ⁰

γ−λ − ϕ γ⁰ (γ−λ)² .

Or par la Proposition 1.6 (1), on aϕ⁰ =ϕ_γ−λ^γ⁰ , donc on a finalementψ⁰ = 0. Ainsiψ est une fonction constante, et en particulier ψ(0) =ψ(1). Orγ est suppos´e ferm´e, doncγ(0) =γ(1).

Donc ϕ(0) =ϕ(1). Commeϕ(0) est évidemment égal à 1, on obtient bien queϕ(1) = 1.

Par le Théorème de Lebesgue de continuité sous l’intégrale, il est facile de voir que la fonction Ind_γ est continue sur C\γ^∗. Comme elle est à valeurs entières, elle est constante sur chaque composante connexe de cet ensemble de définition.

Soit U ⊂ C la composante connexe non bornée de C\γ^∗, et soit m ∈ Z la valeur de Ind_γ sur U. Il existe λ₀ ∈ U tel que rλ₀ ∈ U pour tout réel r ≥ 1. Par le Théorème de convergence dominée, la fonction

r 7→ Indγ(rλ0) = 1 2πi

Z ₁

0

γ⁰(t) γ(t)−rλ₀dt

tend vers 0 lorsquer →+∞. Cette fonction valantmpour tout r≥1, on obtientm= 0. ¤ 2.7 Indice par rapport `a un cercle. Soit r >0 et soit Γ_r le cercle de centre 0 et de rayon r d´ecrit dans le sens direct (voir 2.4 (2)). On a

1 2πi

Z

Γr

dz

z = 1. (2.3)

En effet avec le paramétrage z = eît pour t ∈ [0,2π], on a dz = ieîtdt. Donc ^dz_z = idt, et l’intégrale ci-dessus vaut

1 2π

Z _2π

dt = 1.

(16)

On peut remarquer en passant que par la mˆeme technique, on obtient

∀n∈Z\ {1}, 1 2πi

Z

Γr

dz

zⁿ = 0. (2.4)

La formule (2.3) montre que l’indice de 0 par rapport `a Γ_r vaut 1. Compte-tenu de la Proposition 2.6, on en d´eduit que Ind_Γ_r(λ) = 1 si |λ|< r, tandis que Ind_Γ_r(λ) = 0 si |λ|> r.

De mˆeme, pour tout a∈C, on a

Ind_Γ(a,r)(λ) = 1 si |λ−a|< r et Ind_Γ(a,r)(λ) = 0 si |λ−a|> r.

2.8 Contours et autres exemples. On appelle contour un chemin fermé γ: [α, β] → C dont la restriction à [α, β[ est injective. Un théorème appelé ‘Théorème de Jordan’ dit que si γ est un contour, alors le complémentaire C\γ^∗ de son support admet exactement deux composantes connexes. Notons U la composante connexe non bornée ce cet ensemble, et V la seconde composante connexe, de sorte que C est la réunion disjointe de U, γ^∗, et V. On dit que le contour γ est orienté positivement, ou qu’il décrit son support dans le sens direct si V est toujours ‘à gauche’ pendant le parcours de γ. Une version du Théorème de Green-Riemann affirme que dans ce cas, on a

∀λ∈V, Ind_γ(λ) = 1. (2.5)

La notion d’orientation positive n’est ici définie que de fa¸con intuitive, et les résultats men- tionnés (Jordan, Green-Riemann) ne seront pas démontrés. Il s’agit là en effet de résultats difficiles allant au-delà du niveau de ce cours et il est préférable d’en rester à un niveau intuitif de ces notions. Conformément à cette intuition, la partie V sera appeléel’intérieur du contour, tandis queU en sera appelél’extérieur. On vient de mentionner que Ind_γ(λ) = 1 siλest à l’intérieur du contour et que celui-ci est orienté positivement. Rappelons également que par la Proposition 2.6, on a Ind_γ(λ) = 0 si λ est à l’extérieur du contour.

(17)

Le chemin Γ(a, r) défini au paragraphe 2.4 (2) est l’exemple le plus simple d’un contour orienté positivement. Pour celui-ci, l’intérieur est V = D(a, r) tandis que l’extérieur est U ={|λ−a|> r}. Pour cet exemple, le fait que Ind_γ(λ) = 1 siλ est à l’intérieur du contour a été établi au paragraphe 2.7 ci-dessus. Un autre exemple simple de contour est le rectangle.

Supposons-le orienté positivement (comme sur le dessin ci-dessous). Alors comme pour le cercle, le fait que Ind_γ(λ) = 1 pour λ intérieur au parcours peut être démontré directement.

Nous en verrons une d´emonstration explicite en exercice.

En fait lorsqu’un contour γ orienté positivement est suffisamment élémentaire, il est possible d’effectuer un calcul direct démontrant (2.5). Parmi ces contours élémentaires, on peut mentionner les demi-cercles et les triangles.

Soit γ un chemin fermé et soit λ /∈ γ^∗. Intuitivement, et en se référant à ce qui se passe pour les contours, on pourra considérer que Ind_γ(λ) représente le ‘nombre de tours’

que γ effectue autour de λ, comptés dans le sens direct. Dans les dessins suivants, la flèche représente le sens de parcours du chemin représenté, et le nombre dans une composante connexe de C\γ^∗ est l’indice de n’importe quel point de cette composante par rapport à γ.

(18)

Proposition 2.9 Soit Γ_r le cercle de centre 0 et de rayon r > 0 orient´e positivement. Soit g: Γ^∗_r →C une fonction continue. Pour tout nombre complexe λ tel que |λ| 6=r, on pose

F(λ) = Z

Γr

g(z) z−λdz .

Alors F est développable en séries entières sur D(0, r). Précisément,

Si |λ|< r, alors F(λ) = X+∞

n=0

³ Z

Γr

g(z) zⁿ⁺¹ dz

´ λⁿ.

De même, F est développable en séries de puissances de 1/λ sur {|λ|> r}:

Si |λ|> r, alors F(λ) = − X+∞

n=0

³ Z

Γr

zⁿg(z)dz´

λ⁻ⁿ⁻¹.

Démonstration. Ce double résultat s’obtient simplement par une interversion série/intégrale.

En effet, soitλ ∈Cfix´e tel que|λ|< r. Pourz tel que|z|=r, on a|^λ_z|<1 et on peut ´ecrire 1

z−λ = 1 z

X∞ n=0

λⁿ zⁿ , puis

g(z) z−λ = 1

z X∞ n=0

g(z)λⁿ zⁿ =

X∞ n=0

g(z) zⁿ⁺¹λⁿ.

La fonction g est continue sur Γ^∗_r, qui est compact. Elle y est donc bornée. La série de fonctions en la variablez ci-dessus converge donc normalement sur Γ^∗_r, ce qui permet d’écrire

Z

Γr

g(z) z−λdz =

Z

Γr

X∞ n=0

g(z)

zⁿ⁺¹λⁿdz = X∞ n=0

³Z

Γr

g(z) zⁿ⁺¹dz

´ λⁿ.

Ceci prouve le premier résultat. La démonstration est identique pour|λ|> r, en commen¸cant par écrire

1

z−λ = −1 λ

X∞ n=0

zⁿ λⁿ .

¤ On pourra remarquer en passant que lorsque g = 1, la fonction F ci-dessus n’est rien d’autre que l’indice par rapport `a Γ_r. Cette proposition permet alors de retrouver la valeur de Ind_Γ_r(λ) en utilisant uniquement (2.3) et (2.4).

(19)

z ∈C^∗ : R₁ <|z|< R₂ª ,

couronne ouverte du plan complexe centrée en 0. On suppose bien sur queR1 < R2 dans cette définition, et on y inclut les cas extrêmesR₁ = 0 ouR₂ =∞. Ainsi siR ∈]0,+∞[ ,C(0, R) est égal à D(0, R), disque ouvert de centre 0 de rayon^◦ R privé de {0}(voir l’introduction du Chapitre 1).

Soit f: C(R₁, R₂)→C une fonction holomorphe sur une couronne. Alors

∀R, R⁰ ∈]R₁, R₂[, Z

ΓR

f(z)dz = Z

Γ_R0

f(z)dz . (2.6)

En effet, posons g(z) = zf(z) et notons J(R) = R

ΓRf(z)dz pour R1 < R < R2. Avec le paramétragez =Reît, où t varie dans [0,2π], on a

J(R) = i Z _2π

0

g(Re^it)dt .

En appliquant la Proposition 1.6 (1), on voit que pour tout t, la fonction R 7→ g(Reît) est dérivable sur l’intervalle ]R1, R2[ , de dérivée égale à eîtg⁰(Reît). Par le Théorème de Lebesgue de dérivation sous l’intégrale, on en déduit queJ est dérivable sur ]R₁, R₂[ , avec

J⁰(R) =i Z _2π

0

∂

∂R

¡g(Re^it)¢

dt =i Z _2π

0

e^itg⁰(Re^it)dt = 1 R

Z

ΓR

g⁰(z)dz .

Compte tenu de ce qu’on a vu au paragraphe 2.5, cette dernière intégrale vaut 0. Ayant une dérivée nulle sur ]R1, R2[ , J y est bien constant.

Le résultat (2.6) ci-dessus reste valable si f: C(R1, R2) → C est supposé continu, et holomorphe sur C(R₁, R₂) privé d’un point z₀. En effet posons R₀ = |z₀|, de sorte que R₁ < R₀ < R₂. Comme f est continue, la fonction J définie précedemment est continue sur ]R₁, R₂[ . Par ailleurs, elle est constante sur ]R₁, R₀[ et sur ]R₀, R₂[ , par ce qui précède.

Elle est donc finalement constante sur ]R₁, R₂[ .

Théorème 2.11 (Développement en série de Laurent.) Soit f: C(R₁, R₂) → C fonction holomorphe sur une couronne. Il existe une suite (a_n)_n∈_Z de nombres complexes telle que

∀z ∈C(R₁, R₂), f(z) = X+∞

n=−∞

a_nzⁿ.

De plus, cette s´erie converge normalement sur tout compact inclus dans C(R₁, R₂).

(20)

Démonstration. Fixons un point λ dans la couronne C(R₁, R₂). On considère la fonction g: C(R₁, R₂)→C définie par g(λ) =f⁰(λ) et

g(z) = f(z)−f(λ)

z−λ si z 6=λ.

La fonction g est continue et sa restriction à C(R1, R2)\ {λ} est holomorphe. On peut donc lui appliquer le résultat établi au paragraphe 2.10 ci-dessus. On fixe donc R₁ < r₁ <|λ|<

r₂ < R₂ et on ´ecrit Z

Γr2

g(z)dz − Z

Γr1

g(z)dz = 0.

D’après le paragraphe 2.7, l’indice de λ par rapport à Γ_r₂ vaut 1, tandis que l’indice de λ par rapport à Γ_r₁ vaut 0. Ce qui s’écrit

1 2πi

³Z

Γr2

dz z−λ −

Z

Γr1

dz z−λ

´

= 1.

On déduit de ces deux égalités que f(λ) = 1

2πi

³Z

Γr2

f(z)

z−λdz − Z

Γr1

f(z) z−λdz

´ . Appliquons maintenant la Proposition 2.9. Grˆace `a celle-ci, on a

Z

Γr2

f(z)

z−λ dz = X+∞

n=0

³ Z

Γr2

f(z) zⁿ⁺¹ dz

´ λⁿ.

et Z

Γr1

f(z)

z−λdz = − X−1 n=−∞

³ Z

Γr1

f(z) zⁿ⁺¹ dz´

λⁿ.

Pour chaque entiern, la fonctionz7→f(z)/zⁿ⁺¹ est holomorphe dans la couronneC(R1, R2).

Par le paragraphe 2.10, son int´egrale sur Γ_rne d´epend pas du rayonr ∈]R₁, R₂[ . On obtient donc que f(λ) = P_+∞

−∞a_nλⁿ, avec

∀n∈Z, a_n = 1 2πi

Z

Γr

f(z)

zⁿ⁺¹dz , (2.7)

nombre complexe dont la d´efinition ne d´epend pas du choix de r∈]R₁, R₂[ .

Comme une série entière est toujours normalement convergente sur tout compact inclus dans son disque ouvert de convergence, on déduit la convergence normale deP

anzⁿ sur tout

compact de C(R₁, R₂). ¤

(21)

2.12 S´eries de Laurent. Une s´erie de la forme X+∞

−∞

a_n(z−a)ⁿ (2.8)

s’appelle une série de Laurent autour de a. Le Théorème 2.11 dit donc que toute fonction holomorphe f: C(R₁, R₂) → C est développable en séries de Laurent autour de 0. Par translation, toute fonction holomorphe sur une couronne

{z ∈C : R1 <|z−a|< R2}

centrée en un pointa∈C admet un développement de la forme (2.8) sur cette couronne. Il est facile de voir que ce développement est unique. En effet, les a_n sont donnés par (2.7) si a= 0. Par translation ils sont donnés par

a_n = 1 2πi

Z

Γ(a,r)

f(z) (z−a)ⁿ⁺¹ dz dans le cas général, le rayon r étant compris entre R₁ etR₂.

2.13 In´egalit´es de Cauchy. Soitf: C(R1, R2)→Cune fonction holomorphe, soient (an)n

les coefficients de son développement en série de Laurent. Si de plus la fonctionf est bornée, et qu’on note

kfk_∞= sup{|f(z)| : z ∈C(R₁, R₂)}, alors

∀R₁ < r < R₂, ∀n ∈Z, |a_n| ≤ kfk_∞

rⁿ . (2.9)

Ces inégalités s’appellent inégalités de Cauchy. Pour les démontrer, on part de (2.7) et on paramètre Γ_r par z =reît. Alors

a_n = 1 2πrⁿ

Z _2π

0

f(reît)e^−intdt . L’inégalité (2.9) s’en déduit immédiatement.

Th´eor`eme 2.14 SoitΩ⊂Cun ouvert non vide et soitf: Ω→Cune fonction holomorphe.

Soit a ∈Ω et soit R > 0 tel que D(a, R)⊂Ω. Alors f est développable en série entière sur D(a, R). Autrement dit il existe une suite (a_n)_n≥0 de nombres complexes telle que

∀z ∈D(a, R), f(z) = X+∞

n=0

a_n(z−a)ⁿ.