2 S´ eries de Taylor

(1)

applications

Dans ce chapitre, K d´esigneraR ou C.B(0;R) d´esignera la boule ouverte de centre 0 et de rayon R >0.

1 G´ en´ eralit´ es

Définition 1 Soit f une application deKdansK. On dit que f est développable en série entière en 0 s’il existe une série entière P

n>0

a_nxⁿ de rayon de convergence R >0 et un voisinage V de 0 tels que :

∀x∈V ∩B(0;R), f(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ.

Si z₀ ∈K, on dit que f est développable en série entière en z₀ s’il existe une série entière P

n>0

a_nzⁿ de rayon de convergence R >0 et un voisinage V de z₀ tels que :

∀z∈V ∩B(z₀;R), f(z) =

+∞

X

n=0

an(z−z₀)ⁿ.

Remarque : Siz₀ ∈K, alors f admet un développement en série entière en z₀ si et seulement si la fonction g définie surKparg(z) =f(z+z₀) admet un développement en série entière en 0. C’est la raison pour laquelle nous nous intéresserons dans la suite aux développements en série entière en 0.

2 S´ eries de Taylor

Proposition 1 Soit f une fonction de R dans K, développable en série entière en 0. Il existe un voisinage V de 0 et une série entière P

n>0

anxⁿ de rayon de convergence R >0 telle que :

∀x∈V∩]−R;R[, f(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ.

Alors f est de classe C^∞ sur V∩]−R;R[et :

∀n∈N, a_n= f⁽ⁿ⁾(0) n! .

(2)

Preuve - NotonsS la fonction somme.S est d´efinie sur ]−R;R[ par : S(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ. On sait que S est de classe C^∞ sur ]−R;R[ et que :

∀n∈N, a_n= S⁽ⁿ⁾(0) n! .

(voir le chapitre sur les s´eries enti`eres).f etS co¨ıncident surV∩]−R;R[ donc f est de classe C^∞ sur V∩]−R;R[ et on a :

∀n∈N, a_n= S⁽ⁿ⁾(0)

n! = f⁽ⁿ⁾(0) n! .

2

Définition 2 Si f est une fonction de R dans K, développable en série entière en 0, la série P

n>0 f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ est appel´ee s´erie de Taylor de f en 0.

Remarque :La réciproque de la proposition 1 est fausse. En effet, considérons la fonctionf définie sur Rpar :

f(x) =

( e⁻^x2¹ six6= 0 0 six= 0

f est de classeC^∞ surR^∗. Montrons par récurrence la propriété suivante :

∀n∈N, ∃P_n∈R[X], x∈R^∗, f⁽ⁿ⁾(x) = P_n(x) x³ⁿ e⁻^x2¹ . Pour n∈N, notonsP r(n) la propri´et´e :

∃Pn∈R[X], x∈R^∗, f⁽ⁿ⁾(x) = Pn(x) x³ⁿ e⁻^x2¹ . n= 0 :P₀ = 1 doncP r(0) est vraie ;

n= 1 :f est d´erivable surR^∗ et on a :

∀x∈R^∗, f^′(x) = 2 x³e⁻^x2¹ doncP₁ = 2 et doncP r(1) est vraie ;

Soit n∈N^∗. SupposonsP r(n) vraie :

∀x∈R^∗, f⁽ⁿ⁾(x) = P_n(x) n³ⁿ e⁻^x2¹ . f⁽ⁿ⁾ est d´erivable surR^∗ et on a :

∀x∈R∗, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =

x³P_n^′(x) + 3nx²P_n(x) + 2P_n(x) x³⁽ⁿ⁺¹⁾

e⁻^x2¹ .

(3)

Donc P r(n+ 1) est vraie et donc P r(n) est vraie pour tout n∈N.

Pour tout entier natureln,f⁽ⁿ⁾ est continue en 0, f⁽ⁿ⁾ est dérivable surR− {0} etf⁽ⁿ⁺¹⁾ admet 0 pour limite en 0 doncf⁽ⁿ⁾est dérivable en 0 et f⁽ⁿ⁺¹⁾(0) = 0. Par conséquent, f admet 0 comme développement en série de Taylor en 0, mais f ne s’annulant qu’en 0, il n’existe pas de voisinage V de 0 tel que :

∀x∈V, f(x) =

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ= 0.

Proposition 2 Soient V un voisinage de 0 dans R, f une fonction de V dans K admettant un développement en série entière en 0, noté P

n>0

a_nxⁿ. – Si f est paire, alors : ∀n∈N, a_2n+1 = 0; – Si f est impaire, alors : ∀n∈N, a_2n= 0.

Preuve - NotonsR le rayon de convergence de la s´erie P

n>0

anxⁿ. On a :

∀x∈V∩]−R;R[, f(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ.

Soit I un intervalle sentr´e en 0, inclus dans V∩]−R; [R[. Soit g la fonction d´efinie sur I par g(x) =f(−x). On a :

∀X∈I, g(x) =

+∞

X

n=0

a_n(−x)ⁿ=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿa_nxⁿ. Sif est paire, alorsf =g, c’est-`a-dire :

∀x∈I, f(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿa_nxⁿ.

Le développement en série entière étant unique, on en déuit :

∀n∈N, (−1)ⁿa_n=a_n. Pour nimpair, on a alors −an=a_n, c’est-`a-dire a_n= 0.

Soit h la fonction d´efinie surI parh(x) =−f(−x). On a :

∀x∈I, h(x) =−

+∞

X

n=0

a_n(−x)ⁿ=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁺¹a_nxⁿ. si f est impaire, alorsf =h, donc :

∀x∈I, f(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁺¹anxⁿ.

(4)

Le développement en série entière étant unique, on en déduit :

∀n∈N, (−1)ⁿ⁺¹a_n=a_n.

Pour npair, on a alors −an=an, c’est-`a-direan= 0. 2

Proposition 3 Soient a >0, f une fonction définie sur ]−a;a[, à valeurs dans K, de classe C^∞. Soit n∈N. La formule de Taylor avec reste intégral donne :

∀x∈]−a;a[, f(x) =

n

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k+

Z x

0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt.

Pour que f soit développable en série entière en 0, il faut et il suffit qu’il existe b∈]0;a]tel que :

∀x∈]−b;b[, Z x

0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt−−−−−→

n→+∞ 0.

Preuve - Supposons que f soit développable en série entière en 0. Il existe alors une série entière P

n>0

a_nxⁿ de rayon de convergenceR >0 et un voisinageV de 0 inclus dans ]−a;a[ tels que :

∀x∈V∩]−R;R[, f(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ. Soit b∈]0;a] tel que ]−b;b[⊂V∩]−R;R[. D’apr`es la proposition 1, on a :

∀n∈N, an= f⁽ⁿ⁾(0) n! . Soit x∈]−b;b[. Soitn∈N.

f(x)−

n

X

k=0

f^(k)(0)

k! x^k−−−−−→

n→+∞ 0 c’est-`a-dire

Z x

0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt−−−−−→

n→+∞ 0.

Supposons maintenant qu’il existe b∈]0;a] tel que :

∀x∈]−b;b[, Z x

0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt−−−−−→

n→+∞ 0.

Soient n∈N,x∈]−b;b[.

n

X

k=0

f^(k)(0)

k! x^k=f(x)− Z x

0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt−−−−−→

n→+∞ f(x).

Donc P

k>0 f⁽^k⁾(0)

k! x^kconverge versf(x) et ceci pour toutx∈]−b;b[. Le rayonRde P

k>0 f⁽^k⁾(0)

k! x^k vérifie 0< b6R et doncf est développable en série entière en 0. 2

(5)

3 Op´ erations sur les s´ eries enti` eres

3.1 Combinaison lin´eaire

Proposition 4 Soientλ∈K, f et g deux applications deKdansKadmettant pour développements en série entière respectifs P

n>0

a_nzⁿ et P

n>0

b_nzⁿ. Alors f+λg est développable en série entière en 0 et on a au voisinage de 0 :

(f +λg)(x) =

+∞

X

n=0

(λan+b_n)zⁿ.

Preuve - Notons R et R^′ les rayons de convergences respectifs de P

n>0

a_nzⁿ et P

n>0

b_nzⁿ. f est développable en série entière en 0 doncR >0 et il existe un voisinageV de 0 tel que :

∀z∈V ∩B(0;R), f(z) =

+∞

X

n=0

=a_nzⁿ.

g est développable en série entière en 0 donc R^′ >0 et il existe un voisinage V^′ de 0 tel que :

∀z∈V^′∩B(0;R^′), g(z) =

+∞

X

n=0

=b_nzⁿ.

Le rayonR₁ de la s´erie enti`ere P

n>0

(λan+bn)zⁿ est strictement positif carR₁ >min(R, R^′), R >0 etR^′ >0. Soit V^′′=V ∩V^′.V^′′ est un voisinage de 0 et on a :

∀z∈V^′′∩B(0;R₁), (λf+g)(x) =

+∞

X

n=0

(λan+b_n)zⁿ.

(voir le chapitre sur les s´eries enti`eres). 2

3.2 Produit

Proposition 5 Soient f et g deux applications de K dans K admettant pour développements en série entière respectifs P

n>0

anzⁿ et P

n>0

bnzⁿ. Alors fg est développable en série entière en 0 et on a auvoisinage de 0 :

(f g)(z) =

+∞

X

n=0

a_nzⁿ

! _+∞

X

n=0

b_nzⁿ

!

=

+∞

X

n=0

c_nzⁿ o`u

∀n∈N, c_n=

n

X

k=0

a_kb_n−k.

Preuve - Reprenons les notations de la preuve de la proposition 4. Consid´erons la s´erie P

n>0

cnzⁿ, produit de Cauchy de P

n>0

anzⁿet P

n>0

bnzⁿ. NotonsR₂ le rayon de convergence de cette s´erie.R₂>0

(6)

car R₂ >min(R, R^′),R >0 et R^′ >0. On sait que pour tout z∈C v´erifiant|z|< R₂, on a :

+∞

X

n=0

anzⁿ

! _+∞

X

n=0

bnzⁿ

!

=

+∞

X

n=0

cnzⁿ c’est-`a-dire

(f g)(z) =

+inf ty

X

n=0

cnzⁿ.

f g est donc développable en série entière en 0, le développement étant donné ci-dessus. 2

3.3 D´erivation

Proposition 6 Soit f une application de R dans K, développable en série entière en 0, dont le développement est P

n>0

anxⁿ. Alorsf^′ est développable en série entière en 0 et au voisinage de 0 :

f^′(x) =X

n>1

na_nxⁿ⁻¹.

Preuve - Soit Rle rayon de convergence de la s´erie P

n>0

a_nxⁿ.R >0 et il existe un voisinageV de 0 tel que :

∀x∈V∩]−R;R[, f(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ.

On sait que f est de classe C^∞ sur V∩]−R;R[ (voir chapitre sur les s´eries enti`eres). On sait par ailleurs que :

∀x∈V∩]−R;R[,

+∞

X

n=0

a_nxⁿ

!′

=

+∞

X

n=1

na_nxⁿ⁻¹ donc

∀x∈V∩]−R;R[, f^′(x) =

+∞

X

n=1

nanxⁿ⁻¹.

Le rayon de convergence de la série dérivée est R > 0 (voir chapitre sur les séries entières). Par conséquent,f^′ est développable en série entière en 0 et on a au voisinage de 0 :

f^′(x) =

+∞

X

n=1

nanxⁿ⁻¹.

2

(7)

4 D´ eveloppements usuels

4.1 Fonction exp

Le fonction exp est d´efinie surR, `a valeurs dansR^∗₊, par exp(x) =e^x. exp est de classeC^∞ surR et on a :

∀n∈N, exp⁽ⁿ⁾= exp donc

∀n∈N,exp⁽ⁿ⁾(0) = 1.

Appliquons la formule de Taylor avec reste int´egral. On a :

∀n∈N, ∀x∈R, exp(x) =

n

X

k=0

1 k!x^k+

Z x

0

(x−t)ⁿ

n! exp(t)dt.

Z x

0

(x−t)ⁿ n! e^tdt

6max(1, e^x)

Z x

0

(x−t)ⁿ n! dt

6max(1, e^x) |x|ⁿ⁺¹ (n+ 1)!. Comme max(1, e^x)_(n+1)!^|x|ⁿ⁺¹ −−−−−→

n→+∞ 0, il en est de même du reste intégral d’ordren. D’après la proposition 1, on en déduit que exp est développable en série entière en 0 et au voisinage de 0 :

e^x=

+∞

X

n=0

xⁿ n!. Pour tout n ∈N, notons an = _n!¹. ^aⁿ_a⁺¹_n = _n+1¹ −−−−−→

n→+∞ 0 donc le rayon de convergence de la s´erie P

n>0 xⁿ

n! est +∞ donc :

∀x∈R, e^x=

+∞

X

n=0

xⁿ n!. 4.2 Fonctions sin et cos

cos et sin sont des fonctions de classeC^∞ surR et on a :

∀n∈N, ∀x∈R,

( cos⁽ⁿ⁾(x) = cos x+^nπ₂ sin⁽ⁿ⁾(x) = sin x+ ^nπ₂ donc

∀n∈N, cos⁽ⁿ⁾(0) = cosnπ 2

=

( 0 sin= 2p+ 1 (−1)^p sin= 2p et

∀n∈N, sin⁽ⁿ⁾(0) = sinnπ 2

=

( 0 sin= 2p

(−1)^p sin= 2p+ 1 Appliquons la formule de Taylor avec reste int´egral :

∀n∈N, ∀x∈R, cos(x) =

n

X

k=0

cos^(k)(0) k! x^k+

Z x

0

(x−t)ⁿ

n! cos⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt.

(8)

Z x

0

(x−t)ⁿ

n! cos⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt

6 1 n!

Z x

0

(x−t)ⁿdt

6 |x|ⁿ⁺¹ (n+ 1)!. Comme _(n+1)!^|x|ⁿ⁺¹ −−−−−→

n→+∞ 0, il en est de même du reste intégral d’ordren. D’après la proposition 1, on en déduit que exp est développable en série entière en 0 et au voisinage de 0 :

cos(x) =

+∞

X

n=0

cos⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n)!x²ⁿ. Soit x∈R.

(−1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺²

(2n+ 2)! : (−1)ⁿx²ⁿ (2n)!

= x²

(2n+ 1)(2n+ 2) −−−−−→

n→+∞ 0.

D’après la règle de d’Alembert pour les séries à termes réels positifs, on en déduit que P

n>0 (−1)ⁿ

(2n)! x²ⁿ converge absolument pour tout réelx. Le rayon de cette série entière est donc +∞. Par conséquent :

∀x∈R,cos(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n)!x²ⁿ. De mˆeme, on d´emontre que :

∀x∈R,sin(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n+ 1)!x²ⁿ⁺¹. 4.3 Fonction f_α:x7→(1 +x)^α, α∈R

Soit α ∈ R. On consid`ere la fonction fα d´efinie sur ]−1; +∞[ par fα(x) = (1 +x)^α. fα est de classe C^∞ sur ]−1; +∞[ et on a :

∀x∈]−1; +∞[, f_α^′(x) =α(1 +x)^α−1= x

1 +xfα(x).

f_α est donc solution sur ]−1; +∞[ de l’´equation diff´erentielle : (1 +x)y^′−xy = 0.

Supposons qu’il existe une fonctionSdéveloppable en série entière en 0, solution de cette équation différentielle. Il existe alors une série entière P

n>0

a_nxⁿde rayon de convergenceR >0 et un voisinage V de 0 tels que :

∀x∈V∩]−R;R[, S(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ.

Soit a∈R^∗₊ tel que ]−a;a[⊂V∩]−R;R[. S est de classe C^∞ sur ]−a;a[ et on a :

∀a∈]−a;a[, S^′(x) =

+∞

X

n=1

nanxⁿ⁻¹. S étant solution de l’équation différentielle, on a :

∀x∈]−a;a[, (1 +x)S^′(x)−αS(x) = 0.

(9)

(1 +x)S^′(x)−αS(x) = (1 +x)

+∞

P

n=1

na_nxⁿ⁻¹−α

+∞

P

n=0

a_nxⁿ

=

+∞

P

n=1

na_nxⁿ⁻¹+

+∞

P

n=1

na_nxⁿ−α

+∞

P

n=0

a_nxⁿ

=

+∞

P

n=0

(n+ 1)an+1xⁿ+

+∞

P

n=0

na_nxⁿ−α

+∞

P

n=0

a_nxⁿ

=

+∞

P

n=0

((n+ 1)an+1+ (n−α)an)xⁿ S étant solution de l’équation différentielle, on a :

∀x∈]−a;a[,

+∞

X

n=0

((n+ 1)an+1+ (n−α)an)xⁿ= 0

Par unicité du développement en série entière en 0, sachant que S est solution de l’équation diffé- rentielle et qu’on doit avoir S(0) = 1 :

( a₀ = 1

∀n∈N, (n+ 1)a_n+1+ (n−α)a_n= 0 On d´emontre facilement par r´ecurrence que :

∀n∈N^∗, an= α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! .

Soit P

n>0

anxⁿ la série entière où :

a₀ = 1 et pour toutn∈N^∗, a_n= α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! .

an+1

aⁿ

=

α−n n+1

−−−−−→

n→+∞ 1 donc le rayon de convergence de la s´erie P

n>0

a_nxⁿest 1. NotonsSla somme de cette s´erie. On a alors :

∀x∈]−1; 1[, S(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ.

On sait que S est de classe C^∞ sur ]−1; 1[ et on vérifie sans peine queS est solution de l’équation différentielle. Par conséquent,f_αetS sont deux solutions de l’équation différentielle. Cette équation différentielle étant linéaire du premier ordre, l’ensemble des solutions est de la formeKf_α, oùK ∈R. Il existe donc K₀ ∈Rtel que :

∀x∈]−1; 1[, S(x) =K₀fα(x) =K₀(1 +x)^α.

Sachant que S(0) = 1, il en résulte queS =fα sur ]−1; 1[ doncfα est développable en série entière et on a :

∀x∈]−1; 1[, (1 +x)^α= 1 +

+∞

X

n=1

α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! xⁿ.

(10)

4.4 Fonction x7→ln(1 +x)

Soit f la fonction d´efinie sur ]−1; +∞[ par f(x) = ln(1 +x). f est de classe C^∞ sur ]−1; +∞[

et on a :

∀x∈]−1; +∞[, f^′(x) = 1

1 +x = (1 +x)⁻¹. D’après le paragraphe précédent (avec α=−1), on a :

∀x∈]−1; 1[, f^′(x) = 1 +

+∞

X

n=1

(−1)ⁿn!

n! xⁿ=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ. Soit S la fonction d´efinie sur ]−1; 1[ par :

S(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ⁺¹ n+ 1 =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n .

On sait que P

n>0

(−1)ⁿxⁿ et P

n>0

(−1)ⁿxⁿ⁺¹

n+1 ont le même rayon de convergence (voir le chapitre sur les séries entières, notamment le rayon de convergence d’une série entière et de sa série dérivée).S est de classe C^∞ sur ]−1; 1[ et on a :

∀x∈]−1; 1[, S^′(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ⁺¹ n+ 1

!′

=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ=f^′(x)

doncS etf diff`erent d’une constante. Il existe c∈Rtel que :

∀x∈]−1; 1[, S(x) =f(x) +c.

CommeS(0) = 0 et f(0) = 0, il en résulte quec= 0. f est donc développable en série entière en 0 et on a :

∀x∈]−1; 1[, ln(1 +x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n xⁿ. Remarque :Six=−1, P

n>1

(−1)ⁿ⁺¹

n xⁿ=−P

n>1 1

n et la s´erie est divergente. Six= 1, P

n>1

(−1)ⁿ⁺¹ n xⁿ= P

n>1

(−1)ⁿ⁺¹

n xⁿ et la série converge d’après le critère des séries alternées (voir chapitre sur les séries

`

a termes r´eels ou complexes). Donc :

∀x∈]−1; 1], ln(1 +x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n xⁿ. En particulier,

ln(2) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n .

(11)

4.5 Fractions rationnelles

Proposition 7 Toute fraction rationnelle n’admettant pas 0 pour pôle est développable en série entière en 0 et le rayon de convergence du développement en série entière est égal au minimum des modules des pôles complexes.

Preuve - Soit F ∈C(X). On suppose que F n’admet pas 0 pour pôle. En effectuant la décompo- sition deF en éléments simples, on obtient des éléments de la forme _(z−z^λ

0)ⁿ, o`uλ, z₀ ∈Cetn∈N^∗. Pour z∈C v´erifiant|z|<|z0|, on a :

λ

(z−z₀)ⁿ = λ z₀ⁿ

1 z

z0 −1n = λ (−z₀)ⁿ

1− z

z₀ −n

.

Pour |z|<|z₀|, on a

z z0

<1 donc z 7→

1−_z^z

0

−n

est développable en série entière (il en est de même pourz7→ _(z−z^λ

0)ⁿ). Le rayon de convergence du développement en série entière dez7→ _(z−z^λ

0)ⁿ

est|z₀|. Par conséquent,F est développable en série entière en 0 (somme de fonctions développables en séries entière en 0) et le rayon de convergence R du développement vérifie R > ρ, où ρ est le minimum des modules des pôles complexes de F).

Supposons maintenant que R > ρ. Il existe z₀ ∈ C^∗, pˆole de la fraction rationnelle F tel que

|z₀|< R.F est continues surB(0;R) donc en z₀, ce qui est impossible car|F(z)| −−−→

z→z0

+∞. 2

Exemple : Consid´erons la fraction rationnelle suivante : F :z7→ 10z

z³−2z²+z−2.

Pour tout z∈C, on a :z³−2z²+z−2 = (z−2)(z−i)(z+i). On a donc :

∀z∈C− {2, i,−i}, F(z) = 4

z−2 +−2−i

z−i +−2 +i z+i . Pour z∈C tel que|z|<2 :

4

z−2 = 4

−2 1−^z₂ =−2 1−z

2 −1

=−2

+∞

X

n=0

z 2

n

.

|z|<1 :

−2−i

z−i = −2−i

−i(1 +iz) = (1−2i)(1 +iz)⁻¹= (1−2i)

+∞

X

n=0

(−iz)ⁿ.

−2 +i

z+i = −2 +i

i(1−iz) = (1 + 2i)(1−iz)⁻¹= (1 + 2i)

+∞

X

n=0

(iz)ⁿ. Donc pour|z|<1 :

F(z) =

+∞

X

n=0

a_nzⁿ avec a_n=− 1

2ⁿ⁻¹ + (1−2i)(−i)ⁿ+ (1 + 2i)iⁿ. Le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere est 1.