Sorbonne Universit´e Pr´epa agreg 2018-19
TD d’analyse 2 : exercices sur les s´ eries
Exercice 1. Justifier les affirmations suivantes.
(a) La s´erie X
n≥1
(−1)n
n! est absolument convergente donc convergente.
(b) Le reste de cette s´erie v´erifie :∀N ≥1,
∞
X
n=N
(−1)n n!
≤ 1 N!. (c) La s´erieX
n≥1
ln 1 + (−1)n pn(n+ 1)
!
est convergente mais pas absolument conver- gente.
(d) La s´erie X
n≥1
(−1)n
√n+ (−1)n est divergente.
Exercice 2. Soit un r´eelα. Montrer que la famille 1
(i+j)α
i,j≥1
est sommable si et seulement siα >2.
Exercice 3. On consid`ere la suite (un) d´efinie par u0 = 1 et, pour n ∈ N, un+1= sinun.
(a) Montrer que cette suite converge vers 0.
(b) En consid´erant la s´erie de terme g´en´eral uan+1 −uan pour un bon choix du param`etre a, trouver un ´equivalent de la suite (un).
(c) Calculer le second terme dans le d´eveloppement asymptotique de cette suite.
Exercice 4. Pour x >0, on pose f(x) =
+∞
X
n=1
e−nx
√n etg(x) =
+∞
X
n=0
√ne−nx. (a) Montrer que ces s´eries d´efinissent des fonctions continues sur R∗+. (b) D´emontrer l’encadrement
∀x >0,
Z +∞
1
e−ux
√u du≤f(x)≤ Z +∞
0
e−ux
√u du.
(c) En d´eduire un ´equivalent def(x) quandx tend vers 0.
(d) Montrer que la suite
n
X
k=1
√1
k−2√ n
!
n∈N∗
converge.
(e) Soit x > 0. Montrer que la s´erie X
n≥1 n
X
k=1
√1 k
!
e−nx converge. Exprimer sa somme h(x) en fonction de f(x).
(f) Donner un ´equivalent simple deh(x) quandx tend vers 0.
1
2
(g) Montrer queg(x)∼
√π
2x32 lorsquex tend vers 0.
Exercice 5. (Transformation d’Abel)
(a) Soit (an) une suite d´ecroissante de r´eels tendant vers 0. Soit (bn) une suite de complexes telle que la suite
n
X
k=0
bk
!
n∈N
est born´ee. Montrer que la s´erie X
n≥0
anbn est convergente.
(b) Quels sont les nombres complexes ztels que la s´erie X
n≥1
zn
n converge ? (c) Montrer que la s´erie X
n≥1
(cosn)3
n converge.
(d) Soient des nombres complexes an tels que la s´erie X
n≥0
anwn converge pour un certain w ∈C. Montrer que la somme f(z) =
+∞
X
n=0
anzn est bien d´efinie si
|z|<|w|et que f(rw) tend vers
+∞
X
n=0
anwn quand ler´eel r tend vers 1−.
Exercice 6. Soit (un) une suite r´eelle. On d´efinit sa limite sup´erieure par lim sup(un) = inf
n∈N
sup
k≥n
uk. C’est un ´el´ement deR=R∪ {±∞}.
(a) Montrer que lim sup(un) = lim
n→+∞sup
k≥n
uk.
(b) Montrer qu’il existe une sous-suite (uφ(n)) telle que lim sup(un) = lim
n→+∞uφ(n). (c) Montrer que s’il existe une sous-suite (uθ(n)) qui tend vers l∈R, alors on a
l≤lim sup(un).
(d) Montrer que si (an) est une suite r´eelle convergeant versα ∈R, alors lim sup(un+an) = lim sup(un) +α.
(e) On d´efinit de mˆeme la limite inf´erieure lim inf(un) = sup
n∈N
k≥ninf uk. Montrer que (un) tend vers l∈Rsi et seulement si lim sup(un) = lim inf(un) =l.
(f) Montrer que le rayon de convergenceRd’une s´erie enti`ereX
n≥0
anznest donn´e par la formule d’Hadamard : 1
R = lim sup(|an|1n).
