Analyse, séance 2 : exercices
Résolution analytique de problèmes canoniques.
Objectifs
Quelques méthodes analytiques pour résoudre des équations aux dérivées partielles simples dans des domaines simples. Introduction à un phénomène général : la présence de singularités de la solution d’une équation aux dérivées partielles sur le bord du domaine.
FIG. 1 – Singularité dans un coin rentrant : représentation numérique de la norme du gradient.
Question 1
On considère le problème de Laplace, qui équivaut à chercher une fonction harmonique dont les valeurs au bord d’un domaine sont connues.
SoitΩle “camembert” défini en coordonnées polaires par
Ω ={(r, θ)/ r≤1, 0≤θ≤α}
Soit g une fonction continue sur le bord de Ω, quelconque sur le cercle de rayon 1, nulle sur les segmentθ= 0etθ=α.
•On cherche une solution sous la forme d’un développement en série de Fourier enθ u(r, θ) =X
k
ak(r) sinkπθ α
Montrer queak(r)est solution d’une équation différentielle du second ordre 1
r(ra0k)0−k2π2 α2
ak r2 = 0
•Montrer que la fonction
ak(r) =akrkπα
oùakest une constante, est une solution de cette équation nulle en0.
• En utilisant la condition u(1, θ) = g(θ), calculerak en fonction de g et en déduire une expres- sion de la solution du problème de Laplace (nous avons montré en cours l’unicité de la solution si R
Ω k∇uk22dΩest finie).
•On suppose ici queα > π. Montrer la proposition :
Proposition 1 La pointe d’un coin rentrant est un point singulier de la solution générale de l’équa- tion de Laplace, i.e. le gradient de la solution tend vers l’infini en ce point.
•Vérifier que la singularité est maximale et en √1r dans le cas d’un domaine fissuré (α= 2π).
Remarques
−Ce phénomène de singularité à la pointe d’un coin rentrant est une propriété générale des équations aux dérivées partielles : on le retrouve par exemple pour les équations de l’élasticité.
−Ce phénomène est bien connu physique : en électrostatique c’estl’effet de pointe(le champ élec- trique est infini sur un coin rentrant), en résistance des matériaux, ce sont les déformations et les contraintes qui sont infinies, ce qui explique l’apparition des fissures...
−Dans une simulation numérique la présence d’une singularité enlève tout sens à certains calculs ; inutile de chercher la contrainte maximale dans un domaine comportant un coin rentrant : plus l’ap- proximation sera précise, plus la contrainte maximale sera élevée.
−Dans certaines situations ces singularités sont physiquement peu vraisemblables, elles sont un arte- fact mathématique dû à une simplification de la forme du domaine (il y a en réalité un arrondi au lieu d’une pointe) ou du modèle physique (par exemple l’hypothèse de linéarité de la relation contrainte- déformation n’est plus respectée pour les déformations importantes).
Question 2
On considère comme dans la question 1 le problème de Laplace. On suppose queΩest le demi plan défini par
Ω ={(x, y)/ x≥0, −∞ ≤y≤ ∞}
Soit g ∈ L1(R) ∩C(R) une fonction continue et intégrable sur l’axe des ordonnées x = 0. On cherche un fonctionu, harmonique surΩ, nulle à l’infini, égale àgsur l’axe des ordonnées et on fera les hypothèses nécessaires pour préciser cette condition.
la transformée de Fourier deuconsidérée comme une fonction dey(on suppose donc que∀x, u(x, y)∈ L1(R)). Montrer quevest solution de l’équation différentielle
∂2v
∂x2 −z2v= 0 (1)
•En remarquant quev(0, z) =Fy(g(y))(z)montrer que
v(x, z) =Fy(g(y))(z) exp (−|z|x)
•En déduire1l’expression suivante de la solution u(x, y) = 1
π Z +∞
−∞
g(t) x
x2+ (y−t)2 dt= 1 π
Z +∞
−∞
g(y−t) x x2+t2 dt
•On supposeg∈C1(R− {0})et queg0(0+)etg0(0−)existent. Montrer que
∂u
∂x(x, y) == 1 π
Z −∞
−∞
g(t) (y−t)2−x2 (x2+ (y−t)2)2 dt puis en décomposant l’intégrale surR+etR−, montrer que
∂u
∂x(x, y) =−1 π
Z +∞
−∞
g0(t) y−t x2+ (y−t)2 dt et finalement
∂u
∂x(x, y) = 1 π
Z +∞
−∞
−g00(t) lnp
x2+ (y−t)2dt+ 1
π(g0(0−)−g0(0+)) lnp
x2+y2 En déduire la proposition
Proposition 2 Un point du bord oùg0 admet une discontinuité de première espèce est un point sin- gulier de la solution de l’équation de Laplace, i.e. le gradient de la solution tend vers l’infini en ce point avec une vitesse logarithmique.
Question 3
On étudie les vibrations d’une corde tendue dont l’une des extrémités est soumise à une excitation périodique. On suppose que la corde est de longueur 1, que la position initiale est droite et que la vitesse initiale est nulle. On cherche donc une fonctionu(x, t)¯ ∈ C2([0,1]×[0, T]), position de la
1On admettra (cf. analyse 1)) que
Fy(1 π
x
x2+y2)(z) = exp (−|z|x)
corde au point d’abscissexau tempst, solution du problème
∂2u
∂t2 −c2∂2u
∂x2 = 0 u(x,0) =hx
∂u
∂t(x,0) = 0 u(0, t) = 0 u(1, t) =hcosωt
(2)
oùhest une constante positive.
•On pose
˜
u(x, t) =hxcosωt et
u(x, t) = ¯u(x, t)−u(x, t)˜ Montrer queuest solution du problème
∂2u
∂t2 −c2∂2u
∂x2 =f(x, t) u(x,0) = 0
∂u
∂t(x,0) = 0 u(0, t) =u(1, t) = 0
(3)
où nous avons posé
f(x, t) =−hxω2cosωt
•Exprimer la solution de (3) sous la forme d’un développement en série de Fourier par rapport àx, à tfixé
u(x, t) =X
k
ak(t) sinkπx
(L’idée générale est de développer la solution par rapport aux fonctionsfonctions propresdu problème de statique associé au problème de vibration.)
Posons
ck = 2hω2 π
(−1)k k et
ωk=kcπ Montrer2que la fonctionak(t)vérifie l’équation différentielle
a00k+ωk2ak=ckcosωt
2Noter, pourx∈[−1,1], le développement en série de Fourier
2X sinkπx
avec les conditions initiales
ak(0) =a0k(0) = 0
qui est l’équation d’un oscillateur linéaire soumis à une excitation périodique.
•En déduire que, siω6=ωk
ak(t) = ck(cosωt−cosωkt) ωk2−ω2 et, siω=ωk
ak(t) = cktsinωkt 2ωk
•Montrer que, siω6=ωk, les oscillations restent bornées sinon les oscillations “explosent”, la forme de la corde étant asymptotiquement celle de l’harmonique de rangk.
FIG. 2 – Singularité dans un coin rentrant : représentation numérique de la norme du gradient sur un axe passant par la pointe.
