Analyse, séance 5 : exercices corrigés LES FORMULATIONS VARIATIONNELLES

Mathématiques 2 1

Analyse, séance 5 : exercices corrigés LES FORMULATIONS VARIATIONNELLES

Question 1

Cas des charges concentrées

Sous les hypothèses du problème de diffusion vu en cours, on suppose qu’un laser fournit en un point M une quantité de chaleurQ(par unité de temps).

•Montrer que, pour en tenir compte, il faut modifier la formulation faible en ajoutantQ v(M)dans L(v). Noter que l’on ne peut plus choisir dans ce casu ∈ C¹(Ω)caruadmet une singularité loga- rithmique au pointM, on laissera de côté cette difficulté théorique.

Corr.:

On considère une densité de chaleurqqui tend vers un flux ponctuel concentréQplacé enM quand →0et on fait un passage à la limite dans la formulation variationnelle. À cette densité est associée dans la forme linéaireL(v)le terme

L(v) = Z

Ω

qv dΩ

SoitBle disque de rayoncentré enM, dont la surface estS =π². Choisissons q(x) = Q

S si x∈B, q(x) = 0sinon Il vient

L(v) = Q S

Z

B

v dΩ et donc

L0(v) = lim

→0 L(v) =Qv(M)

•Quelle modification très simple faut il effectuer sur les équations si le pointM est un nœudi? Corr.:

La contribution deL₀(v)au second membre est un vecteurQ⁰dont les composantes sont Q⁰_j =L0(wj) =Qwj(M)

SiM est un nœudi, la seule composante non nulle deQ⁰est la composanteiqui vautQ, il faut donc ajouterQau second membre de l’équationi.

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Mathématiques 2 2

Question 2

Prise en compte des discontinuités des coefficients ...

•Montrer que la formulation faible ne change pas à ceci près que la constantekprend les valeursk₁ etk2 surΩ1etΩ2. Grace à la formulation faible la condition surγest devenue implicite.

Corr.

Pour simplifier l’écriture on supposera queΩ₂est une inclusion dansΩ₁qui ne touche pas le bord de Ω.

La première question est standard ; pour la réciproque : on part de Z

Ω1

k1∇u∇v dΩ + Z

Ω2

k2∇u∇v dΩ = Z

Ω

q v dΩ (1)

En utilisant sur chacun des domainesΩ₁etΩ₂ la formule de Stokes il vient, en tenant compte de ce que~nest le vecteur dirigé vers l’extérieur deΩ₁mais vers l’intérieur deΩ₂,

− Z

Ω1

k₁∆u v dΩ + Z

∂Ω1

k₁∂u

∂nv ds− Z

Ω2

k₂∆u v dΩ− Z

∂Ω2

k₂∂u

∂nvds= Z

Ω

q v dΩ (2) et donc en décomposant les bords











∀v∈V₀ − Z

Ω

k_i∆u v dΩ + Z

Γ0

k₁∂u

∂n v ds+ Z

Γ1

k₁∂u

∂nv ds+ Z

Γ2

k₁∂u

∂nv ds+

Z

γ

k₁∂u

∂n v ds− Z

∂Ω2

k₂∂u

∂n vds= Z

Ω

q v dΩ

(3)

et en tenant compte de ce quev∈V₀











∀v∈V₀ − Z

Ω

k_i∆u v dΩ + Z

Γ2

k₁∂u

∂n v ds+

Z

γ

k₁∂u−

∂n v ds− Z

∂Ω2

k₂∂u₊

∂n vds= Z

Ω

q v dΩ

(4)

On procède ensuite en deux étapes :

1) On choisitv∈C₀¹(Ωi), i.e. nulle sur tout le bord deΩi, il vient

∀v∈C₀¹(Ω_i) − Z

Ωi

k_i∆u v dΩ = Z

Ωi

q v dΩ (5)

et donc

∀v∈C₀¹(Ωi) Z

Ωi

(−k_i∆u−q)v dΩ = 0 (6) d’où on déduit, comme cela a été vu en cours

−k_i∆u=q (7)

ECP 2006-2007 Analyse

Mathématiques 2 3

On considère à nouveau des fonctions généralesv∈V0, mais on tient compte de (7), il vient











∀v∈V0

Z

Γ2

k1

∂u

∂n v ds+

Z

γ

k1

∂u−

∂n v ds− Z

∂Ω2

k2

∂u₊

∂n vds= 0

(8)

On considère alors l’espaceV1des fonctions nulles surΓ2, mais non nulles surγ, il vient

∀v∈V₁ R

γ(k₁^∂u_∂n⁻ −k₂^∂u_∂n⁺)v ds= 0 (9) et donc

k1

∂u−

∂n −k2

∂u₊

∂n = 0

Puis, on considère l’espaceV₂des fonctions nulles surγ, mais non nulles surΓ₂, il vient

∀v∈V₂ R

Γ2 k₁^∂u_∂n v ds= 0 (10)

et donc

k1

∂u

∂n = 0

•Quelles adaptations faut-il faire au programme de calcul ? Corr.:

Presque rien : il faudra juste tenir compte des valeurs variables de la constante de diffusion dans le calcul de la matrice de raideur élémentaire. Pour cela on ajoute à la description des éléments un code pour définir le sous-domaine auquel l’élément appartient.

Question 3 ...

•En déduire une majoration de l’erreur : ...

Corr.:

Voir le polycopié p. 178.

Question 4

Formulations variationnelles de problèmes non linéaires

•Montrer que la solution de : ....

Corr.:

La non linéarité ne change rien à l’affaire, on peut reprendre la démonstration vue en cours pour le problème de diffusion.

On noteF(v)une primitive def(v). On pose : J(v) = 1

2a(v, v) + Z

Ω

F(v)dΩ− L(v) (11)

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Mathématiques 2 4

•Montrer que sif(v)est strictement croissante la fonctionJ(v)est une fonction strictement convexe (i.e.J(u+λv)est une fonction strictement convexe deλ∈R).

Corr.:

Ce résultat a déjà été vu en cours d’optimisation (séance 2), redonnons l’argument principal : la fonc- tion d’une variable réelleF(y)est convexe car sa dérivée est croissante ; la fonction d’une variable h(λ) =J(u+λv)est une fonction deλqui est strictement convexe car elle est somme d’un trinôme du second degréa(v, v)λ²+ (a(u, v)−L(v))λ+Cte, qui est une fonction strictement convexe, et de la fonctionλ→R

ΩF(u+λv)dΩqui est somme de fonctions convexes, donc qui est convexe.

•Montrer qu’une fonctionu∈V est solution de la formulation faible si et seulement siDJ(u) = 0, i.e. si et seulementuvérifie :

∀v∈V₀, DJ(u).v= d

dλJ(u+λv)|_λ=0= 0 et queuest alors le minimum deJ(v).

Corr.:

Le calcul de la différentielle est standard (voir la séance 2 d’optimisation) et nous avons vu en opti- misation que pour une fonction convexe un point où la différentielle est nulle est un minimum.

•Montrer que ce résultat peut être utilisé pour la définition d’une approximation et conduit à la réso- lution d’un système d’équations non linéaires équivalent à un problème d’optimisation.

On définit un sous-espace d’approximationV_h ⊂ V₀ par des fonctions continues affines par mor- ceaux sur un maillage deΩen triangles. On définit une solution approchéeu_h∈V_hcomme solution du problème d’optimisation

u_h ∈ V_h (12)

∀v∈Vh J(uh)≤ J(v) (13) C’est un problème de minimisation d’une fonction convexe, coercive, sur un espace de dimension finie. Nous avons vu en optimisation que ce problème avait une solution et une seule. Pour effectuer les calculs on introduit la base usuellew_i, i= 1, . . . , net la décompositionu_h =P

iu_jw_jdans cette base et on définit la fonctionI(U)denvariablesU= (u₁, . . . , u_n)définie par

I(U) =J(X

i

ujwj)

La différentielle de cette fonction est connue et calculable DI(U).V=a(X

j

u_jw_j, v) + Z

Ω

f(X

j

u_jw_j)v dΩ

où nous avons posév=P

iv_jw_j. Nous avons vu dans le cours d’Optimisation que le minimum peut être calculé par des algorithmes d’optimisation très efficaces (gradient conjugué ou quasi-Newton).

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