LES FORMULATIONS VARIATIONNELLES

Analyse, s´eance 4 : exercices corrig´es

LES FORMULATIONS VARIATIONNELLES

Question 1

• D´efinir une formulation variationnelle et un principe du minimum pour le probl`eme ellip- tique suivant :











−d²u

dx² +u = q(x) sur [0,1]

u(0) = u(1)

du

dx(0) = du dx(1)

(1)

On multiplie par v l’´equation diff´erentielle et on int`egre

∀v∈C¹([0,1]) Z 1

0

−d²u

dx²v+uv dx= Z 1

0

qv dx

On int`egre par parties le premier terme

∀v ∈C¹([0,1]) Z 1

0

du dx

dv

dx+uv dx+ [u⁰v]¹₀ = Z 1

0

qv dx

On poseV ={v∈C¹([0,1])/ v(0) =v(1)}. Pour u, v∈V le crochet est nul, on a donc

∀v∈C¹([0,1]) Z 1

0

du dx

dv

dx+uv dx= Z 1

0

qv dx Puis comme d’habitude...

½ u∈V

∀v∈V, a(u, v) =L(v) (2)

avec

a(u, v) = Z 1

0

du dx

dv

dx+uv dx qui est une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive surV et

L(v) = Z 1

0

qv dx qui est une forme lin´eaire sur V .

Noter que l’on n’a pas impos´e la condition u⁰(0) =u⁰(1), celle-ci est devenu implicite.

Pourtant (2) est bien ´equivalent `a (1). Montrons le en d´emontrant la r´eciproque : Soit u solution de (2), apr`es int´egration par parties, il vient

∀v∈V Z 1

0

(−d²u

dx² +u−q)v dx+ [u⁰v]¹0 = 0 Choisissons d’abordv / v(0) =v(1) = 0 , il vient

∀v∈C₀¹([0,1]) Z 1

0

(−d²u

dx² +u−q)v dx= 0

d’o`u l’on d´eduit que u v´erifie l’´equation diff´erentielle. On a donc, en prenant `a nouveau v quelconque

∀v ∈V Z 1

0

[u⁰v]¹₀= 0 C’est `a dire, puisque v(1) =v(0)

∀v∈V Z 1

0

(u⁰(1)−u⁰(0))v(0) = 0 D’o`u u⁰(1) =u⁰(0).

• D´efinir une solution approch´ee ....

Comme d’habitude avec l’espace Vh des fonctions v∈C([0,1]), affines par morceaux sur un d´ecoupage de pash sur [0,1], v´erifiant v(0) =v(1).

½ u_h ∈V_h

∀v∈V, a(uh, v) =L(v) (3)

• D´ecrire les fonctions de base et calculer compl`etement la matrice de raideur du syst`eme obtenu (on calculera les int´egrales de fonctions du second degr´e par la formule de Simpson).

Comparer avec les ´equations obtenues par diff´erences finies.

Il y a N fonctions de base : pour 1 ≤i≤N −1 , la fonction wi est la fonction “triangle”, nulle sur [0,(i−1)h] et [(i+ 1)h,1] et ´egale `a 1 en ih, et il faut ajouter une fonction w<sub>N</sub>, nulle sur [h,1−h], ´egale `a 1 en 0 et1.

Kest la somme des matricesK⁰ etK¹ telle que K⁰_i,i = 2

h, K⁰_i,j =−1

h si|i−j|= 1 oun−1, K⁰_i,j = 0 sinon K⁰_i,i= 4h

6 , K⁰_i,j = h

6 si|i−j|= 1 oun−1, K⁰_i,j = 0 sinon

On notera la pr´esence d’´el´ements non nuls dans le “coin” sup´erieur droit et le “coin” inf´erieur gauche.

Ce qui conduit `a une ´equation courante

−ui−1−2ui+ui+1

h +hui−1+ 4ui+ui+1

6 =hqi−1+ 6qi+qi+1

6

Apr`es division par h on reconnait une approximation aux diff´erences finies, dans laquelle la valeur deu est calcul´ee par une moyenne sur trois points.

•Pourquoi ce probl`eme est-il ´equivalent `a la recherche d’une solution p´eriodique de l’´equation diff´erentielle (ce qui sugg`ere une mani`ere plus naturelle de construire les formulations) ? Si u(0) = u(1) et u⁰(0) =u⁰(1) on a aussi u⁰⁰(0) = u⁰⁰(1) et la fonction u se prolonge donc par translation en une fonction p´eriodique C² v´erifiant l’´equation diff´erentielle. Pour ap- procher cet espace, il est naturel de consid´erer des fonctions continues, p´eriodiques, affines par morceaux. En restreignant ces fonctions `a l’intervalle [0,1] on retrouve l’espaceV_h pr´ec´edent.

Question 2

Cas des charges concentr´ees

Sous les hypoth`eses du probl`eme de diffusion vu en cours, on suppose qu’un laser fournit en un pointM une quantit´e de chaleurQ (par unit´e de temps).

• Montrer que, pour en tenir compte, il faut modifier la formulation faible en ajoutant Q v(M) dans L(v). Noter que l’on ne peut plus choisir dans ce cas u∈ C¹(Ω) car u admet une singularit´e logarithmique au pointM, on laissera de cˆot´e cette difficult´e th´eorique.

On consid´ere une densit´e de chaleurq² qui tend vers un flux ponctuel concentr´eQplac´e en M quand ²→ 0 et on fait un passage `a la limite dans la formulation variationnelle. `A cette densit´e est associ´ee dans la forme lin´eaireL(v) le terme

L²(v) = Z

Ω

q²v dΩ

Soit B² le disque de rayon ²centr´e enM, dont la surface est S²=π²². Choisissons q_²(x) = Q

S²

si x∈B_², q_²(x) = 0 sinon Il vient

L²(v) = Q S_²

Z

B²

v dΩ et donc

L0(v) = lim

²→0 L_²(v) =Qv(M)

•Quelle modification tr`es simple faut il effectuer sur les ´equations si le pointM est un noeud i?

La contribution de L0(v) au second membre est un vecteurQ⁰ dont les composantes sont Q⁰_j =L0(w_j) =Qw_j(M)

SiM est un noeudi, la seule composante non nulle deQ⁰ est la composanteiqui vautQ, il faut donc ajouter Qau second membre de l’´equation i.

Remarquer que l’on obtient ainsi une interpr´etation du second membre des ´equations pour une densit´e r´epartieq(x) : le second membre est identique `a celui que l’on obtient en concentrant

la densit´e q(x) aux noeuds du maillage, la concentration pour un noeud ´etant donn´ee par l’int´egrale

Q_i= Z

Ω

q(x)w_idΩ

En exploitant cette id´ee on peut interpr´eter intuitivement les ´equations, voir le polycopi´e p.

77.

Question 3

Supposons que l’espace d’approximation V_h v´erifie la propri´et´e de consistancesuivante :

∃Π_hu∈V_h p

a(u−Π_hu, u−Π_hu)≤C(h)

qui signifie que l’on peut approcher `a h pr`es (au sens d’une norme hilbertienne) la solution exacte et r´eguli`ere u par une fonction de l’espace V_h, ce qui implique pour les normes que nous avons consid´er´ees une approximation de la fonction et de sa d´eriv´ee.

• En d´eduire une majoration de l’erreur : ...

Voir le polycopi´e p. 183.

Question 4

Formulations variationnelles de probl`emes non lin´eaires

•Montrer que la solution de : ....

La non lin´earit´e ne change rien `a l’affaire, on peut reprendre la d´emonstration vue en cours pour le probl`eme de diffusion.

On note F(v) une primitive de f(v). On pose : J(v) = 1

2a(v, v) + Z

Ω

F(v)dΩ− L(v) (4)

•Montrer que sif(v) est strictement croissante la fonctionJ(v) est une fonction strictement convexe (i.e. J(u+λv) est une fonction strictement convexe de λ∈R).

Ce r´esultat a d´ej`a ´et´e vu en cours d’optimisation (s´eance 2), redonnons l’argument principal : la fonction d’une variable r´eelle F(y) est convexe car sa d´eriv´ee est croissante ; la fonction d’une variableh(λ) =J(u+λv) est une fonction deλqui est strictement convexe car elle est somme d’un trinˆome du second degr´ea(v, v)λ²+ (a(u, v)−L(v))λ+Cte, qui est une fonction strictement convexe, et de la fonction λ → R

ΩF(u+λv)dΩ qui est somme de fonctions convexes, donc qui est convexe.

• Montrer qu’une fonction u ∈ V est solution de la formulation faible si et seulement si DJ(u) = 0, i.e. si et seulement u v´erifie :

∀v∈V0, DJ(u).v= d

dλJ(u+λv)|_λ=0= 0

et que uest alors le minimum de J(v).

Le calcul de la diff´erentielle est standard (voir la s´eance 2 d’optimisation) et nous avons vu en optimisation que pour une fonction convexe un point o`u la diff´erentielle est nulle est un minimum.

•Montrer que ce r´esultat peut ˆetre utilis´e pour la d´efinition d’une approximation et conduit `a la r´esolution d’un syst`eme d’´equations non lin´eaires ´equivalent `a un probl`eme d’optimisation.

On d´efinit un sous-espace d’approximation Vh ⊂ V0 par des fonctions continues affines par morceaux sur un maillage de Ω en triangles. On d´efinit une solution approch´ee u_h ∈ V_h comme solution du probl`eme d’optimisation

u_h ∈ V_h (5)

∀v∈V_h J(u_h)≤ J(v) (6) C’est un probl`eme de minimisation d’une fonction convexe, coercive, sur un espace de dimen- sion finie. Nous avons vu en optimisation que ce probl`eme avait une solution et une seule.

Pour effectuer les calculs on introduit la base usuelle wi, i = 1, . . . , n et la d´ecomposition uh =P

iujwj dans cette base et on d´efinit la fonction I(U) denvariables U= (u1, . . . , un) d´efinie par

I(U) =J(X

i

ujwj) La diff´erentielle de cette fonction est connue et calculable

DI(U).V=a(X

j

ujwj, v) + Z

Ω

f(X

j

ujwj)v dΩ o`u nous avons pos´ev=P

ivjwj. Nous avons vu dans le cours d’Optimisation que le minimum peut ˆetre calcul´e par des algorithmes d’optimisation tr`es efficaces (gradient conjugu´e ou quasi- Newton).

S.L

CENTRALE