Optimisation discrète, séance 5 : exercices THÉORIE de la COMPLEXITÉ

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Graphes et Optimisation discrète 1

Optimisation discrète, séance 5 : exercices THÉORIE de la COMPLEXITÉ

OO OO OO OO

OO

OO OO OO

OO OO

OO

P

P₁₁ neg P₁₁ PP₅₅ neg P₅₅

L L₁₁¹¹

L

L₂₂¹¹ LL₂₂²²

L

L₃₃¹¹ LL₁₁²² LL₃₃²² O O

L L₂₂³³

L L₃₃³³ L

L₁₁³³

FIG. 1 – Graphe associé à un problème 3-SATsym

Question 1

On note k-COL le problème consistant à déterminer si les noeuds d’un graphe(G, A) peuvent être coloriés aveckcouleurs sans que deux noeuds adjacents aient la même couleur (rappel : on dit que l’indice chromatique estk).

•Comment peut-on représenter un graphe ànnoeuds ? Quelle est la taille des données dans ce codage.

•Montrer que le problème dukcoloriage d’un graphe (en abbréviation k-COL) est un problème NP.

•Montrer directement, sans faire appel au théorème de Cook, que le problème k-COL est polynô- mialement représentable dans SAT, i.e. étant donné un graphe(G, A)on peut définir un ensemble de variables propositionnelles et un ensemble de clauses composées de ces variables tels que(G, A)est kcoloriable si et seulement si les clauses sont satisfiables (et avec un codage des clauses ne prenant pas beaucoup plus de mémoires que celui du graphe).

Question 2

Complexité de p-SAT

Soit un ensemble denclauses àpéléments pris dans un ensemble demvariables propositionnelles P_j

L¹_i ∨L²_i ∨...∨L^p_i, i= 1, ..., n

ECP 2005-2006 Mathématiques 2

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où L^k_i = Pj ou L^k_i = ¬P_j . On note p-SAT le problème consistant à décider si ces clauses sont satisfiables ou non, i.e. si il existe un ensemble de valeurs de véritéP_j = V raiouP_j =F auxqui rende toutes les clauses vraies.

•Comment peut-on représenter les données de ce problème ? Quelle est la taille des données dans ce codage.

Nous allons montrer que le problème 2-SAT a un algorithme de décision polynômial. On construit un algorithme qui modifie à chaque étape la listeEdes clauses à satisfaire. SoitE1 l’ensembleEoù on a remplacé les clausesP ∨P parP et dont on a retiré les clauses de la formeP ∨ ¬P, qui sont toujours vraies.

Pourj=1,m

SiPj et¬P_j sont toutes deux dans la listeEj, l’ensemble des clauses ne peut être satisfait.

Sinon

Sij=ml’ensembleEest satisfiable.

Sij < majouter à la listeEj les clausesL_k∨L_lchaque fois que

les clausesP_j∨L_k, k > jet¬P_j ∨L_l, l > jsont dans la liste¹. Retirer deE_j les clauses de la formeP_k∨ ¬P_ket les clauses en double.

Remplacer les clauses de la formeP ∨P parP. On obtient ainsi l’ensemble de clausesE˜j.

E_j+1est le sous ensemble des clauses deE˜_j qui n’utilisent que les variablesP_k, k > j Fin

•Démonter que cet algorithme fonctionne correctement et qu’il est polynômial vis à vis de la longueur des données.

•Montrer qu’une clause quelconque L¹∨L² ∨...∨L^p, est satisfiable si et seulement si lesp−3 clauses à 3 éléments

L¹∨L²∨Q₃

¬Q₃∨L³∨Q₄

¬Q₄∨L⁴∨Q₅ ...

¬Q^p−1∨L^p−1∨L^p

le sont.

En déduire que p-SAT est polynômialement équivalent à 3-SAT et que donc 3-SAT est NP-Complet.

Rappel

Soit un ensemble denclauses à 3 éléments. On note 3-SATsym le problème consistant à décider la propriétéΠ: il existe un ensemble de valeurs de véritéP_j =V rai ouP_j = F auxtelles que dans toutes les clauses il y ait (au moins) un élément vrai et (au moins) un élément faux.

Nous avons vu en cours que 3-SAT est polynômialement équivalent à 3-SATsym et donc Théorème 1 3-SATsym est NP-Complet.

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Question 3

Complexité du coloriage d’un graphe

•Décrire un algorithme polynômial pour 2-COL.

Soit un ensemble denclauses à3éléments pris dans un ensemble demvariables propositionnelles Pj. On associe un graphe (1) à ce problème de la manière suivante (les noeuds portent le même nom que les objets qu’ils représentent) :

− On définit un noeud pour chaque variableP_i et¬P_iet une arête entre les deux.

− On ajoute un noeudOrelié à chacun des noeudsPiet¬P_i.

− On définit trois noeudsL^k_i, k= 1,2,3pour chaque clauseL¹_i ∨L²_i ∨L³_i et trois arêtes entre eux.

− On relie par une arêteL^k_i à¬P_j (resp. P_j) siL^k_i estP_j (resp.¬P_j).

On “colorie” ce graphe avec les “couleurs” bleu, rouge, vert qui correspondront (mais pas nécessai- rement dans cet ordre) à : vrai, faux, indifférent.

•Montrer à l’aide de cette représentation que 3-SATsym est polynômialement équivalent à 3-COL.

En déduire que 3-COL (ainsi que k-COL) est NP-complet.