Une vision trivaluée pour les problèmes SAT et MAX-SAT

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Submitted on 24 May 2005

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Une vision trivaluée pour les problèmes SAT et MAX-SAT

Frédéric Lardeux, Frédéric Saubion, Jin-Kao Hao

To cite this version:

Frédéric Lardeux, Frédéric Saubion, Jin-Kao Hao. Une vision trivaluée pour les problèmes SAT et MAX-SAT. Premières Journées Francophones de Programmation par Contraintes, CRIL - CNRS FRE 2499, Jun 2005, Lens, pp.297-304. �inria-00000044�

Une vision trivaluée pour les problèmes SAT et

MAX-SAT

Frédéri Lardeux Frédéri Saubion Jin-Kao Hao

LERIA, Université d'Angers,

2 Bd Lavoisier,

49045 Angers Cedex 01

{lardeux,saubion,hao}info.u niv- ange rs.f r

Résumé

Danset artilenous proposons un nouveauadre

derésolutionpourlesproblèmesSATetMAX-SAT.Ce

adreintroduitlatroisièmevaleur devéritéindétermi-

né danslebutd'améliorer l'eaitéde larésolution.

Nousavonsadaptél'algorithmedereherheTabouainsi

queWalksatave enouveauadrede résolution.Des

résultatsprometteursontétéobtenusetmontrentl'in-

térêt denotreapprohe.

Abstrat

Theaimofthispaperistoproposeanewresolution

frameworkfortheSAT andMAX-SATproblems whih

introduesathirdtruthvalueundenedinordertoim-

provetheresolutioneieny.Usingthisframework,we

have adapted the lassi algorithms Tabu Searh and

Walksat.Promising results are obtainedand show the

interestofourapproah.

1 Introdution

Le problème de satisabilité (SAT) [5℄ onsiste à

trouveruneaetationsatisfaisantuneexpressionBoo-

léenne.UneinstanedeeproblèmeSATestdondé-

nie par un ensemble de variables Booléennes X =

fx

1

;:::;x

n

g et une formule Booléenne :IB n

! IB.

Cette formule est supposée être en forme normale

onjontive(CNF)(i.e.,uneonjontiondelausesoù

une lause est une disjontion de littéraux 1

).La for-

muleestditesatisables'ilexisteuneaetation(i.e.,

une fontionA:X !IB n

)satisfaisantet nonsatis-

able dans le as ontraire. L'espae de reherhe S

orrespondàl'ensembledetouteslesaetationspos-

sibles.estévidemmentsatisfaitesitoutesseslauses

sontsatisfaites.Danseontexte,leproblèmedelasa-

tisabilitémaximale(MAX-SAT)orrespondàlami-

nimisationdunombredelausesfausses.

Deux lasses de méthodes sont utilisées pour ré-

soudrelesproblèmesSATetMAX-SAT:lesméthodes

exatesetlesméthodesapprohées.

Lesméthodesexatessontapablesdetrouvertoutes

lessolutionspouruneinstanedonnéeou,s'iln'yena

pas,deprouversanonsatisabilité.Cesméthodessont

généralementbaséessur laproédure Davis-Putnam-

Logemann-Loveland[3℄quiexploreunarbrebinairede

reherheen onstruisantinrémentalementles ae-

tations. Elles fournissent de très bons résultats mais

nesontpasappropriéespourleproblèmeMAX-SAT.

D'autres méthodes exates, généralement basées sur

unalgorithmedeBranhandBound(B&B)[2,1,18℄,

ont été développées pour travailler sur le problème

MAX-SAT mais leurs performanes sont souvent li-

mitéespourlesinstanesdegrandes tailles.

Les méthodes approhées sont prinipalement ba-

sées sur la reherhe loale et les algorithmes évo-

lutionnaires. Dans e papier, nous nous intéressons

pluspartiulièrementauxalgorithmesdereherhelo-

alequiontétélargementétudiésparlaommunauté

SAT [15, 14, 17, 10, 8℄. L'exploration de l'espae de

reherhe est réalisée par des mouvements suessifs

d'unélémentàunautregrâeàdesheuristiquesspé-

iques. Le but est de minimiser, sur l'espae de re-

herhe,unefontionretournantlenombredelauses

fausses.Cesalgorithmessontdonnaturellementonçus

pourle problème MAX-SAT et permettent de mani-

pulerdesinstanesdegrandetaille.

l'espae de reherhe quand ela est néessaire (i.e.,

intensierlareherhe)etd'explorerdemanièreplus

largel'espae de reherhe en sedéplaçant entre dif-

férentssous-espaesprometteurs(i.e.,diversierlare-

herhe).Cesaspetssontontrlésgrâeàdespara-

mètresquiassurentunbonompromisentreintensi-

ation et diversiation. Atuellement, es deux no-

tions ne sont pas si lairement dénies. Par onsé-

quent,leréglagedeesparamètresresteundespoints

ruiauxpourlebonomportementdetelsalgorithmes.

Nouspouvonsremarquer quelesméthodes exates

et approhéesn'utilisent pas la même représentation

pourleurespaedereherhe.Leurshybridations[11,

9,12,7,13℄nesontpasévidentespuisquelesméthodes

exates travaillent ave des aetations partielles in-

rémentalement omplétées par un proessus de ré-

solutionalorsque lesméthodes approhéesexplorent

l'ensembledetouteslesaetationspossibles.Uneaf-

fetationpartielleest uneaetationoùdesvariables

ne sont pas enore valuées et peut don être onsi-

dérées omme un ensemble d'aetations omplètes.

D'unpointdevuereherheloale,l'utilisationdees

aetationspartielles peutmeneràdenouveauxpro-

essus dediversiation et d'intensiation. En eet,

ladiversiationde lareherhepeutêtrefaite ense

déplaçantversun plusgrandensemble d'aetations

omplètes,'estàdireenrendantnon dénieuneva-

riabledéjàvaluéealorsquel'instaniationdevariables

nonvaluéesd'uneaetationpartiellepeutêtreonsi-

déréeommeunemanièredesereentrersurunplus

petit espaedereherhe.

L'objetifdeetartileestdedénirunmodèleuni-

forme pour es deux types d'aetations dans lebut

dedénirpréisémentetd'étudierlesméanismesfon-

damentauxde lareherhe loalepour lesproblèmes

SAT et MAX-SAT. Ce adre de travail nous permet

de proposer un nouveau shéma de reherhe loale

quifournitunontrleuniformedelareherheetqui

peutêtreintégrédansdesalgorithmesbien onnusde

reherheloale:lareherheTabouetWalksat.

2 Un Cadre de Résolution Trivalué

Nousproposonsunnouveauadrederésolutionpour

les problèmes SAT et MAX-SAT qui introduit une

troisièmevaleurdevéritéindéterminédanslebutd'amé-

liorerl'eaitédelarésolution.Enutilisanteadre

detravail,lesméthodesdereherheloaleserontéten-

dues an de prendre en ompte les aetations par-

tielles et, en onséquene, plusieurs notions et règles

Dans le ontexte lassique de SAT et MAX-SAT,

l'espaedereherheS estl'ensembledetouteslesaf-

fetationsomplètes.Lafontionobjetiveàmaximi-

serorrespondaunombredelausessatisfaitesdonné

parlafontioneval_standard:

eval_standard: S ! IN

A 7! jfjsat(A;)^2gj

où sat(A;) signie que lalause est satisfaite par

l'aetation A 2 S et jEj est la ardinalité de l'en-

sembleE.

Les mouvementssont lairement les ipspossibles

desvaleursd'uneaetationdonnée.Leipd'uneva-

riable i dans une aetation A est le hangementde

sa valeur de vérité (V (vrai) à F (faux) ou F à V).

Le meilleur ipest séletionné grâe àlafontionde

hoixhoix_standardquiretournelavariabledontle

ipfournit lameilleureamélioration(i.e.,maximise le

nombredelausesfaussesquideviennentvraiesaprès

leipmoinslenombredelausesvraiesquideviennent

fausses).

UnalgorithmedereherheloalenaïfpourSATet

MAX-SATonsiste àséletionnerle meilleur mouve-

ment àhaquepas (en utilisanthoix_standard). Il

s'arrêtesoitquandunesolutionesttrouvéesoitquand

unnombremaximumdepasdereherheest atteint.

Ensuite, il retourne la meilleure aetation trouvée

(parrapportàeval_standard).Desheuristiquesspé-

iques de ontrle peuvent être ajoutées pour amé-

liorer l'eaité de lareherhe telles que la marhe

aléatoireoùd'autresstratégiesdediversiation[14℄.

2.2 Introdutionde laValeur indéterminé

Notrebut iiest defournirunadredetravailuni-

forme pour représenter les aetations partielles et

omplètes.Conernantlesaetationsomplètes,ave

les valeurs lassiques vrai et faux, les règles d'in-

terprétation logique sont bien onnues mais, ave les

aetationpartielles, des variablesnon valuées appa-

raissent.Nousavonsdondéidéd'introduireunetroi-

sièmevaleurdevéritépourlesreprésenter.

Nous ajoutons lavaleurI(indéterminé) et onsidé-

rons l'ensemble des valeurs de vérité T = fI;V;Fg

dansnotreadre3-valué.Cettenouvellevaleurinduit

quelqueshangementsdanslesrèglesd'interprétation

de la logique standard. Tout d'abord, la négationde

haquevaleurde vérité doitêtre redénie: :V = F,

:F =V et :I =I. Ensuite,deux approhespeuvent

être utilisées pour dénir les autres règles: une ap-

proheoptimisteet uneapprohepessimiste.

L'approhe optimiste est la plus ommunément

Une lause est onsidérée indéterminée si auun

deseslittérauxn'estvraietaumoinsl'und'entre

eux est indéterminé. Cette approhe orrespond

auxrèglesdesimpliation suivantes:

V _I !V

F_I !I

I_I !I

L'approhealternativequenousproposonsiiest

une approhe pessimiste qui se fonde sur le fait

qu'une lause est onsidérée omme fausse dès

qu'elle possède unlittéralfaux et auun devrai.

Une lause est indéterminée si tousses littéraux

sontindéterminés.Cetteapproheorrespondaux

règlessuivantes:

V _I !V

F_I !F

I_I !I

Dans e adre, les aetationspartielles n'existent

plus. Nous ne travaillons maintenant qu'ave des af-

fetations trivaluées. Les variablesn'ayantpasdeva-

leurdevéritédanslalogique lassiqueàdeuxvaleurs

prennentlavaleurindéterminé.

Maintenant que le adre de travail est lairement

déni, nous pouvons étudier le omportement préis

desalgorithmesdereherheloaledanseadreave

trois valeursdevérité.

2.3 Transitionsde Reherhe Loale

Nous dénissons un ordre partiel A sur l'ensemble

T tel que I A V et I A F. Dans e ontexte, pour

un problèmedonné ave n variables,notre espae de

reherhe sera l'ensemble T n

. La relation d'ordre A

peutêtrenaturellementétendueàT n

:(x

1

;;x

n )A

(y

1

;;y

n

)sietseulementsi9i;x

i Ay

i

etj;y

j Ax

j .

Nous onsidérons l'ordre partiel (T n

;A) ave le plus

grand élément > = (I;;I). Cette struture peut

maintenantêtreutilisée pour dérirede manièrepré-

ise leomportementdesalgorithmesdereherhelo-

ale. Nous onsidérons un mouvement basi de re-

herhe loale 2

omme une transition A ! A 0

où

A;A 0

2 T n

. Puisque nous ne onsidérons ii que le

voisinagelassique,nousimposons quelestransitions

(x

1

;;x

n ) ! (y

1

;;y

n

) satisfassent9i;x

i 6=y

i et

8j 6= i;x

j

= y

j

. Ce voisinage orrespond àune dis-

tanedeHammingégaleà1entredeuxvoisins,equi

orrespondàlafontionflip.

2.Ave troisvaleurs devérité, leonept deipn'est plus

valide.Nouspréféronsutiliserleoneptdemouvement,pasde

struture desaetations.Leadre 3-valuénousper-

metdemanipuleràlafoislesaetationspartielleset

les aetations omplètes. Comme nous l'avons déjà

mentionné,lesaetationspartiellespeuventêtrevues

ommeune représentationd'un ensemblede pluspe-

tites aetations (parrapport à A).Par onséquent,

la diversiation onsiste à onsidérer des ensembles

plus grands d'éléments de l'espae de reherhe tan-

dis que l'intensiation se reentre sur moins d'élé-

ments.Latransition orrespondàuneexplorationde

niveau quand le nombre de variables indéterminées

reste le même. En matière de ip, une transition de

diversiation rend indéterminée une variable vraie

oufausseetunetransitiond'intensiationrendvraie

oufausseunevariableindéterminée.L'explorationde

niveau orrespond au ip d'une variable vraie (resp.

fausse)àfausse(resp.vraie).

-Diversiation:A!A 0

aveA 0

AA

-Intensiation:A!A 0

aveAAA 0

-Explorationde niveau:A!A 0

aveA6AA 0

et

A 0

6AA

D'un autre oté, nous devons prendre en ompte

l'évaluationdesaetations.L'introdutiondelatroi-

sièmevaleurdevériténousimposederedénirlesfon-

tionseval_standardethoix_standarddelasetion

2.1 puisque le nombre de lauses indéterminées doit

êtreprisenompte.Lanouvellefontiond'évaluation

eval retourne le nombre de lauses vraies mais aussi

lenombredelausesindéterminées.Danseontexte,

une aetation est meilleure qu'une autre si elle sa-

tisfait plusde lauses. Si le nombre de lausesvraies

est égal pour les deux aetations, elle générant le

nombredelausesindéterminéesleplusgrandestonsi-

déréeommelameilleure.

eval: S ! (IN;IN)

A 7! (jfjsat(A;)^2gj;

jfjindetermine(A;)^2gj)

oùindetermine(A;)signiequelalauseest indé-

terminéepour l'aetationA 2 S. Il est évidentque

ette fontion est dépendante du hoixde l'approhe

puisqu'elle retourne le nombre de lauses indétermi-

nées.

Enutilisantettefontion,nouspouvonsdénirSol

,

l'ensembledetouteslessolutionspouruneformule:

Sol

=fAjeval(A)=(k;0);A2T n

gavek=jfj2

gj.

Nousdénissonsl'ordre>

eval

ommel'extensionlexi-

ographique(>;>)del'ordre>surlespairesonstruites

par lafontion eval. Nous pouvonsmaintenantnous

-Amélioration:A!A 0

aveA 0

>

eval A

-Détérioration:A!A 0

aveA>

eval A

0

-Préservation:A!A 0

aveeval(A 0

)=eval(A)

Enutilisantesonepts,unmouvementpeutmain-

tenantêtrearatériséparhaundespointsdevue:

parexemple,unmouvementpeutorrespondreàune

transitiondediversiationet d'amélioration.

Cesnotionssontillustréesdansl'exemple1.Eneet,

dansnotre adre 3-valué,lesméthodes exates et les

méthodesapprohéespeuventêtretouteslesdeuxma-

nipulées.Lesarbresdereherheutilisésparlesproé-

duresdetypeDavis-Putnam-Logemann-Lovelandsont

desensemblesdetransitionsd'intensiationetdedi-

versiationalorsquelesalgorithmesdereherhelo-

alelassiqueseetuentdesensemblesd'améliorations,

dedétériorationsetd'explorationdeniveauauniveau

leplusbas(sansauunevariableindéterminée).

Exemple1:(a_b)^(:a_b)^(a_:b)

diversification

détérioration amélioration

intensification

((1,2);(1,0)) ((1,2);(1,0)) ((2,1);(2,0)) ((2,1);(2,0))

(2,0) (2,0) (2,0) (3,0)

(0,3)

F I I F I T T I

I I

TT

FF FT TF

Fig. 1Le adre de résolution 3-valué.Tousles élé-

mentsdeT n

sontreprésentésparrapportàlarelation

d'ordre A. Une transition de diversiation aroît le

nombre de variables indéterminées alors qu'une tran-

sition d'intensiation le diminue. Dans e shéma,

les aetations omplètes sont en bas et > = (II)

esten haut.Quand lenombrede variables indétermi-

nées reste stable, les éléments sont triés ave l'ordre

>

eval

. Les valuations fournies par la fontion eval

sontdonnéessousforme deouple(v

1

;v

2 )où v

1 (resp.

v

2

)orrespond àl'évaluationde l'aetation ourante

pourl'approheoptimiste(resp.pessimiste).Ceouple

est réduit à un singleton quand v

1

= v

2

. Le meilleur

élément est du oté droit et le plus mauvais du oté

gauhe.Paronséquent,surettegure,lesmeilleures

les ombinaisons possibles pour es transitions issues

desdeuxpointsdevueandeonstruireunproessus

dereherheloalegénéral.

Lebut deeproessusdereherheestd'améliorer

le nombrede lauses vraies. Quande n'est paspos-

sible,ilestpréférabled'améliorerlenombredelauses

indéterminéesetderéduirelenombredelausesfausses.

Nousproposonsunenouvellefontionhoixquiséle-

tionne une variable dont le hangement de valeurde

vérité maximise le nombre de lauses vraies et mini-

mise le nombre de lauses fausses (enaugmentant le

nombredelausesindéterminéessielaestnéessaire).

Maintenant,lesprinipaux omposantspourunal-

gorithmedereherheloaleontétéfournis.Nouspou-

vonsdonétudier leursomportementset leursom-

binaisons.

2.4 EvaluationdesRègles Logiques

Nousvoulonsmesurerleseetsdesrèglesd'interpré-

tationlogiquesprésentéesenpartie2.2surleproessus

de reherhe. Comme dérit préédemment, un algo-

rithmedereherheloale3-valué(3RL)peutmainte-

nantretourneruneaetationpartiellequireprésente

unensemble d'aetations.Pourévaluerlaqualitéde

es aetationspartielles, il est néessaire d'explorer

exhaustivement le sous-ensemble orrespondant an

de trouver la meilleure aetation omplète qui s'y

trouve.Cetteexplorationpeutêtrefaiteparunalgo-

rithmedetypeBranhandBound(B&B)quieetue

unereherheexhaustiveenexplorantunarbredere-

herhedontlaraineestl'aetationpartiellefournie

parl'algorithme3RL.

La Table1 ompareles eetsdesdiérentes règles

logiques. Les tests ont été réalisés sur des instanes

3-SAT aléatoires standards ave 500, 1000 et 2000

variables (F500.nf, F1000.nf et F2000.nf). L'algo-

rithme 3RL utilisé pour es expérienes est un algo-

rithme Tabou3-valué(3TS-BB) qui seraprésenté en

détail au hapitre suivant. 3TS-BB eetue une re-

herhe de 5000 pas et ensuite, pour la dernière af-

fetation partielletrouvée,le nombredevariables in-

déterminées (nb: var: I), le nombre de lauses ave

une,deuxettroisvariablesindéterminées((I;II;III))

et laqualité ((V;I;F) apres3TS-BB)sontmémori-

sés.Pourestimerlaqualitépotentielledel'aetation

partielle trouvéepar3TS-BB,unalgorithmede B&B

estexéutéetfournitlameilleureaetationomplète

((V;F)apresB&B)envaluantàvraioufauxlesva-

riablesindéterminées.Lesrésultatsprésentéssontune

moyennede20exéutions.

LaTable1montre unelaire dominanedel'inter-

prétation pessimiste. La qualité de l'aetation par-