Optimisation discrète, séance 1 : exercices GRAPHES
Objectifs
La notion de graphe est sous-jacente à de très nombreux problèmes mathématiques (poly- èdres, matrices creuses, dénombrements, topologie des surfaces, noeuds, jeux...), elle a de très nombreuses applications en physique (circuits électriques, structures, mécanique quantique...), en informatique (structure d’un programme, réseaux, parallélisme... ), et en gestion (problèmes de flots, d’affectation, d’ordonnancement de tâches...). Cette séance est une initiation aux notions fondamentales de la théorie des graphes à l’aide de quelques exercices classiques et de quelques proriétés géométriques des graphes.
Question 1
A toute formule fonctionnelle (i.e. formée par composition de fonctions) est associée une arbores- cence (i.e. un graphe orienté qui a une racine et qui est un arbre) de la manière suivante :
− on écrit l’expression en notation polonaise inverse,
− les feuilles sont les constantes ou les variables,
− les noeuds sont les symboles de fonction,
− les arcs relient deux fonctions qui sont composées.
•Quelle est l’arborescence associée à sin (x+y) +
Z a+1
a−1
(2p
x2+ 1 +y)dx
•Comment est parcouru l’arborescence lors d’une évalution de la fonction ?
A partir de cette question tous les graphes sont non orientés.
Question 2
Un classique
•Montrer que le graphe associé au dodécaèdre est hamiltonien.
Question 3
Un classique présenté dans le langage des graphes
On considère le graphe(G, A)formé par lesn2 cases d’un échiquier avec des arêtes qui relient deux cases quand un cavalier peut aller directement de l’une à l’autre.
•Montrer que sinest impair un cavalier ne peut pas passer par toutes les cases et revenir à son point de départ. Vérifier que cette propriété, qui équivaut à dire que le graphe(G, A)n’est pas hamiltonien, est une conséquence de la
Proposition 1 Un graphe 2-coloriable n’admet pas de cycle de longueur impaire.
Graphes planaires
Remarque : Dans les démonstrations ci-dessous nous admettrons certaines propriétés des courbes planes de façon intuitive, pour ne pas s’aventurer dans des considérations trop topologiques.
Question 4
Un graphe planaire est un graphe qui peut être représenté sur un plan sans intersection des arêtes. Une face d’un graphe planaire est une composante connexe du complémentaire du graphe, i.e. un ouvert connexe dont la frontière est une réunion d’arêtes (Le domaine extérieur à un graphe est donc aussi une face).
•En s’aidant de propriétés intuitives des graphes planaires, justifier la relation d’Euler (une démons- tration rigoureuse est délicate et ce n’est pas demandé) :
Proposition 2 Si un graphe connexe est planaire et si S est le nombre de sommet, A le nombre d’arête etF le nombre de face on a
S+F −A= 2
Rappel :K5 est le graphe complet à 5noeuds, i.e. c’est la réunion du pentagone et du pentagone étoilé.K3,3 est le graphe à(3 + 3) = 6noeuds dont les arêtes relient trois maisons à trois puits.
•Montrer que les graphesK5etK3,3ne sont pas planaires en utilisant la relation d’Euler.
Note : beaucoup de démonstrations de cette identité sont fausses, trop rapides, elles oublient des situations particulières, si bien qu’elles s’appliquent tout aussi bien aux graphes tracés, par exemple, sur un tore, pour lesquels pourtant la relation d’Euler ci-dessus est fausse et doit être remplacée par S+F−A= 0.
Question 5
SoitKle corpsZ/2Z. SoitEun ensemble de cardinaln. On assimile une partieE1deEà sa fonction indicatriceIE1 qui elle même peut être assimilée à un élément de l’espace vectoriel(Z/2Z)n.
•SoitE1⊂EetE2⊂E, vérifier que
IE1+IE2 =IE1∆E2 oùE1∆E2 =E1∪E2−E1∩E2.
Dorénavant nous ne distinguerons plus E etIE. Soit E l’ensemble des sous-graphes d’un graphe
(G, A). On noteCle sous-espace vectoriel deEengendré par les cycles.
•Montrer qu’un élément deCest un sous-graphe de(G, A)dont tous les sommets sont de degré pair et qu’il est une réunion de cycles disjoints (en tant qu’ensemble d’arêtes). Cette propiété caractérise doncC.
•Une base de cycles est système libre, au sens de l’espace vectorielZ/2Z, de cycles, qui engendre C. Montrer que toutes les bases de cycles ont même cardinal appelé le nombre cyclomatique.
•Soit un graphe est planaire sans arête pendante. Les cycles bordant une face intérieure forment une base de cyclesCi. Que représenteP
i Ci ? Question 6
• Un arbre de recouvrement d’un graphe (G, A) est un graphe partiel de (G, A) qui est un arbre.
Décrire un procédé constructif pour définir un arbre recouvrant un graphe.
• Montrer que les cycles obtenus en ajoutant une arête à un arbre qui engendre le graphe (G, A) forment une base de cycles du graphe.
Question 7
Définition 1 Un graphe(G0, A0)est homéomorphe à un graphe(G, A)si on peut passer de(G, A)à (G0, A0)par une série d’opérations du type : enlever un noeud de degré 2 puis union des deux arêtes incidentes ou ajout d’un noeud de dégré 2 sur une arête et coupure de cette arête en deux arêtes.
Nous admettons le théorème de Kuratowski
Théorème 1 Un graphe(G, A)est planaire si et seulement si il ne contient aucun sous-graphe ho- méomorphe surK5ouK3,3.
En admettant le théorème de Kuratowski, on veut montrer le théorème de Mac Lane
Théorème 2 Un graphe est planaire si et seulement si il admet une base de cycles tel que toute arête appartienne à deux cycles au plus.
Nous dirons qu’un graphe a la propriétéP si il admet une base de cycles tel que toute arête appar- tienne à deux cycles au plus.
•Montrer, en s’appuyant sur des propriétés géométriques intuitives, qu’un graphe planaire a la pro- priétéP.
•Montrer que si un graphe a la propriétéP, le graphe obtenu en supprimant une arête a encore la propriétéP.
•Montrer queK5etK3,3 n’ont pas la propriétéP.
•En déduire le théorème de Mac Lane.
On peut utiliser cette caractérisation pour déplier un graphe, c’est à dire lui donner une forme planaire si c’est possible ou minimiser les intersections si ce n’est pas possible : on cherchera, par optimisation sur l’ensemble des bases, une base de cycles vérifiant les conditions du théorème.
Définitions
Remarques sur la terminologie
La terminologie de la théorie des graphes est un peu variable et les français utilisent des défini- tions différentes de ce qui se fait en langue anglaise (et au Québec). Aujourd’hui, certains utilisent en français des définitions “traduites” de l’anglais, d’où une certaine confusion ; traditionnellement : graphe (par défaut orienté)<−>directed graph ou di-graph
graphe non orienté sans boucle<−>graph Biblio WEB :
www.univ-lr.fr/formations/idea/duCultureMath/graphes/
mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.html
www.seg.etsmtl.ca/dlaferriere/mat210/Documents/documents.html Biblio Livres :
M. Sakarovitch, Optimisation combinatoire : Vol. Graphes et programmation linéaire Béla Bollobas, Modern Graph Theory, Springer
Reinhard Diestel, Graph Theory, Springer R. Foulds, Graph Theory Applications, Springer.
Terminologie
•Graphe (a priori orienté et avec boucle) :G= (X, A)avecA⊂X×X. Cela équivaut à dire qu’une relation binaire est définie surG, un couple(x, y)∈Aest un arc.•Graphe non orienté et sans boucle : G = (X, A) avecA symétrique et sans couple(a, a). Cela équivaut à dire que la relation binaire est symétrique et non réflexive. Un arc non orienté est une arête.•Sous-graphe :H= (Y, B) est un sous-graphe deG= (X, A)siY ⊂XetB ⊂A.
•Graphe partiel :H = (Y, B)est un graphe partiel deG= (X, A)siY =XetB ⊂A.
•Ordre d’un graphe : l’ordre d’un graphe est le nombre de sommets de ce graphe.
•Chemin : suite finie de sommets reliés entre eux par un arc.
•Chemin simple : chemin qui n’utilise pas deux fois le même arc .
•Chemin élémentaire : chemin qui n’utilise pas deux fois le même noeud.
•Chaîne : suite finie de sommets reliés entre eux par une arête.
•Chaîne simple : chaîne qui n’utilise pas deux fois la même arête.
•Chaîne élémentaire : chaîne qui n’utilise pas deux fois le même noeud.
•Chaîne eulérienne : chaîne simple passant par toutes les arêtes d’un graphe.
•Chemin : suite finie de sommets reliés entre eux par un arc.
•Circuit : chaîne sans noeud double qui revient à son point de départ.
•Cycle : chemin qui revient à son point de départ.
•Circuit eulérien : chaîne passant par toutes les arêtes d’un graphe une et une seule fois.
•Cycle hamiltonien : cycle passant par tous les sommets d’un graphe.
•Graphe connexe : un grapheGest dit connexe si pour toute paire de sommets{x;y}de G, il existe une chaîne de premier termexet de dernier termey.
•Arbre : graphe non orienté connexe sans cycle.
•Graphe eulérien : graphe qui possède un circuit eulérien.
•Graphe semi-eulérien : graphe qui possède une chaîne eulérienne.
•Graphe hamiltonien : graphe qui possède un cycle hamiltonien.
•Graphe semi-hamiltonien : graphe qui possède une chaîne hamiltonienne.
•Graphe valué : graphe où des réels sont associés aux arêtes.
•Longueur d’une chaîne : nombre des arêtes qui composent la chaîne.
•Valeur d’une chaîne : somme des valeurs des arêtes (arcs) d’une chaîne d’un graphe valué.
•Distance entre deux sommets : longueur de la plus courte chaîne joignant ces deux sommets.
•Diamètre d’un graphe : maximum des distances entre les sommets d’un graphe.
•Indice chromatique : nombre minimal de couleurs permettant de colorier les arêtes d’un graphe, de telle sorte que deux arêtes adjacentes n’aient pas la même couleur.
