I.2 Différentielle d’une application en un point

(calcul différentiel)

I Différentielle

I.1 Notation o

Soitα : A⊂E→F une application définie sur une partieAde l’espace vectoriel de dimension finieE, à valeurs dans l’espace vectoriel de dimension finieF. On suppose que Aest un voisinage de 0_E dansE. On écrira

α(h)= o

h→0E

(h) pour traduire le fait que

kα(h)kF= o

h→0E

(khkE)

(propriété qui ne dépend pas du choix de la normek.kE surE ni de celui de la normek.kF surF). Autrement dit,

α(h)= o

h→0E

(h) ⇐⇒ 1 khkE

α(h)−−−−→

h→0E

0F

Ou encore, pour utiliser les²: α(h)= o

h→0E

(h) si et seulement si, pour tout²>0, il existeη>0 tel que khkE ≤η =⇒ kα(h)kF≤²khkE

I.2 Différentielle d’une application en un point

On rappelle que f , définie sur un intervalle I deR, à valeurs dans F , est dérivable en a (a∈I ) lorsqu’il existe`dans F tel que, au voisinage de0,

f(a+h)−f(a)=h`+ o

h→0(h) l’application h7→h`étant linéaire.

a. Définition : différentiabilité et différentielle

Définition : Soit f définie sur un ouvert U de E, à valeurs dansF. Soit a un point deU. On dit que f estdifférentiableena lorsqu’il existe une application linéaire`deEdansF telle que, au voisinage de 0E :

f(a+h)=f(a)+`(h)+ o

h→0E

(h) (l’écriture utilisée dans l’ancien programme,

f(a+h)=f(a)+`(h)+ o

h→0E

¡khkE

¢

peut encore se rencontrer, c’est rigoureusement équivalent) ou encore, au voisinage dea:

f(x)=f(a)+`(x−a)+ o

x→a(x−a)

L’application`est alors unique ; elle est appeléeapplication linéaire tangente àf ena, oudifférentielledef ena, et est notée df(a). Ainsi, la différentiabilité de f enaéquivaut à l’existence d’un développement limité :

f(a+h)=f(a)+df(a)(h)+ o

h→0E

¡h)

(c’est la phrase à retenir dans toute cette page !) où df(a) est une application linéaire deEdansF.

b. Différentiabilité et continuité

Proposition Si f est différentiable ena, alors f est continue ena.

I.3 Exemples

On utilisera beaucoup les dérivées partielles pour trouver des différentielles, voir plus loin. Mais la définition suffit parfois, comme dans les deux exemples classiques ci-dessous.

On « rappelle » qu’il existe sur Mn(R) des normes d’algèbre unitaire, i.e. des normes qui vérifient

kI_nk =1 et

∀(A,B)∈Mn(R)² kABk ≤ kAk kBk On a alors

∀A∈Mn(R) ∀k∈N kA^kk ≤ kAk^k

Exemple 1 : Soit

f : Mn(R) −→ Mn(R)

A 7−→ A² .

SoitM un élément deMn(R) ; pour tout élémentHdeMn(R), on peut écrire : f(M+H)−f(M)=(M+H)²−M²=H M+M H+H²=`(H)+H²

où` : H7→M H+H Mest linéaire, et, sik.kest une norme d’algèbre quelconque surMn(R),kH²k ≤ kHk²= o

H→0E

(kHk) (ce qu’on peut écrire, si on veut, H²= o

H→(0)(H)).

f est donc différentiable enM, et sa différentielle enM est df(M) : H7−→H M+M H .

Exemple 2 (pour l’écrit)

Un peu plus difficile, on considère maintenant l’application A7→ A⁻¹définie sur l’ouvertG Ln(R).

Exemple 3 (pour l’oral)

SoitEun espace euclidien. Montrer que la fonctionx7→ 1

kxk² est différentiable surE\ {0E}, calculer sa différentielle en un pointa∈E\ {0E}.

Exemple 4Montrer que exp, définie surMn(K) (K=RouK=C), est différen- tiable en 0 et calculer d(exp)(0) (où l’on note un peu abusivement 0 la matrice nulle).

Exemple 5Soit (E, (.|.)) un espace euclidien. Soitu∈S(E). Montrer que l’appli- cation

x7−→(x|u(x))

est différentiable surE. Calculer sa différentielle en un pointa∈E.

I.4 Application constante, application linéaire

Si f : U ⊂E→F est constante, alors elle est différentiable en tout point deU; et

∀a∈U d f(a)=

Si f : U ⊂E→F est la restriction àU d’une application linéaireφ∈L(E,F), alors elle est différentiable en tout point deU; et

∀a∈U d f(a)=

I.5 Lien entre différentielle et dérivée

Lorsqu’on considère une fonction d’une variable réelle, on peut considérer sa dérivabilité et son éventuelle dérivée en un pointa∈R; plus précisément,

f : I ⊂R→F est dérivable en a si et seulement s’il existe`∈F telle que, au voisinage de 0 (dansR)

f(a+h)=f(a)+h`+ o

h→0(h)

On voit que cela équivaut à dire que f est différentiable ena, sa différentielle valant :

La dérivée d’une fonction n’a de sens que si cette fonction est une fonction d’une variable réelle. La notion de différentielle est plus générale que la notion de dérivée.

On peut aussi définir des dérivées de fonctions d’une variable complexe, ce qui ne manque d’ailleurs pas d’intérêt. Le lien avec la différentielle est alors un peu plus complexe, mais très intéressant. Voir fonctions holomorphes.

II Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles

Ici, au lieu de procéder par analogie, on se ramène à une fonction d’une variable réelle en choisissant une direction.

II.1 Dérivée selon un vecteur : définition

Soit f définie sur un ouvertU deE, à valeurs dansF. Soita un point deU,v un vecteur deE. Il existe alors un réel strictement positifδtel que, pour tout élément t de [−δ,δ], a+t v soit dans U. On définit alors l’applicationφ sur [−δ,δ] par

φ(t)=f(a+t v) .

Lorsqueφest dérivable en 0, on dit que f admet une dérivée ena selonv, et on définit la dérivée de f ena selonv comme la dérivée en 0 deφ. On la note D_vf(a). En résumé,

Définition La dérivée def enaselonv est D_vf(a)=lim

t→0

1 t

¡f(a+t v)−f(a)¢ lorsque cette limite existe. D_vf(a)∈F.

Exemple

Considérons l’application f définie surR²par f(x,y)= x y² x²+y⁴

si (x,y)6=(0, 0), et f(0, 0)=0. Alors f admet une dérivée en (0, 0) suivant tout vecteur(En fait,f admet en tout point une dérivée selon tout vecteur). On peut même calculer, pour tout vecteurv=(α,β),D_vf¡

(0, 0)¢ .

II.2 Dérivées partielles relativement à une base

a. Définition

On fixe ici une base (e₁, . . . ,e_p) deE (en pratique, le plus souvent,E sera R² ouR³ et cette base sera la base canonique). Les dérivées partielles de f ena relativement à cette base sont, lorsqu’elles existent, les dérivées de f enaselon (ou suivant) les vecteurs de la base. Plus précisément,

Définition Soit (e1, . . . ,en) une base deE. Pour touti entre 1 etp, si f est dérivable en a selone_i, on définit la i-ème dérivée partielle de f ena comme la dérivée de f enaselone_i :

∂if(a)= ∂f

∂x_i(a)=D_eif(a)

Remarque :Si elle existe,

∂if(a)= ∂f

∂x_i(a)=D_eif(a)F

Remarque :La notation D_eif(a) est plus lourde. Mais elle est plus précise, car elle se comprend sans connaître la base. Par exemple, si on considère les déri- vées partielles par rapport à une base (u,v,w), D_uf(a) pourra être noté∂1f(a) ou _∂x^∂f

1(a). En revanche, relativement à une base (v⁰,w⁰,u), D_uf(a) sera noté

∂3f(a) ou _∂x^∂f

3(a).

b. Mode de calcul

Détaillons un peu : on peut naturellement décomposeradans la base (e₁, . . . ,e_p) : a=

p

X

i=1

aiei. Lai-ème dérivée partielle de f enaest, si elle existe, la dérivée en 0 de l’application

t7−→f(a+t ei)=f(a₁e₁+ · · · +(ai+t)ei+ · · · +apep)

ou encore la dérivée enai (si elle existe) de l’application x7−→f(a₁e₁+ · · · +xe_i+ · · · +a_pe_p)

C’est cette dernière manière de considérer le problème que l’on utilise princi- palement pour calculer des dérivées partielles dans la pratique.

II.3 Un exemple banal

Calculer les trois dérivées partielles relatives à la base canonique, en un point quelconque, de l’application

h : (r,φ,θ)7→(rcosθcosφ,rcosθsinφ,rsinθ).

II.4 Un exemple fondamental

On peut aussi calculer les dérivées partielles de l’application f définie par f(x,y)= x y²

x²+y⁴

si (x,y)6=(0, 0), etf(0, 0)=0, d’abord en un point autre que (0, 0), puis en (0, 0).

Cet exemple est particulièrement instructif, parce qu’il montre les deux techniques qu’il faut connaître pour le calcul des dérivées partielles : le calcul formel lors- qu’on dérive une « formule » et le retour à la définition en un point particulier. Ce double aspect des choses est assez fréquenté aux Ensi-CCP-INP.

II.5 Un problème de notation

En Physique, les variables ont souvent des noms (P,V,T. . .) qui rappellent la grandeur physique qu’elles mesurent. En mathématiques, on a plutôt tendance à numéroter les variables. Mais dansR²etR³, on délaisse souvent l’ordre des indices pour l’ordre lexicographique. En clair, on note plus souvent (x,y) ou (x,y,z) que (x₁,x₂) ou (x₁,x₂,x₃). Et la notation ∂1f, alias ∂f

∂x₁, est remplacée généralement par ∂f

∂x. Ce peut ne pas être sans danger. En effet, la notation

∂f

∂x(y,x)

peut devenir douteuse. S’agit-il de∂1f(y,x) ou de ∂

∂x

¡(x,y)7→f(y,x)¢

? Ce n’est pas la même chose (considérer par exemplef : (x,y)7→x²+y³).

III Lien entre différentielle et dérivée selon un vec- teur

III.1 Différentiabilité ⇒ dérivabilité selon tout vecteur

Soit f : U ⊂E−→F,EetF evn de dimension finie,U ouvert,a∈U.

Proposition : Si une fonction est différentiable ena, elle admet une dérivée enaselon tout vecteur.

Corollaire : SoitB une base quelconque deE. Si f est différentiable en a, toutes ses dérivées partielles relatives à la baseB sont définies ena. Démonstration : Soitu∈Efixé ; au voisinage de 0 (pourt), on a

f(a+t u)=f(a)+df(a)(t u)+ o

t→0(t u) ou encore :

f(a+t u)=f(a)+tdf(a)(u)+ o

t→0(t) ce qui montre que f est dérivable selonu, et que

Duf(a)=df(a)(u)

Formule : Si f est différentiable ena, siv∈E, D_uf(a)=df(a)(u)

III.2 Dérivabilité selon tout vecteur 6⇒ Différentiabilité

La réciproque du paragraphe précédent est fausse. . .reprenons en effet f : (x,y7−→ x y²

x²+y⁴ si (x,y)6=(0, 0), f(0, 0)=0

dont on a vu qu’elle avait, en (0, 0), des dérivées selon tout vecteur. Il se trouve que f n’est pas différentiable en (0, 0). En effet,

III.3 Fonctions de classe C

a. Définition

Soitf une application définie sur un ouvertU d’un espace vectorielE, à valeurs dans un espace vectorielF. On dit que f est de classeC¹surU lorsqu’elle est différentiable en tout point deU et que l’application

d f : a7→d f(a)

est continue surU (cette application est à valeurs dansL(E,F), qui est un es- pace de dimension finie, on n’a donc pas besoin de préciser de quelle norme on le munit).

b. Le Théorème Fondamental

Théorème : Soitf une application définie sur un ouvertU d’un espace vec- torielE, à valeurs dans un espace vectorielF. Soit (e₁, . . . ,e_p) une base de E.

Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) f est de classeC¹surU.

(ii)Toutes les dérivées partielles∂if = ∂f

∂x_i =D_eif sont définies et conti- nues surU.

De plus, si(i)ou(ii)est vérifiée, alors, pour touta∈U eth=

p

X

j=1

h_je_j∈E, alors

df(a)(h)=

p

X

j=1

h_j∂jf(a)=

p

X

j=1

h_j ∂f

∂x_j(a) .

Intérêt : Une dérivée partielle, c’est la dérivée d’une fonction d’une variable réelle, c’est un objet mathématique plus simple qu’une différentielle. Avec une hypothèse de continuité on peut à partir de dérivabilité et de déri- vées partielles obtenir la différentiabilité et la différentielle.

Remarque - Corollaire La proposition « Toutes les dérivées partielles∂if =

∂f

∂x_i =D_eif sont définies et continues surU » ne dépend pas de la base choisie.

Démonstration (i)=⇒(ii)

C’est essentiellement déjà fait. Si f estC¹, elle est différentiable en tout point. On a vu qu’alors, pour tout v ∈E,D_vf est défini partout sur U, avec la formule

∀a∈U D_vf(a)=df(a)(v)

L’applicationa7→df(a) étant continue, l’applicationa7→df(a)(v) l’est (trouver un argument simple !). Les dérivées partielles « étant des D_vf, on conclut.

(ii)=⇒(i)

On suppose E =R², (e₁,e₂)=((1, 0), (0, 1)). Et on suppose que f admet en tout point a de U deux dérivées partielles ∂f

∂x₁(a) et ∂f

∂x₂(a), et que

∂f

∂x₁ : a7−→ ∂f

∂x₁(a) et ∂f

∂x₂ sont continues surU.

On va commencer par montrer que f est différentiable en tout point de U, puis on montrera ensuite la continuité dea7→df(a).

Soit donc a=(a₁,a₂)∈U. On cherche une application linéaireφtelle que, au voisinage de (0, 0) (pourh), on ait

f(a₁+h₁,a₂+h₂)=f(a₁,a₂)+φ(h₁,h₂)+ o

(h1,h2)→(0,0)((h₁,h₂)) Si on comprend ce qu’est une dérivée partielle, on ne trouve pas extra- vagante l’idée d’écrire :

f(a₁+h₁,a₂+h₂)−f(a₁,a₂)=f(a₁+h₁,a₂+h₂)−f(a₁+h₁,a₂) +f(a₁+h₁,a₂)−f(a₁,a₂)

(évidemment, on peut ausi bien écrire

f(a₁+h₁,a₂+h₂)−f(a₁,a₂)=f(a₁+h₁,a₂+h₂)−f(a₁,a₂+h₂) +f(a₁,a₂+h₂)−f(a₁,a₂) ) On fait apparaître ainsi deux différences que l’on va traiter séparément : δ1(h)=f(a₁+h₁,a₂+h₂)−f(a₁+h₁,a₂)

etδ2(h)=f(a₁+h₁,a₂)−f(a₁+h₁,a₂).

Commençons par la première :

f(a₁+h₁,a₂+h₂)−f(a₁+h₁,a₂)= Z _...

...

∂f

∂ ( , ) dt

A partir d’ici, la démonstration est moins importante. Jusqu’ici en re- vanche, les idées sont intéressantes.

Donc

δ1(h)=h₂∂f

∂x2

(a₁,a₂)+

Z _a2+h2

a2

·∂f

∂x2

(a₁+h₁,t)− ∂f

∂x2

(a₁,a₂)

¸ dt et on cherche à montrer que l’intégrale est o

h→(0,0)(h). Pour cela, le plus simple est de revenir à la définition deso.

Soit²>0. Il existe, et on considère,η>0 tel que k(b1,b₂)−(a₁,a₂)k ≤η =⇒

°

°

°

°

∂f

∂x₂(a₁+h₁,t)− ∂f

∂x₂(a₁,a₂)

°

°

°

°F

≤² (on utilise donc la continuité de ∂f

∂x₂, utiliser les hypothèses est toujours rassurant). La norme au premier membre est une norme quelconque surR², il est commode mais non obligatoire (c’est souvent d’ailleurs le meilleur choix) de prendre la normek.k∞. Supposonsk(h₁,h₂)k ≤η. Alors, pour toutt∈[a₂,a₂+h₂],

k(a₁+h₁,t)−(a₁,a₂)k =max (|h₁|,|t−a₂|)≤max (|h₁|,|h₂|)≤η

ce qui permet de majorer

°

°

°

°

Z _a2+h2

a2

·∂f

∂x₂(a₁+h₁,t)− ∂f

∂x₂(a₁,a₂)

¸ dt

°

°

°

°F

≤

¯

¯

¯

¯

Z _a2+h2

a2

°

°

°

°

∂f

∂x₂(a₁+h₁,t)− ∂f

∂x₂(a₁,a₂)

°

°

°

°F

dt

¯

¯

¯

¯

≤²|h₂|

≤²k(h1,h₂)k On a donc montré

∀²>0∃η>0 khk ≤η=⇒

°

°

°

°

Z _a2+h2

a2

·∂f

∂x2

(a₁+h₁,t)− ∂f

∂x2

(a₁,a₂)

¸ dt

°

°

°

°F

≤²khk ce qui peut aussi s’écrire

Z a₂+h₂ a₂

·∂f

∂x₂(a₁+h₁,t)− ∂f

∂x₂(a₁,a₂)

¸

dt= o

h→(0,0)(h) et finalement

δ1(h)=h₂∂f

∂x2

(a₁,a₂) + o

h→(0,0)(h) On traite de mêmeδ2(h), on obtient

f(a₁+h₁,a₂+h₂)=f(a₁,a₂)+φ(h1,h₂)+ o

(h1,h2)→(0,0)((h₁,h₂)) avec

φ(h₁,h₂)=h₁∂f

∂x₁(a₁,a₂)+h₂∂f

∂x₂(a₁,a₂)

La linéarité deφest apparente, il en découle la différentiabilité de f en a, et la formule

∀a∈U ∀h∈R² df(a)(h)=h₁∂f

∂x₁(a)+h₂∂f

∂x₂(a)

Reste la continuité dea 7−→df(a)(h). La matrice de df(a) relative à la base canonique deR²au départ et une baseC deF à l’arrivée a deux co- lonnes, constituées respectivement des composantes de ∂f

∂x1

(a) et ∂f

∂x2

(a) dans la base C. Par continuité des dérivées partielles, tous les coeffi- cients de la matrice sont fonctions continues dea, donca7→df(a) est continue. Si on est scrupuleux, on remarquera que l’application qui a une application linéaire associe sa matrice relative à des bases données est un isomorphisme entre deux espaces de dimension finie, donc est continue ainsi que sa réciproque.

c. Exemple Justifier :

h : (r,φ,θ)7→(rcosθcosφ,rcosθsinφ,rsinθ) est de classeC¹surR³.

d. Exemple

On considère f définie par

f(x,y)= x y² x²+y⁴

si (x,y)6=(0, 0), etf(0, 0)=0. Montrer qu’elle est de classeC¹surR²\{(0, 0}, mais pas surR².

e. Exemple

SoitEeuclidien. Montrer que l’applicationx7−→ 1

kxk² est de classeC¹sur l’ou- vertE\ {0_E}. Déterminer en tout point sa différentielle.

f. Exemple

On considère l’application

f : M_n(K) −→ K X 7−→ det(X) et on note ∂

∂X_i,j les dérivations partielles relatives à la base canonique deMn(K).

1. Exprimer ∂f

∂X_i,j(X) à l’aide des coefficients de la comatrice deX, que l’on noteraXe.

2. En déduire que f est de classeC¹surM_n(K), exprimer df(X)(H) pour tousX etHdansM_n(K) (la formule utilisera la trace, etXe).

g. Exemple : le noyau de la chaleur

Enoncé :Soitf une fonction continue bornée surR, à valeurs réelles.

Pour (x,t)∈R×R⁺_∗, on pose

Γ(x,t)= 1

p4πte−x²/4t et on définit la fonctionK f par

∀(x,t)∈R×R⁺_∗ K f(x,t)= Z _+∞

−∞

f(y)Γ(x−y,t) dy

Montrer queK f est de classeC¹ surR×R⁺_∗ (c’est une étape vers la propriété essentielle du noyau de la chaleur :K f est de classeC¹et vérifie :

∂(K f)

∂t =∂²(K f)

∂x² ) Solution :C’est long ! il faut montrer 4 choses.

Etape 1 :K f est dérivable par rapport à sa première variable surR×R⁺_∗. Etape 2 :∂K f

∂x est continue surR×R⁺_∗.

Etape 3 :K f est dérivable par rapport à sa deuxième variable surR×R⁺_∗. Etape 4 :∂K f

∂t est continue surR×R⁺_∗.

Bien entendu, les étapes 3 et 4 peuvent être montrées avant les étapes 1 et 2, c’est comme on veut.

Etape 1 : On fixet>0. On écrit alors

∀x∈R K f(x,t)= Z _+∞

−∞

h(x,y)dy

avec

h : R² −→ R (x,y) 7−→ f(y)

p4πte^{−(x−y)2/4t}

•Pour toutx∈R, y7→h(x,y) est continue surR(par morceaux suffirait) (mais ce n’est pas la peine de l’écrire), intégrable (car o

y→±∞

µ 1 y²

¶ ).

•hest dérivable par rapport à sa première variable surR², et

∀(x,y)∈R² ∂h

∂x(x,y)= −(x−y)f(y) 4tp

πt e^{−(x−y)2/4t}

• ∂h

∂x est continue par rapport à chacune de ses variables surR²(par rapport à y, par morceaux suffirait) (mais ce n’est pas la peine de l’écrire) (d’ailleurs, ∂h

∂x est continue comme fonction de (x,y), ce qui est beaucoup plus fort) (mais ce n’est pas la peine de l’écrire non plus).

•Domination :SoitA=[−M,M],M>0 (évitons la notationK à cause deK_f) ; alors, si (x,y)∈[−M,M]×R,

¯

¯

¯

¯

∂h

∂x(x,y)

¯

¯

¯

¯≤ kfk∞

4tp πt

¡|x| + |y|¢

e^−x2/4te^{x y/2t}e^−y2/4t

≤ kfk_∞ 4tp

πt

¡M+ |y|¢

e^M|y|/2te^−y2/4t

(on remarque aisément que|e^z| ≤e^|z|). La fonction majorante est indépendante dex, intégrable surRcar o

y→±∞

µ 1 y²

¶

. Par théorème de dérivation sous le signe R, la fonction

x7−→K f(x,t) est de classeC¹surR, et sa dérivée est

x7−→ − Z _+∞

−∞

(x−y)f(y) 4tp

πt e^{−(x−y)2/4t}dy Ceci termine l’étape 1.

Etape 2 : Contrairement à ce que l’on pourrait espérer, le théorème de déri- vation sous le signe R

, qui est en fait un théorème de classeC¹(comme tous nos théorèmes) ne suffit pas pour dire que ∂K f

∂x est continue. Il dit que c’est, pour chaquet fixé, une fonction continue dex, ce qui ne nous suffit pas pour appliquer le théorème fondamental. On doit donc encore montrer que

(x,t)7−→∂K f

∂x (x,t) est continue surR×R⁺_∗. Et donc. . .

∀(x,t)∈R×R⁺_∗ ∂K f

∂x (x,t)= Z _+∞

−∞

k¡

(x,t),y¢ dy

avec

k : (R×R⁺_∗)×]− ∞,+∞[ −→ R

¡(x,t),y¢

7−→ (x−y)f(y) 4t p

πt e^{−(x−y)2/4t}

•Pour tout (x,t)∈R×R⁺_∗,y7→k¡

(x,t),y¢

est continue (par morceaux suffirait) sur ]− ∞,+∞[.

•Pour touty∈]−∞,+∞[, (x,t)7−→k¡

(x,t),y¢

est continue surR×R⁺_∗(par opé- rations) Comme d’habitude, les fonctions (x,t)7→ x et (x,t)7→ t étant conti- nues, on fait des sommes, des produits, des quotients, des compositions à par- tir de ces fonctions.

•Domination :SoitAun compact inclus dansR×R_∗⁺, il existe 0<a<betM>0 tel que

A⊂[a,b]×[−M,M] et, si¡

(x,t),y¢

∈A×]−∞,+∞[, on essaye de majorer indépendamment de (x,t) :

¯

¯

¯

¯

(x−y)f(y) 4tp

πt e^{−(x−y)2/4t}

¯

¯

¯

¯≤ |y| +M 4ap

πae^{−(x−y)2/4t}

≤ |y| +M 4ap

πae^{−(x−y)2/4b}

≤ |y| +M 4ap

πae^M|y|/2be^−y2/4b

et la fonction majorante, indépendante de (x,t), est intégrable sur ]− ∞,+∞[.

L’étape 2 est terminée, ne restent que les étapes 3 et 4. . .en pratique, un « de même » règle souvent les choses. Mais ici, ce serait un peu abusif.

h. Exemple : une série de fonctions de deux variables Montrer que l’application

φ : (x,y)7−→

+∞X

n=0

(−1)ⁿ(x+i y)ⁿ (2n)!

est de classeC¹ (il est ensuite assez facile de montrer qu’elle est harmonique surR², c’est-à-dire qu’elle est de classeC²et vérifie

∆φ=∂²φ

∂x²+∂²φ

∂y² =0 ) i. Un exemple célèbre

La fonctionpdéfinie par

p(x,y)=x yx²−y² x²+y²

si (x,y)6=(0, 0), etp(0, 0)=0 est-elle de classeC¹surR²?

IV Opérations sur les fonctions différentiables

IV.1 Combinaison linéaire

Proposition Si f etg sont différentiables ena∈U, à valeurs dansF,λf +g l’est (λdésigne un élément deKquelconque), et

d(λf +g)(a)=λdf(a)+dg(a) .

Proposition Si f etg sont de classeC¹surU,λf +g l’est.

Proposition Si f etg admettent des dérivées suivant le vecteurv au point a,λf +g aussi, et

D_v(λf +g)(a)=λD_vf(a)+D_vg(a)

Proposition SiBest une base deE, sif etg ont unej-ème dérivée partielle relative àBena, alorsαf +g aussi, et

∂j(λf +g)(a)=λ∂jf(a)+∂jg(a) . Si c’est le cas en tout point deU, on peut écrire

∂j(λf +g)=λ∂jf +∂jg .

Démonstration de tous ces résultats : pour les dérivées selon un vecteur ou dérivées partielles, c’est déjà fait (puisque la linéarité de la dérivation est déjà connue). Pour la différentielle, c’est le fait qu’une combinaison linéaire deo(h) est uno(h) qui conclut.

IV.2 Image par une application bilinéaire

Lemme Si B est une application bilinéaire de F ×G dans H, où F, G, H sont trois espaces vectoriels normés de dimension finie, il existe une constanteK telle que

∀(x,y)∈F×G kB(x,y)kH≤K kxkF kykG

Proposition SoitE,F,G,H trois espaces vectoriels réels de dimension fi- nie, f etg deux applications d’un ouvertU deE dansF et dansG res- pectivement,Bune application bilinéaire deF×GdansH. Sif etg sont différentiables ena∈U alorsB(f,g) l’est et, pour touth∈E,

d¡

B(f,g)¢

(a)(h)=B¡

df(a)(h),g(a)¢ +B¡

f(a), dg(a)(h)¢ . Proposition Si f etg sont de classeC¹surU alorsB(f,g) l’est.

Démonstration : On a, au voisinage de 0_E, f(a+h)=f(a)+d f(a)(h)+α(h) et g¡

a+h)=g(a)+d g(a)(h)+β(h) oùα(h)= o

h→0E

(h) etβ(h)= o

h→0E

(h). Par bilinéarité : B¡

f(a+h),g(a+h)¢

=B¡

f(a),g(a)¢

+`(h)+γ(h) avec

`(h)=B¡

df(a)(h),g(a)¢ +B¡

f(a), dg(a)(h)¢ (`est donc linéaire), et

γ(h)=B¡

f(a),β(h)¢ +B¡

d f(a+h),d g(a+h)¢ +B¡

d f(a+h),β(h)¢ +B¡

α(h),d g(a+h)¢ +B¡

α(h),β(h)¢ L’existence deK tel que

∀(x,y)∈F×G kB(x,ykH≤KkxkFkykG

permet de montrer assez facilement queγ(h)=o_h→0E(h). On en déduit la différentiabilité deB(f,g), et sa différentielle.

Le théorème sur la classeC¹ en découle, en ajoutant un argument de continuité.

Exemple :SoitE un espace euclidien. Calculer la différentielle de l’application (x|u(x))

kxk² (en tout point deE\{0_E}) (on a le droit d’utiliser des résultats déjà vus).

Que peut-on dire dexsi cette différentielle est nulle enx?

IV.3 Composition

U ⊂E f V ⊂F g G g◦f

Proposition : SoitF,G,H trois espaces vectoriels réels de dimension finie, f une application d’un ouvertU deE dansF, g une application d’un ouvertV deF dansG. On suppose quef(U)⊂V.

Si f est différentiable ena∈U et sigest différentiable enf(a), alorsg◦f est différentiable enaet

d(g◦f)(a)=dg¡ f(a)¢

◦df(a) .

Proposition : Si f est de classeC¹surU etg est de classeC¹surV, alors g◦f est de classeC¹surU.

Démonstration : On part du développement limité, au voisinage de 0E, f(a+h)=f(a)+d f(a)(h)+α(h)

oùα(h)= o

h→0E

(h). De même, au voisinage de 0F, g¡

f(a)+k)=g¡ f(a)¢

+d g¡ f(a)¢

(k)+β(k) oùβ(k)= o

k→0F

(k). Commed f(a)(h)+α(h)−−−−→

h→0E

0_F, il est légitime de

« lui faire jouer le rôle dek» et d’écrire, au voisinage de 0_E, g¡

f(a+h)¢

=g¡ f(a)¢

+d g¡ f(a)¢¡

d f(a)(h)+α(h)¢ )+β¡

d f(a)(h)+α(h)¢ ce qui donne

g¡

f(a+h)¢

=g¡ f(a)¢

+³ d g¡

f(a)¢

◦d f(a)´

(h)+γ(h) avecγ(h)=d g¡

f(a)¢¡

α(h)¢ +β¡

d f(a)(h)+α(h)¢

(rappelons qued g(f(a)) est une application linéaire) ; l’existence d’une constante K telle que, pour touth,

kd g¡ f(a)¢¡

α(h)¢

kG≤Kkα(h)kF

montre que le premier des termes dontγ(h) est la somme est un o

h→0E

(h).

On voit sans difficulté que le second de ces deux termes l’est aussi en revenant à la définition des o. On obtient donc la conclusion :g◦f est différentiable, et

d(g◦f)(a)=dg¡ f(a)¢

◦df(a) .

Un argument de continuité donne alors le résultat sur les fonctions de classeC¹.

IV.4 Composée d’une fonction d’une variable par une fonction de plusieurs variables

Proposition : SoitU un ouvert d’un espace vectoriel de dimension finieE, f une application deU dans un espace vectoriel de dimension finieF, φune application définie sur un intervalleI deR, à valeurs dansU :

I⊂R φ U ⊂E f F

f ◦φ

Si φ est dérivable en t, et si f est différentiable en φ(t), alors f ◦φ est dérivable ent, et

(f ◦φ)⁰(t)=df¡ φ(t)¢¡

φ⁰(t)¢

=df¡ φ(t)¢

.φ⁰(t)

(la deuxième écriture est communément utilisée pour limiter le nombre de parenthèses).

Proposition Si on supposef etφde classeC¹, f ◦φl’est donc.

Proposition (écriture avec les dérivées partielles) Plus analytiquement : si B=(e1, . . . ,en) est une base deE, en notant ∂

∂xi

les dérivées partielles relatives à la baseBetφi les applications composantes deφdans cette même base (pour touttdansI,φ(t)=

n

X

i=1

φi(t)e_i), on a donc :

(f ◦φ)⁰(t)=

n

X

i=1

φ⁰_i(t)∂f

∂x_i

¡φ(t)¢ . ou encore, si on préfère,

d dt

à f

à n

X

i=1

φi(t)e_i

!!

=

n

X

i=1

φ⁰_i(t)∂f

∂x_i à n

X

i=1

φi(t)e_i

! .

Corollaire Soit f : U ⊂E→F de classeC¹,γ : [0, 1]→U de classeC¹, si a=γ(0) etb=γ(1), alors

f(b)−f(a)= Z 1

0

df(γ(t)).γ⁰(t) dt Résultats très utiles et très importants !

Exemple 1

Si f est différentiable en tout point de l’ouvert convexeU, sia etb sont dans U, l’applicationg : t7→f(a+t(b−a)) est dérivable sur [0, 1], et

∀t∈[0, 1] g⁰(t)=

Exemple 2 On considère

h : (u,v)7−→(cosu sinv, sinu sinv, cosv) Calculer la dérivée de

u7−→h³ u, ln³

tan³u 2

´´´

(u∈]0,π[).

Exemple 2

Si f est de classeC²surR², sit7→¡

u(t),v(t)¢

est de classeC¹surR, h : t7→f¡

u(t),v(t)¢

est de classeC¹surR, et on peut exprimerh⁰(t) à l’aide des dérivées partielles de f et des dérivées deuet dev :

Exemple 3

Si f est de classeC²surR³, sit7→¡

u(t),v(t),w(t)¢

est de classeC¹surR, expri- mer la dérivée det 7→ f¡

u(t),v(t),w(t)¢

à l’aide des dérivées partielles de f et des dérivées deu,v etw.

Il importe de bien comprendre ce mécanisme pour être capable ensuite de calcu- ler des dérivées partielles de fonctions composées

IV.5 Calcul des dérivées partielles d’une fonction composée

Tout est contenu dans ce qui précède.

Par exemple : soit f une application définie sur un ouvertU deR³, à valeurs dansF.

f : (x₁,x₂,x₃)7→ f(x₁,x₂,x₃) et soitg une application définie surR², à valeurs dansU:

g : (u,v)7→¡

g₁(u,v),g₂(u,v),g₃(u,v)¢ On désigne parhla composée :

h : (u,v)7→ f¡

g₁(u,v),g₂(u,v),g₃(u,v)¢

On peut alors déterminer les dérivées partielles deh à l’aide de celles de f et deg, en utilisant le paragraphe précédent. En effet, une dérivée partielle est la dérivée d’une fonction d’une seule variable.

Exemple :soithune application définie sur un ouvertU deR², à valeurs dans F :

h : (u,v)7→h(u,v) Et soit f une fonction définie surR³, à valeurs dansU:

f : (x₁,x₂,x₃)7→¡

f₁(x₁,x₂,x₃),f₂(x₁,x₂,x₃)¢

Calculer les dérivées partielles deh◦f en fonction de celles dehet de f.

Exemple : Soit f une fonction de classeC¹surR³, à valeurs réelles.

SoitF : (r,φ,θ)7−→f(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ). Calculer les dérivées par- tielles deF à partir de celles de f.

Exemple : Ecrire les dérivées partielles de l’application

(u₁, . . . ,u_m)7−→f (x₁(u₁, . . . ,u_m), . . . ,x_n(u₁, . . . ,u_m)) (avec des hypothèses « évidentes »).

IV.6 Caractérisation des applications constantes

Proposition Une application de classeC¹sur un ouvert convexeU est constante surU si et seulement si sa différentielle est nulle surU.

Proposition Une application de classeC¹sur un ouvert convexeU est constante sur U si et seulement si toutes ses dérivées partielles (relatives à une base quelconque deE) sont nulles surU.

Proposition Une application de classeC¹sur un ouvert connexe par arcs U est constante surU si et seulement si sa différentielle est nulle surU.

IV.7 Caractérisation par les fonctions composantes

Proposition Soit f une application d’un ouvertU deE dansF,h une ap- plication linéaire deF dansG.

Si f est différentiable ena, alorsh◦f l’est, et d(h◦f)(a)=h◦df(a) . (on a bien dit :hlinéaire !)

Si f est de classeC¹surU, alorsh◦f est de classeC¹surU.

Proposition : Soit (e₁, . . . ,e_n) une base deF. Soit f une application d’un ou- vertU deEdansF. Pour tout élémentxdeU, on décomposef(x) dans la base (e₁, . . . ,e_n) :

f(x)=

n

X

i=1

f_i(x)e_i .

Les fi ainsi définies sont des applications deU dansR, appelées appli- cations composantes (ou coordonnées) def dans la base (e₁, . . . ,e_n).

f est différentiable enasi et seulement si lesf_i le sont toutes, et alors d f(a)=

n

X

i=1

d f_i(a)e_i.

f est de classeC¹surU si et seulement si toutes lesf_i le sont.

Si (²1, . . . ,²p) est une base deE, pour toutjentre 1 etp, pour tout élément adeU,

∂jf(x)=

p

X

i=1

∂jf_i(x)e_i

(le membre de gauche de l’égalité existe si et seulement si le membre de droite existe), les∂jdésignant les dérivations partielles dans la base(²1, . . . ,²p) deE). Autrement dit,

Les dérivées partielles des fonctions composantes sont les composantes des dérivées partielles.

V Fonctions de plusieurs variables à valeurs réelles

V.1 Opérations sur les fonctions de classe C

SoitU un ouvert d’un espace vectoriel de dimension finieE. Une combinai- son linéaire, un produit de fonctions de classeC¹surU à valeurs réelles est de classeC¹; donc

Proposition : L’ensemble C¹(U,R) des applications de classeC¹ sur U à valeurs réelles est uneR-algèbre.

Remarque :pour une fonction à valeurs réelles, les dérivées partielles sont des réels ; si f etg sont des applications de classeC¹surU à valeurs réelles, si les

∂

∂x_i sont les dérivations partielles relatives à une base deE, alors

∂(f g)

∂xi

=f ∂g

∂xi

+g ∂f

∂xi

.

V.2 Formes linéaires sur un espace euclidien

Soit (E, (.|.)) un espace euclidien. Pour tout élémentadeE, on définit φa : E −→ R

x 7−→ (a|x)

φaest une application linéaire, c’est donc un élément deE^∗.

L’applicationa7−→φaest un isomorphisme deEsurE^∗, appelé isomorphisme canonique deEsurE^∗.

On utilise en général ce résultat sous la forme suivante :

Proposition : Soitφune forme linéaire non nulle sur l’espace euclidienE. Il existe alors un unique élémentadeEtel que

∀x∈E (a|x)=φ(x)

Ce résultat est à rapprocher des considérations sur les hyperplans, qui en gé- néral sont les noyaux des formes linéaires non nulles, et dans les espaces eucli- diens se caractérisent par leurs vecteurs normaux.

V.3 Gradient

Soit f une application de classeC¹définie sur un ouvertU d’un espace eucli- dienE, à valeurs dansR.

a. Définition

Pour tout élémentadeU, df(a) est une application linéaire deEdansR, donc un élément deE^∗. On sait qu’il existe un unique élément deE, appelégradient de f enaet noté gradf(a) ou∇f(a), tel que, pour tout vecteurh,

df(a)(h)=¡

gradf(a)|h¢

=¡

∇f(a)|h¢ . Autrement dit,

f(a+h)=f(a)+¡

gradf(a)|h¢ + o

h→0(h)

=f(a)+¡

∇f(a)|h¢ + o

h→0(khk) b. Composantes en base orthonormale

SoitB=(e₁, . . . ,e_n) une base orthonormale deE; on note ∂

∂xi

les dérivations partielles relatives à cette base. On a vu que, sih=

n

X

i=1

h_ie_i, df(a)(h)=

n

X

i=1

h_i ∂f

∂xi

(a), ce qui montre que

∇f(a)=gradf(a)=

n

X

i=1

∂f

∂xi

(a)ei . En particulier, siE=Rⁿet siBest la base canonique,

∇f(a)=gradf(a)=

³∂f

∂x₁(a), . . . , ∂f

∂x_n(a)´ .

c. Interprétation

Le gradient indique la direction de plus grande variation de f : le vecteur uni- tairev pour lequelD_vf(a) est maximale est

v= 1

k∇f(a)k∇f(a)

Ci-dessus, on représente des « lignes de niveau » de la fonction (x,y)7−→h(x,y) qui au point de coordonnées (x,y) associe son altitude. Ces lignes de niveau sont des courbes d’équation h =Cte. Tracer la direction et le sens de∇h en quelques points.

V.4 Extremums ; points critiques

Soitf une application de classeC¹sur un ouvertU de l’espace vectoriel normé E, à valeurs réelles.

Définition : On dira que f atteint un maximum (local) en a ∈U lorqu’il existe un voisinageV deadansU tel que

∀x∈V f(x)≤f(a)

Remarque :Un voisinage deadansU est, commeU est ouvert, un voisinage deainclus dansU.

Remarque :On peut remplacer « un voisinageV deadansU »par « une boule ouverteB(a,r)⊂U (r>0) ».

On définit de même un minimum local. On dit que le maximum est global lorsque

∀x∈U f(x)≤f(a) .

Lorsqu’on parle d’extremum sans précision, on parle d’extremum local.

Proposition : Sif admet des dérivées partielles (suivant une base quelconque) ena, et sif atteint un extremum ena, alors ces dérivées partielles ena sont nulles.

Définition : Soit f une application définie sur un ouvertU deE, à valeurs réelles. On suppose f différentiable ena. On dit queaest un point cri- tique def lorsque la différentielle def enaest nulle, i.e. lorsque les déri- vées de f enasuivant tous les vecteurs sont nulles, i.e. lorsque toutes les dérivées partielles de f ena(suivant une base quelconque) sont nulles.

Proposition : Soitf une application définie sur un ouvertU deE, à valeurs réelles. Si f atteint un extremum ena, alorsaest un point critique pour

f.

Remarque :On n’a ici qu’une condition nécessaire d’extremum.

Remarque :SiU n’est pas ouvert, on peut avoir des extremums en des points non crititques.

Exemple :Déterminer les points critiques de f : (x,y)7→x³−y²−x

VI Dérivées partielles d’ordre ≥ 2

VI.1 Définition

Soit f une fonction définie sur un ouvertU d’un evn de dimension finieE, à valeurs dans un evn de dimension finieF.

MunissonsEd’une base (e₁, . . . ,e_n), et notons ∂

∂x_i les dérivations partielles cor- respondantes. Les dérivées partielles définies précédemment seront doréna- vant appelées dérivées partielles « premières ». On définit les dérivées partielles secondes comme les dérivées partielles des dérivées partielles premières. . . lorsqu’elles existent.

Plus précisément : si ∂f

∂x_i est dérivable enasuivant lej-ème vecteur de la base (e₁, . . . ,e_n), on définit

∂²f

∂x_j ∂x_i(a)=

∂³∂f

∂x_i

´

∂x_j (a)

On dira que f est de classeC²surU lorsque toutes ses dérivées partielles se- condes ∂²f

∂x_j ∂x_i (1≤i,j≤n) sont définies et continues surU.

On définit de même par récurrence les dérivées partielles d’ordrem ≥3 et la classeC^m.

Une fonction est de classeC^∞lorsqu’elle est de classeC^mpour toutm.

VI.2 Théorème de Schwarz

Théorème Si f est de classeC²surU, pour tout couple (i,j) on a, surU

∂²f

∂xj ∂xi

= ∂²f

∂xi ∂xj

. . . et plus généralement, pour une fonction de classeC^m, les dérivées partielles m-ièmes « ne dépendent pas de l’ordre des dérivations »

Exercice :On considère la fonctionpdéfinie par p(x,y)=x yx²−y² x²+y²

si (x,y)6=(0, 0), etp(0, 0)=0. Calculer ∂f

∂y(x, 0) (on distinguerax=0 etx6=0),

∂f

∂x(0,y) (on distingueray=0 ety6=0), puis ∂²f

∂x∂y((0, 0)) et ∂²f

∂y∂x((0, 0)).

VI.3 Stabilité

Une composée d’applications de classeC^mest de classeC^m.

Une combinaison linéaire d’applications de classeC^m est de classeC^m. Pour des fonctions à valeurs numériques (à valeurs réelles), un produit de fonctions de classeC^mest de classeC^m. Ainsi, avec des notations évidentes,C^m(U,R) est uneR-algèbre (1≤m≤ +∞).