Mathématiques 2 1
Analyse, séance 2 : exercices corrigés
Résolution analytique de problèmes canoniques.
Question 1
Le problème de la diffusion
Corr.: Voir polycopié d’Analyse p. 29.
Question 2
L’équation des ondes
Corr.: Voir polycopié d’Analyse p. 33.
Question 3
On étudie les vibrations d’une corde tendue dont l’une des extrémités est soumise à une excitation périodique. On suppose que la corde est de longueur 1, que la position initiale est droite et que la vitesse initiale est nulle. On cherche donc une fonctionu(x, t)¯ ∈ C2([0,1]×[0, T]), position de la corde au point d’abscissexau tempst, solution du problème
∂2u
∂t2 −c2∂2u
∂x2 = 0 u(x,0) =hx
∂u
∂t(x,0) = 0 u(0, t) = 0 u(1, t) =hcosωt
(1)
oùhest une constante positive.
•On pose
˜
u(x, t) =hxcosωt et
u(x, t) = ¯u(x, t)−u(x, t)˜
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Mathématiques 2 2
Montrer queuest solution du problème
∂2u
∂t2 −c2∂2u
∂x2 =f(x, t) u(x,0) = 0
∂u
∂t(x,0) = 0 u(0, t) =u(1, t) = 0
(2)
où nous avons posé
f(x, t) =−hxω2cosωt
•Exprimer la solution de (2) sous la forme d’un développement en série de Fourier par rapport àx, à tfixé
u(x, t) =X
k
ak(t) sinkπx
(L’idée générale est de développer la solution par rapport aux fonctionsfonctions propresdu problème de statique associé au problème de vibration.)
Posons
ck = 2hω2 π
(−1)k k et
ωk=kcπ Montrer1que la fonctionak(t)vérifie l’équation différentielle
a00k+ωk2ak=ckcosωt
avec les conditions initiales
ak(0) =a0k(0) = 0
qui est l’équation d’un oscillateur linéaire soumis à une excitation périodique.
Corr.:
On reporte le développement en série de Fourier de u(x, t) dans l’équation et on dérive termes à termes surtout sans se poser de questions sur la validité des dérivations2! On obtient l’équation diffé- rentielle demandée.
•En déduire que, siω6=ωk
ak(t) = ck(cosωt−cosωkt) ωk2−ω2
1Noter, pourx∈[−1,1], le développement en série de Fourier
x= 2 π
X
k
(−1)k+1sinkπx k
2En fait on peut justifier ces calculs très facilement en dérivant au sens des distributions (cf. chapitre 6) : c’est un bel exemple où des calculs intuitivement juste se justifient mieux par une extension des concepts mathématiques usuels.
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et, siω=ωk
ak(t) = cktsinωkt 2ωk
Il suffit de reporter l’expression ci-dessus dans l’équation différentielle, à moins que l’on ne préfère retrouver soit même cette expression par application de la méthode dite “de la variation de la constan- te” à cette équation différentielle dont on connaît les solutions de l’équation homogène.
Noter que ces coefficients |ak(t)|tendent vers 0quand ktend vers l’infini comme k13 (car |ck|est en k1 etωk2 est enk2) ce qui permettra de montrer la convergence de la série de Fourier et de justi- fier la première dérivation terme à terme car la série dérivée est en k12 donc absolument convergente.
La deuxième dérivation est plus difficile à justifier car la série dérivée ne converge pas absolument (même sa convergence est non triviale il faut utiliser le critère d’Abel).
•Montrer que, siω6=ωk, les oscillations restent bornées sinon les oscillations “explosent”, la forme de la corde étant asymptotiquement celle de l’harmonique de rangk.
Corr.:
Siω6=ωknous avons vu que la série est majorée par une série numérique en k13 (il suffit de majorer tous les sinus, cosinus par1).
Siω = ωk cela reste vraie à condition de retirer le terme d’ordrek dans la série. Or ce terme tend vers l’infini avect. c’est le phénomène derésonance : la solution de l’équation des ondes pour une excitation dont la fréquence est une des fréquences propres explose linéairement avec le temps.
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