Analyse, séance 3 : exercices corrigés DÉFORMATION D’UNE MEMBRANE
Résumé
Le début de l’énoncé est dans le document intitulé “séance 3 : cours” . Il n’y a pas de corrigé distribué car cette séance est entièrement extraite du chapitre 7 du polycopié.
Modèle numérique
Choix d’un espace d’approximation Question 1
Soitwi(x)l’unique fonction deVhqui vaut1au nœudiet0aux autres nœuds.
•Vérifier que la donnée de valeurs arbitraires aux nœuds détermine une fonction deVhet une seule.
Corr. : § 7.2.4 p.159.
•Montrer que le support dewi(i.e.{x / wi(x)6= 0}) est formé des triangles dontiest sommet.
Corr. : § 7.2.4 p.160.
•Quelle est la dimension deVh ?
Corr. : La dimension deVhest le nombre de nœuds intérieurs.
Définition de la solution approchée Question 2
Suivant la méthode d’approximation présentée en cours, on définituh solution des deux problèmes équivalents :
∀v∈Vh J(uh)≤ J(v) (1)
∀v∈Vh a(uh, v) =L(v) (2)
On poseui=uh(xi), ce sont donc les composantes deuhdans la basewi.
•Montrer en utilisant les résultats de la question (1) que le vecteurU= (u1, . . ., uj, . . ., uN)t ∈ RN est solution du système :
K U=F
1
Mathématiques 2 2
avec :
Ki,j = Z
Ω
k∇wi(x)∇wj(x)dΩ Fi =
Z
Ω
f(x)wi(x)dΩ
Corr. : § 7.2.2
•Montrer que les seuls termesKi,j non nuls de la matriceKsont tels queietjsont reliés par un segment, en déduire le nombre maximal de termes non nuls sur une ligne deKdans le maillage de la figure (??). Une matrice dont beaucoup de termes sont nuls est ditecreuse
Corr. : p.161.
Calcul des coefficients du système linéaire Question 3
•Vérifier que cette matrice a pour seuls coefficients non nuls les coefficients situés à l’intersection des lignes et colonnes(i, j, k). Montrer que :
K=X
e
Kˆe
On appellematrice de raideur élémentaire, notéeKe, la matrice(3,3)formée par les coefficients non nuls deKˆe.
Corr. : p.161, 162.
Question 4
Soit un triangle rectangle isocèle de sommet(1,2,3)et de côtéh(fig.??).
•Dessiner les graphes des fonctions de base restreintes à ce triangle.
On poseSe = Surface(Ωe), montrer que les coefficients de la matrice de raideur élémentaire de ce triangle pour deux sommetsietjsont1:
Ke,i,j =k Se∇wi.∇wj
En déduire :
Ke= k 2
1 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1
(3)
Corr. : p.162.
1En remarquant que le gradient d’une fonction affine est constant
ECP 2006-2007 Analyse
Mathématiques 2 3
Question 5
•Pour le maillage de la figure ....
•En remarquant que la matrice élémentaire d’un triangle ne dépend que de sa forme, montrer que :
K=k
4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4
(4)
Corr. : La réponse est dans la question.
ECP 2006-2007 Analyse
