En déduire que ext(K)⊆S

M1 MIDO, Université Paris-Dauphine 18 Mars 2016 Examen partiel d'analyse convexe approfondie

La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la notation (en particulier, vous ferez attention à bien donner les hypothèses des théorèmes invoqués). Toute les questions peuvent être traitées en admettant les résultats des questions précédentes.

Exercice

Un point x d'un convexe K ⊆Rⁿ est extrémal s'il n'existe aucun y, z ∈K\ {x}, α∈]0,1[

tels que(1−α)y+αz =x.On noteext(K) l'ensemble des points extrémaux deK. Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. Soit K un ensemble convexe compact de Rⁿ, et f : Rⁿ → R une fonction strictement convexe. Montrer qu'il existe (au moins) un pointx^∗∈K réalisant le maximum dans

sup

x∈K

f(x), et que ce point x^∗ est un point extrémal deK.

2. Soit S⊆Rⁿ un ensemble ni et K = conv(S). Montrer que si x est dans K\ {S}, alors x n'est par extrémal. En déduire que ext(K)⊆S.

Problème

SoitG:Rⁿ×R^m →Rune fonction convexe. On suppose queG est coercive par rapport à sa seconde variable : pour toutx∈Rⁿ on alimkzk→∞G(x, z) = +∞.

3. Montrer que la fonction

g:x∈Rⁿ7→ min

z∈R^m

G(x, z) est bien dénie, puis que epi(g) = Π(epi(G))où

Π :Rⁿ×R^m×R→Rⁿ×R (x, z, t)7→(x, t)

En déduire que la fonction g est convexe.

Dorénavant on xe une fonction convexef :Rⁿ→R, et pour toutτ >0 on note fτ :x∈Rⁿ7→ inf

z∈Rⁿ

f(z) + 1

2τ kx−zk². (1)

4. Démontrer que pour tout points x, z∈Rⁿ,f(z)−f(x)≥f⁺(x;z−x).

5. On suppose que f estM-Lipschitz sur la bouleB(x, r)où r >0. Montrer alors que

∀v∈Rⁿ, f⁺(x;v)≥ −Mkvk,

puis que ∀z∈Rⁿ, f(z)−f(x)≥ −Mkz−xk. (2) 1

6. Déduire de la question précédente (et de théorèmes du cours) que pour tout pointxinRⁿ, il existeM ≥0tel quef(z)≥f(x)−Mkz−xk, puis quelim_kzk→∞f(z)+_2τ¹ kx−zk² = +∞.

7. En utilisant la question 3., en déduire la fonction f_τ est convexe.

8. Démontrer qu'il existe un unique point z∈Rⁿ réalisant l'inmum dans (1).

On vient donc d'établir que pour tout x ∈ Rⁿ il existe un unique point de Rⁿ, que l'on noterapτ(x), vériant l'égalité

f_τ(x) =f(p_τ(x)) + 1

τ kx−p_τ(x)k².

Nous allons maintenant calculer le gradient defτ enx en fonction depτ(x).

9. Soit x∈Rⁿ etxτ :=pτ(x). Démontrer que







∀y∈Rⁿ, f_τ(y)≤f(x_τ) + 1

2τ ky−x_τk² f_τ(x) =f(x_τ) + 1

2τ kx−x_τk² En posanty=x+εv (oùv∈Rⁿ etε >0), en déduire que

fτ(x+εv)−fτ(x)≤ ε²kvk²

2τ +εhv|x−xτ

τ i.

puis que f_τ⁺(x;v)≤ hv|x−xτ

τ i.

10. Soit g : Rⁿ → R une fonction sous-linéaire. Montrer que s'il existe un vecteur w tel que

∀v∈Rⁿ, g(v)≤ hv|wi, alors g est linéaire. Montrer alors queg(v) =hv|wi. 11. En déduire quefτ est Gâteaux-diérentiable enx et que ∇f_τ(x) = ¹_τ(x−pτ(x)).

On va maintenant montrer quelimτ→0f_τ =f et quef_τ est C¹. Pour simplier, on suppose maintenant f minorée par une constanteC (i.e. f ≥C surRⁿ).

12. Soitx∈Rⁿetxτ :=pτ(x). Montrer queC≤f(xτ) +_2τ¹ kx−xτk²≤f(x).En déduire que 1

2τ kx−xτk² ≤f(x)−C puis que limτ→0x_τ =x etlimτ→0f_τ(x) =f(x).

13. Soit (xn) une suite de points deRⁿ convergeant versx∈Rⁿet soit zn=pτ(xn).

(i) En utilisant l'inégalité de la question précédente, montrer que la suite(z_n)est bornée.

(ii) Montrer que z =p_τ(x) si et seulement sif_τ(x) =f(z) +¹₂kx−zk². En déduire que toute sous-suite convergente de(zn)convergepτ(x), puis quelimn→∞pτ(xn) =pτ(x).

En conclure quef_τ estC¹ surRⁿ(indication : montrer la continuité des dérivées partielles).

14. Démontrer quef_τ resteC¹ même en supposant seulementf :R⁺ →R convexe non néces- sairement minorée.

(Indication : Utiliser l'inégalité (2) de la question 5. et la même stratégie que dans la question précédente.)

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