M1 MIDO, Université Paris-Dauphine 18 Mars 2016 Examen partiel d'analyse convexe approfondie
La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la notation (en particulier, vous ferez attention à bien donner les hypothèses des théorèmes invoqués). Toute les questions peuvent être traitées en admettant les résultats des questions précédentes.
Exercice
Un point x d'un convexe K ⊆Rn est extrémal s'il n'existe aucun y, z ∈K\ {x}, α∈]0,1[
tels que(1−α)y+αz =x.On noteext(K) l'ensemble des points extrémaux deK. Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.
1. Soit K un ensemble convexe compact de Rn, et f : Rn → R une fonction strictement convexe. Montrer qu'il existe (au moins) un pointx∗∈K réalisant le maximum dans
sup
x∈K
f(x), et que ce point x∗ est un point extrémal deK.
2. Soit S⊆Rn un ensemble ni et K = conv(S). Montrer que si x est dans K\ {S}, alors x n'est par extrémal. En déduire que ext(K)⊆S.
Problème
SoitG:Rn×Rm →Rune fonction convexe. On suppose queG est coercive par rapport à sa seconde variable : pour toutx∈Rn on alimkzk→∞G(x, z) = +∞.
3. Montrer que la fonction
g:x∈Rn7→ min
z∈Rm
G(x, z) est bien dénie, puis que epi(g) = Π(epi(G))où
Π :Rn×Rm×R→Rn×R (x, z, t)7→(x, t)
En déduire que la fonction g est convexe.
Dorénavant on xe une fonction convexef :Rn→R, et pour toutτ >0 on note fτ :x∈Rn7→ inf
z∈Rn
f(z) + 1
2τ kx−zk2. (1)
4. Démontrer que pour tout points x, z∈Rn,f(z)−f(x)≥f+(x;z−x).
5. On suppose que f estM-Lipschitz sur la bouleB(x, r)où r >0. Montrer alors que
∀v∈Rn, f+(x;v)≥ −Mkvk,
puis que ∀z∈Rn, f(z)−f(x)≥ −Mkz−xk. (2) 1
6. Déduire de la question précédente (et de théorèmes du cours) que pour tout pointxinRn, il existeM ≥0tel quef(z)≥f(x)−Mkz−xk, puis quelimkzk→∞f(z)+2τ1 kx−zk2 = +∞.
7. En utilisant la question 3., en déduire la fonction fτ est convexe.
8. Démontrer qu'il existe un unique point z∈Rn réalisant l'inmum dans (1).
On vient donc d'établir que pour tout x ∈ Rn il existe un unique point de Rn, que l'on noterapτ(x), vériant l'égalité
fτ(x) =f(pτ(x)) + 1
τ kx−pτ(x)k2.
Nous allons maintenant calculer le gradient defτ enx en fonction depτ(x).
9. Soit x∈Rn etxτ :=pτ(x). Démontrer que
∀y∈Rn, fτ(y)≤f(xτ) + 1
2τ ky−xτk2 fτ(x) =f(xτ) + 1
2τ kx−xτk2 En posanty=x+εv (oùv∈Rn etε >0), en déduire que
fτ(x+εv)−fτ(x)≤ ε2kvk2
2τ +εhv|x−xτ
τ i.
puis que fτ+(x;v)≤ hv|x−xτ
τ i.
10. Soit g : Rn → R une fonction sous-linéaire. Montrer que s'il existe un vecteur w tel que
∀v∈Rn, g(v)≤ hv|wi, alors g est linéaire. Montrer alors queg(v) =hv|wi. 11. En déduire quefτ est Gâteaux-diérentiable enx et que ∇fτ(x) = 1τ(x−pτ(x)).
On va maintenant montrer quelimτ→0fτ =f et quefτ est C1. Pour simplier, on suppose maintenant f minorée par une constanteC (i.e. f ≥C surRn).
12. Soitx∈Rnetxτ :=pτ(x). Montrer queC≤f(xτ) +2τ1 kx−xτk2≤f(x).En déduire que 1
2τ kx−xτk2 ≤f(x)−C puis que limτ→0xτ =x etlimτ→0fτ(x) =f(x).
13. Soit (xn) une suite de points deRn convergeant versx∈Rnet soit zn=pτ(xn).
(i) En utilisant l'inégalité de la question précédente, montrer que la suite(zn)est bornée.
(ii) Montrer que z =pτ(x) si et seulement sifτ(x) =f(z) +12kx−zk2. En déduire que toute sous-suite convergente de(zn)convergepτ(x), puis quelimn→∞pτ(xn) =pτ(x).
En conclure quefτ estC1 surRn(indication : montrer la continuité des dérivées partielles).
14. Démontrer quefτ resteC1 même en supposant seulementf :R+ →R convexe non néces- sairement minorée.
(Indication : Utiliser l'inégalité (2) de la question 5. et la même stratégie que dans la question précédente.)
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