Dans les deux problèmes, il sera beaucoup tenu compte de la qualité de la rédaction. En particulier, les théorèmes d'analyse doivent être cités précisément.

MPSI B 2010-2011 DS 5 29 juin 2019

Dans les deux problèmes, il sera beaucoup tenu compte de la qualité de la rédaction. En particulier, les théorèmes d'analyse doivent être cités précisément.

Pb I. Équation fonctionnelle

L'objectif du problème est d'étudier l'ensemble noté E des fonctions continues de R dans R solutions d'une certaine équation fonctionnelle

. Soit f ∈ C

( R , R ) quelconque,

f ∈ E ⇔ ∀(x, y) ∈ R

: f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y)

On pourra utiliser librement le résultat suivant dont la démonstration n'est pas demandée.

Soit a un réel strictement positif xé et D

= n

a p

2

tq p ∈ Z , q ∈ N o

tout nombre réel est alors la limite d'une suite d'éléments de D

.

Partie I.

1. Montrer que la fonction cos est dans E .

2. Exprimer pour x et y réels ch(x+y) à l'aide des fonctions ch et sh en x et y . En déduire que la fonction ch est dans E .

3. Soit f ∈ E et α ∈ R. Montrer que la fonction f

dénie par x 7→ f

(x) = f (αx) est dans E .

4. On xe un élément f ∈ E . Montrer que : a. f (0) ∈ {0, 1}

b. Si f (0) = 0 alors f est la fonction identiquement nulle.

c. Si f (0) = 1 alors f est une fonction paire.

1d'après Épreuve spécique Mines d'Albi 2000 dont l'origine remonte à "Leçons sur quelques équations fonctionnelles" E Picard 1928. VoirAeqfonc2.pdf

Partie II.

La partie F est constituée par les éléments de E autres que la fonction identiquement nulle et qui s'annulent au moins une fois. Dans toute cette partie f désigne une fonction de F xée. On pose

E = {x > 0 tq f (x) = 0}

1. a. Montrer que f (0) = 1 et que f s'annule au moins une fois sur R

.

b. Montrer que E admet une borne inférieure que l'on notera a . Cette notation est valable pour toute la suite de la partie.

c. Prouver que f (a) = 0 . En déduire a > 0 . d. Montrer que pour tous les x ∈ [0, a[ , f (x) > 0 . 2. On dénit un réel ω et une fonction g dans R :

ω = π

2a g : x 7→ cos(ωx) a. Soit q un entier naturel, montrer que

f ( a

2

) + 1 = 2 f ( a

2

)

b. En déduire que pour tout entier naturel q :

f ( a

2

) = g( a 2

) c. Prouver que f (x) = g(x) pour tout x ∈ D

. 3. Montrer que f = g . En déduire tous les éléments de F . Partie III.

Dans toute cette partie, f désigne une fonction de E qui ne s'annule pas.

1. On dénit par récurrence une suite avec les relations u

= 1

√ 2 , ∀n ∈ N : u

=

r 1 + u

2

Montrer que cette suite est croissante, majorée par 1 et préciser sa limite.

2. a. Montrer que f (x) ≥

2

pour tout x réel.

b. Montrer que f (x) ≥ 1 pour tout x réel.

3. Montrer qu'il existe un réel α ≥ 0 tel que

∀x ∈ R : f (x) = ch(αx)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

MPSI B 2010-2011 DS 5 29 juin 2019

Pb II. Une énumération des rationnels strictement positifs

L'objet de ce problème est de former une bijection entre N et l'ensemble des rationnels strictement positifs

.

On utilise les notations bxc et {x} pour désigner la partie entière et la partie fractionnaire d'un nombre réel x . On a donc

∀x ∈ R : x = bxc + {x} avec bxc ∈ Z et 0 ≤ {x} < 1 On dénit diverses fonctions f , g , r , ρ , l , λ :

f :







[0, +∞[→]0, +∞[

x → 1

bxc + 1 − {x}

g :



 

 



 

 



]0, +∞[→ [0, +∞[

x →



 

  b 1

x c + 1 − { 1 x } si 1

x 6∈ N

1

x − 1 si 1 x ∈ N

r :







[0, +∞[→ [0, 1[

x → x 1 + x

ρ :







[0, 1[→ [0, +∞[

x → x 1 − x

l :

( [0, +∞[→ [1, +∞[

x → x + 1 λ :

( [1, +∞[→ [0, +∞[

x → x − 1

On dénit le poids noté π(x) d'un rationnel x par π(x) = p + q lorsque x =

(avec p et q entiers) est une écriture irréductible de x .

Pour tout nombre naturel n supérieur ou égal à 2 , on désigne par C

l'ensemble des ration- nels strictement positifs de poids égal à n et par W

l'ensemble des rationnels strictement positifs de poids inférieur ou égal à n . On convient que la représentaion irréductible d'un entier n est

, son poids est donc n + 1 .

On dénit une suite (u

)

N

par : u

= 1

∀n ∈ N : u

= f (u

) 1. a. Préciser C

, C

, C

.

2suite de Calkin-Wilf-Newman d'après Proofs from The Book Springer

b. Préciser les u

, pour i entre 1 et 7 . c. Pour x réel, préciser bx + 1c et {x + 1} .

2. a. Montrer que les fonctions f et g sont des bijections réciproques l'une de l'autre.

b. Montrer que les fonctions r et ρ sont des bijections réciproques l'une de l'autre.

c. Montrer que les fonctions l et λ sont des bijections réciproques l'une de l'autre.

3. a. Montrer que f (x) =

pour tout x ∈ [0, 1[ . b. Montrer que f ◦ r = l .

c. Montrer que r ◦ f = f ◦ l . d. Montrer que l ◦ f = f ◦ f ◦ l .

4. a. Montrer que u

6= 1 pour tout entier naturel n non nul.

b. Pour tous naturels p et q , montrer que p < q entraine u

6= u

.

5. a. Soit x =

un nombre rationnel strictement positif avec p et q naturels. Montrer que π(x) ≤ p + q .

b. Montrer que π(λ(x)) < π(x) lorsque x est un nombre rationnel strictement plus grand que 1 .

c. Montrer que π(ρ(x)) < π(x) lorsque x est un nombre rationnel dans ]0, 1[ . 6. Montrer que pour tout nombre rationnel x strictement positif, il existe un unique entier

naturel n tel que u

= x .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2