Analyse, séance 3 : exercices
DÉFORMATION D’UNE MEMBRANE
Résumé
Le début de l’énoncé est dans le document intitulé “séance 3 : cours” . Il n’y a pas de corrigé distribué car cette séance est entièrement extraite du chapitre 7 du polycopié.
Modèle numérique
4 8
1 2 5
3
9 6 7 1 4
1 0 1 3
1 5
1 7 1 8 1 9 2 0 1 2
1 6 2 3
2 1 2 2
1 1
FIG. 1 – Un maillage
Choix d’un espace d’approximation
On suppose pour la suite que le bord deΩest polygonal. On choisit des points, que nous appel- leronsnœuds, bien répartis dansΩet sur son bord ; on découpeΩen petits triangles ayant ces points pour sommets (fig. 1). On obtient ce que l’on appelleun maillage en trianglesdeΩ. On suppose qu’il y aN nœuds intérieursxi(i.e. non situés sur le bord, les points du bord ont des numéros supérieurs à N). SoitVhle sous espace deV0, formé des fonctionscontinuesaffines par morceaux sur ce maillage (i.e. de la formea+bx+cysur chaque triangle).
On admettra, ce qui est intuitivement clair, qu’il est possible d’approcher une fonction “régulière”
quelconqueu∈V0 par une fonction deVh. Question 1
1
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Soitwi(x)l’unique fonction deVhqui vaut1au nœudiet0aux autres nœuds.
•Vérifier que la donnée de valeurs arbitraires aux nœuds détermine une fonction deVhet une seule.
En déduire que sivest une fonction quelconque deVhde valeurs aux nœudsvi =vh(xi)on a : vh(x) =X
j
vj wj(x) (1)
ce qui signifie que les fonctionswj(x)forment une base deVh.
•Montrer que le support dewi(i.e.{x / wi(x)6= 0}) est formé des triangles dontiest sommet.
•Quelle est la dimension deVh ?
Définition de la solution approchée Question 2
Suivant la méthode d’approximation présentée en cours, on définituh solution des deux problèmes équivalents :
∀v∈Vh J(uh)≤ J(v) (2)
∀v∈Vh a(uh, v) =L(v) (3)
On poseui=uh(xi), ce sont donc les composantes deuhdans la basewi.
•Montrer en utilisant les résultats de la question (1) que le vecteurU= (u1, . . ., uj, . . ., uN)t ∈ RN est solution du système :
K U=F avec :
Ki,j = Z
Ω
k∇wi(x)∇wj(x)dΩ Fi =
Z
Ω
f(x)wi(x)dΩ
•Montrer que les seuls termesKi,j non nuls de la matriceKsont tels queietjsont reliés par un segment, en déduire le nombre maximal de termes non nuls sur une ligne deKdans le maillage de la figure (1). Une matrice dont beaucoup de termes sont nuls est ditecreuse
Pour trouver la position de la membrane, il faut donc résoudre un système à matrice symétrique définie positive et creuse, ce qui peut être fait avec des méthodes très efficaces (Cholesky avec numérotation optimale ou gradient conjugué) ; il reste à calculer de façon algorithmique les coefficients de ce système.
Calcul des coefficients du système linéaire Question 3
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FIG. 2 – Un triangle élémentaire
SoitΩeun triangle du maillage de sommets(i, j, k)1, on noteKˆela matrice qui est définie comme Kmais en remplaçantΩparΩe.
•Vérifier que cette matrice a pour seuls coefficients non nuls les coefficients situés à l’intersection des lignes et colonnes(i, j, k). Montrer que :
K=X
e
Kˆe
On appellematrice de raideur élémentaire, notéeKe, la matrice(3,3)formée par les coefficients non nuls deKˆe
Question 4
Soit un triangle rectangle isocèle de sommet(1,2,3)et de côtéh(fig. 2).
•Dessiner les graphes des fonctions de base restreintes à ce triangle.
On poseSe = Surface(Ωe), montrer que les coefficients de la matrice de raideur élémentaire de ce triangle pour deux sommetsietjsont2:
Ke,i,j =k Se∇wi.∇wj
En déduire :
Ke= k 2
1 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1
(4)
Un triangle, muni de fonctions d’interpolation affines, des trois nœuds sommets et de la matrice de raideur élémentaire3Keconstitue ce que l’on appelleun élément finipour l’opérateur laplacien, dit ici de type T3.
1Si un sommet est sur le bord rappelons que son numéro est supérieur àNpar convention
2En remarquant que le gradient d’une fonction affine est constant
3Pour des triangles ayant des sommets sur le bord on calcule la matrice comme pour des nœuds intérieurs, bien que certains termes n’interviennent pas dansKˆe
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FIG. 3 – Un maillage simple
Question 5
•Pour le maillage de la figure 3, dessiner le support des fonctions de base et identifier les triangles qui contribuent à un élément de la matrice.
•En remarquant que la matrice élémentaire d’un triangle ne dépend que de sa forme, montrer que :
K=k
4 −1 0 −1
−1 4 −1 0
0 −1 4 −1
−1 0 −1 4
(5)
(Remarquer qu’en dimension 2 la matrice ne dépend pas deh, maish2figure dans les coefficients du second membre). Vérifier que l’on retrouve ici, pour un maillage régulier, les mêmes équations que par la méthode des différences finies.
Conclusion
On a développé une méthode générale pour résoudre le problème de la membrane pour un do- maine de forme quelconque, ou, autrement dit, une équation de Poisson avec des conditions aux bords de type “Dirichlet homogène” (i.e.u = 0). Il faut adapter cette méthode à la prise en compte de conditions aux limites linéaires plus générales (conditions de flux ou de convection) et permettre l’utilisation d’approximations plus précises (éléments quadratiques, utilisation de quadrilatères. . .).
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