Analyse, séance 4 : exercices corrigés LA MISE EN OEUVRE
Question 1
Un exemple en dimension 1
• Définir une formulation variationnelle et un principe du minimum pour le problème aux limites
suivant :
−d2u
dx2 +u = q(x) sur]0,1[
u(0) =u(1) = 0
(1) Corr. :
On multiplie parvl’équation différentielle et on intègre
∀v∈C1([0,1]) Z 1
0
−d2u
dx2v+uv dx= Z 1
0
qv dx
On intègre par parties le premier terme
∀v ∈C1([0,1]) Z 1
0
du dx
dv
dx+uv dx+ [u0v]10 = Z 1
0
qv dx
On poseV0={v∈C1([0,1])/ v(0) =v(1) = 0}. Pouru, v∈V0le crochet est nul, on a donc
∀v∈V0
Z 1 0
du dx
dv
dx+uv dx= Z 1
0
qv dx D’où la formulation faible
u∈V0
∀v ∈V0, a(u, v) =L(v) (2)
avec
a(u, v) = Z 1
0
du dx
dv
dx+uv dx qui est une forme bilinéaire symétrique définie positive surV0 et
L(v) = Z 1
0
qv dx
1
Mathématiques 2 2
qui est une forme linéaire surV.
La formulation (2) est équivalente à (1) : montrons le en démontrant la réciproque : Soitusolution de (2), après intégration par parties, il vient
∀v∈V Z 1
0
(−d2u
dx2 +u−q)v dx+ [u0v]10 = 0 Choisissonsv / v(0) =v(1) = 0, il vient
∀v∈V0([0,1]) Z 1
0
(−d2u
dx2 +u−q)v dx= 0
d’où l’on déduit (lemme 2 , §3.3.1 du polycopié) queuvérifie l’équation différentielle.
•Définir une solution approchéeuh dans l’espaceVh des fonctions continues affines par morceaux sur un découpage de pashde l’intervalle[0,1]et nulles sur le bord.
Corr.:
uh∈Vh
∀v∈V, a(uh, v) =L(v) (3)
•Décrire les fonctions de la base naturelle deVhet calculer complètement la matrice de raideur du système qui définituhdans cette base (on calculera les intégrales de fonctions du second degré par la formule de Simpson). Comparer avec les équations obtenues par différences finies.
Corr.:
On prend h = N+11 . Il y aN fonctions de base : pour1 ≤ i ≤ N , la fonctionwi est la fonction
“triangle”, nulle sur[0,(i−1)h]et[(i+ 1)h,1]et égale à1enih.
Les coefficients de la matrice de raideur Ki,j=
Z 1 0
dwi
dx dwj
dx +wiwj dx
sont des intégrales qui se calculent comme des sommes d’intégrales sur les intervalles[kh,(k+ 1)h].
Seuls interviennent dans le calcul les intervalles dontihetjhsont des extrémités, ce qui fait, sii=j, deux intervalles ([(i−1)h, ih]et[ih,(i+ 1)h]) et, si6=j, un seul ([ih, jh]). La formule de Simpson est une formule approchée pour calculer l’intégrale d’une fonctionf(x)sur un petit intervalle[a, b]
Z b a
f(x)dx'(b−a)(f(a) + 4f(a+b2 ) +f(b)) 6
qui est exacte pour les polynômes du second degré, ce qui est le cas ici. On l’utilise pour calculer par exempleKi,j1 =R(i+1)h
ih wiwj dx. PourKi,j0 = R(i+1)h ih
dwi
dx dwj
dx +wiwj dxon aKi,j0 =h dwdxidwdxj car les dérivées sont constantes.
Kest la somme des matrices tridiagonalesK0etK1telle que K0i,i= 2
h, K0i,j =−1
h si|i−j|= 1, K0i,j = 0sinon K1i,i= 4h
6 , K1i,j = h
6 si|i−j|= 1, K1i,j = 0sinon
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Ce qui conduit à une équation courante
−ui−1−2ui+ui+1
h +hui−1+ 4ui+ui+1
6 =hqi
Après division parhon reconnaît une approximation aux différences finies, dans laquelle la valeur de uest calculée par une moyenne sur trois points.
Noter le caractère automatique de la construction du système d’équation, dès que l’espaceVhet une base ont été choisis, cela sera mis à profit pour construire des logiciels très généraux.
Question 2
Un exemple en dimension 2 ....
•Montrer l’équivalence du problème (??) et de la formulation faible ...
Corr.:
On procède exactement comme au paragraphe 3.3 du polycopié (par rapport à l’exemple du § 3.3, le bordΓ1 est vide.
Question 3
Approximation ...
•Rappeler les principes de construction du système : K U=F qui détermineuh.
Corr.:
Voir le §7.2.5 du polycopié.
Question 4
Un programme de calcul
....
...
• Soit un domaineΩcarré, découpé en 4 triangles rectangles isocèles à partir de son centre. On a doncne= 4,np= 5, préciser les tableaux COORD et ELEM .
Corr.:
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1
1 22
3 3 4
4
5 5 1 1
2 2
3 3 4 4
FIG. 1 – Carré découpé en quatre triangles rectangles isocèles.
On donne le numéro5au nœud du centre et1,2,3,4aux quatre sommets du carré, on suppose que le côté du carré a pour longueurhet on place l’origine au nœud4
ELEM=
5 3 2 5 2 1 5 1 4 5 4 3
COORD=
0 h h h h 0 0 0
h 2
h 2
(4)
•Faire “tourner” à la main le programme ci-dessus sur cet exemple.
•Écrire un programme de calcul des matrices de raideur élémentaire associées au terme Z
Ω
k∇u .∇v dΩ Corr.:
Polycopié § 7.2.5 p. 170.
•Écrire un programme de calcul des termes du second membreFassociés àR
Ωqv dΩ.
Corr.:
Polycopié § 7.2.5 p. 170, 171.
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