Séance 1 : Exercices corrigés CALCUL DIFFÉRENTIEL

Séance 1 : Exercices corrigés CALCUL DIFFÉRENTIEL

Objectifs

Les notions de différentielle, gradient... d’une fonction en dimension finie et infinie. Exercices d’illustration et calcul des différentielles. Quelques applications.

Notations

On noteV un espace vectoriel normé,xun point deV,F une fonction deV dansR.< x, y >=

P

ix_iy_iest le produit scalaire canonique deRⁿ. Question 1

Fonction quadratique

SoitV =Rⁿ,Aune matrice symétrique définie positive de dimensionn,b∈Rⁿ.

•SoitF(x) = ¹₂hAx, xi − hb, xi, montrer que

DF(x).h=hAx−b, hi et, pour le produit scalaire canonique

∇F(x) =Ax−b

Le plus simple est de calculer directement l’expression

∀h∈V DF(x).h= d

dtF(x+th)|_t=0

On développe ent et on garde le coefficient d’ordre 1 en t, soit ¹₂(hAx, hi+iAh, xi) − hb, hi et, compte tenu de la symétrie deA,hAx, hi − hb, hi, d’où

DF(x).h=hAx−b, hi

•Les points pour lesquelsDF(x) = 0sont donc solution deAx=b. Si la matriceAest symétrique

définie positive¹l’extrémum est unique et c’est un minimum. Intérêt pour la résolution des systèmes linéaires ?

La résolution d’un système linéaire à matrice symétrique définie positive Ax=b

est donc équivalente à la recherche de la solution du problème d’optimisation

x∈minRⁿ

1

2hAx, xi − hb, xi

Nous étudierons dans la séance 3 des méthodes d’optimisation bien adaptées à ce problème.

Question 2

Une fonction non quadratique en dimension finie

SoitV =Rⁿ,Aune matrice symétrique définie positive de dimensionn,b∈Rⁿ.

•Soit

F(x) =1

2 <Ax, x >+1

4kxk⁴₄−< b, x >

CalculerDF(x)et∇F(x).

Le plus simple est de calculer directement, terme à terme, l’expression

∀h∈V DF(x).h= d

dtF(x+th)|_t=0

− Pour _dt^d1₂ <A(x+th), x+th >|_t=0, on développe entet on garde le coefficient d’ordre 1 ent, soit ¹₂(<Ax, h >+<Ah, x >)et, compte tenu de la symétrie deA,<Ax, h >

− pour _dλ^d P

i1

4|x_i +th⁴_i|_t=0, en dérivant la fonction composée ¹₄(x_i +th_i)⁴, on obtient x³_ih_i. Finalement

∀h∈V DF(x).h=<Ax, h >+< x³, h >−< b, h >

oùx³est le vecteur de composantes(x³)i=x³_i. On en déduit

∇F(x) =Ax+x³−b Quels sont les points pour lesquelsDF(x) = 0?

Les extrémums sont donc solutions du système non linéaire Ax+x³ =b

•CalculerHF(x).

On a

<HF(x)h, h >= d²

dλ²F(x+λh) =<Ah, h >+X

i

3x²_ih²_i

1i.e.∀x6= 0 hAx, xi i0

SoitDla matrice diagonale avecdi,i= 3x²_i, il vient

<HF(x)h, h >=<(A+D)h, h >

Quelle est la nature des extrémums ?

La matriceA+Dest symétrique définie positive comme chacune des deux matricesAetD. Les ex- trémums sont donc des minimums. Nous montrerons dans la séance suivante, en utilisant la convexité de la fonction, qu’il y a un seul extrémum et que c’est un minimum.

Question 3

Une fonction quadratique en dimension infinie SoitV =C¹([0,1],u∈V etf ∈C([0,1])

J(v) = Z 1

0

1

2v⁰(x)²+1

2v(x)²−f(x)v(x)dx

•Calculer la différentielle au sens de Gateaux deJ(v).

DJ(v).h= d

dtJ(v+th)|t= 0

on peut développer l’expression de la fonction par rapport àtou calculer en dérivant sous le signe somme ; il ne reste plus qu’à dériver des fonctions d’une variable réelle, il vient

DJ(v).h= Z 1

0

v⁰h⁰+vh−f hdx

•On munitV du produit scalaire et de la norme deL²([0,1]),J(v)est-elle différentiable au sens de Fréchet ?

Non, la forme linéaireR1

0 v⁰h⁰dxsurV muni de la norme deL²([0,1])n’est pas continue (on peut faire “exploser”h⁰tout en faisant tendrekhk₂vers 0).

•SoitV₀ le sous-espace deC²([0,1])∩V formé des fonctions nulles en0et1. On considèreJ(v) comme une fonction surV0. Montrer que, pour le produit scalaire deL²([0,1]),

∇J(v) =−v” +v−f On intègre par partieR1

0 v⁰h⁰dx Z ₁

0

v⁰h⁰dx= Z ₁

0

−v⁰⁰h dx+v⁰(1)h(1)−v⁰(0)h(0)

or le crochet et nul carh(0) =h(1) = 0d’où DJ(v).h=

Z 1 0

(−v⁰⁰+v−f)h dx=h−v⁰⁰+v−f, hi

le produit scalaire étant celui deL²([0,1]), d’où le résultat (même si ce n’est pas l’usage d’utiliser la notation gradient dans ce contexte). Noter que−v⁰⁰+v−f n’est pas dansV₀.

Peut-on définir de même∇J(v)surV pour le produit scalaire deL²([0,1])? On fait la même transformation, il vient

DJ(v).h= Z 1

0

(−v⁰⁰+v−f)hdx+v⁰(1)h(1)−v⁰(0)h(0) =h−v⁰⁰+v−f, hi+v⁰(1)h(1)−v⁰(0)h(0) la différentielle ne s’exprime pas ici comme le produit scalaire de deux fonctions de L²([0,1]).

Nous n’irons pas plus loin dans l’analyse de cette difficulté (V n’est pas complet pour la norme de L²([0,1]), la différentielle n’est pas continue), on en retiendra que la notion de gradient en dimension infinie n’est à manipuler que de façon heuristique, ce n’est que dans la cadre des espaces de Hilbert qu’elle prend un sens.

Quels sont les extrémums deJ(v) surV0 ? (Nous verrons ultérieurement, en utilisant la convexité de la fonctionJ(v)qu’il n’y a qu’un extrémum et que c’est un minimum).

En un extrémum

∀h∈V₀, DJ(v).h= Z 1

0

(−v⁰⁰+v−f)h dx= 0

Nous admettrons que sig∈C([0,1])

∀h∈V0, Z 1

0

gh dx= 0 ⇒ g= 0

(Si on ne veut pas l’admettre : sig(x0)6= 0, alorsg(x)ne change pas de signe sur un petit intervalle [x₀−, x₀+], on obtient une contradiction en prenant h(x) définie parh(x) = (x−(x₀−))³((x₀+ )−x)³sur cet intervalle et0ailleurs, ce qui est bien dansV₀.) d’où

−v⁰⁰+v=f Question 4

Généralisation : le “calcul des variations”

Voir le cours.

SoitV₀ l’espace des fonctions deC¹([0,1])telle quev(0) = v(1) = 0etg(t, x, y) ∈ C¹(R³). On définit surV0la fonction

J(u) = Z L

0

g(x, u(x), u⁰(x))dx (1)

•CalculerDJ(u).

DJ(u).v= d

dtJ(u+tv)|t= 0 = d dt(

Z _L

0

g(x, u+tv, u⁰+tv⁰)dx)|_t=0

On dérive sous le signe somme DJ(u).v =

Z L

0

∂g(x, u, u⁰)

∂u v+ ∂g(x, u, u⁰)

∂u⁰ v⁰ dx

•En ajoutant des hypothèses de régularité, calculer∇J(u)pour le produit scalaire deL²([0,1]).

Siu, g ∈C²([0,1]), il vient en intégrant par partie le termev⁰et en tenant compte de ce que le crochet est nul

DJ(u).v = Z L

0

(∂g(x, u, u⁰)

∂u − d

dx

∂g(x, u, u⁰)

∂u⁰ )v(x)dx=<− d dx

∂g(x, u, u⁰)

∂u⁰ +∂g(x, u, u⁰)

∂u , v >

D’où le résultat avec les précautions d’usage sur la notion de gradient.

En déduire qu’un extrémum de la fonctionJ(v)vérifiel’équation d’Euler

− d dx(∂g

∂u⁰) +∂g

∂u = 0 (2)

On écrit que la différentielle est nulle. D’où

∀v∈V₀, <− d dx

∂g(x, u, u⁰)

∂u⁰ +∂g(x, u, u⁰)

∂u , v >= 0

ce qui implique, comme nous l’avons montré à la question précédente

− d dx

∂g(x, u, u⁰)

∂u⁰ +∂g(x, u, u⁰)

∂u = 0

•Applications :

J(v) = Z 1

0

v⁰² 2 + v⁴

4 −f v dx

on a ∂g

∂u⁰ =u⁰ (3)

et ∂g

∂u =u³−f (4)

d’où

− d dx(∂g

∂u⁰) +∂g

∂u =−u⁰⁰+u³−f (5)

et donc, siuest un minimum deJ(v)surV₀

−u⁰⁰+u³ =f (6)

u(0) =u(1) = 0 (7)

Nous verrons dans la séance suivante pourquoi ce minimum est unique.