Exercices sur le calcul différentiel

(1)

Calcul différentiel

Différentielle

Exercice 1 [ 00031 ][correction]

a) Soitf :Mn(R)→ Mn(R) définie parf(M) =M².

Justifier quef est différentiable et déterminer la différentielle de f en tout M ∈ M_n(R).

b) Soitf :M_n(R)→Rdéfinie parf(M) = tr(M³).

Justifier quef est différentiable et calculer la différentielle def en tout M ∈ Mn(R).

Montrer que l’application

P7→

Z 1 0

P(t)²dt

définie surE=Rn[X] est différentiable et exprimer sa différentielle.

Justifier que la fonctionf :C^?→Cdéfinie parf(z) = 1/z est différentiable et calculer sa différentielle.

a) Justifier que l’application det :Mn(R)→Rest différentiable.

b) Calculer la différentielle de det enIn puis en toute matriceM inversible.

c) En introduisant la comatrice deM, exprimer la différentielle de det en tout M ∈ Mn(R).

Déterminer la différentielle enIn puis enM ∈GLn(R) deM 7→M⁻¹.

SoientE etF deuxR-espaces vectoriels de dimension finies etϕ:E×E→F une application bilinéaire.

Etablir queϕest différentiable et calculer sa différentielle dϕ.

Sip∈N, soit

fp: (x, y)∈R²\ {(0,0)} 7→(x+y)^psin 1 px²+y²

a) Condition nécessaire et suffisante pour quef_p se prolonge par continuité en (0,0) ?

b) La condition de a) étant remplie, condition nécessaire et suffisante pour que le prolongement obtenu soit différentiable en (0,0) ?

SoientE un espace euclidien etuun endomorphisme symétrique de E.

a) Montrer que l’applicationf :x∈E7→(u(x)|x) est différentiable surE et calculer sa différentielle en tout point.

b) Montrer que l’application

F:x∈E\ {0E} 7→ (u(x)|x) (x|x) est différentiable surE\ {0E}et que sa différentielle vérifie

dF(a) = ˜0⇔aest vecteur propre deu

Soitf :E→F différentiable vérifiantf(λx) =λf(x) pour toutλ∈Ret tout x∈E.

Montrer que l’applicationf est linéaire.

SoientE=C^∞(Rⁿ,R),E^? le dual deE et D=

d∈E^?/∀(f, g)∈E², d(f g) =f(0)d(g) +g(0)d(f) a) Montrer queDest un sous-espace vectoriel deE^?.

b) Montrer queDest non réduit à{0}.

c) Soitd∈ Dethune fonction constante. Que vautd(h) ? d) Soitf ∈E. Montrer

∀x∈Rⁿ, f(x) =f(0) +

n

X

i=1

x_i Z 1

0

∂f

∂xi

(tx) dt

(2)

Vérifier que l’applicationx7→R1 0

∂f

∂x_i(tx) dtest dansE.

e) Soitd∈ D. Etablir l’existence de (a1, . . . , an)∈Rⁿ tel que

∀f ∈E, d(f) =

n

X

i=1

a_i∂f

∂xi

(0) f) Déterminer la dimension deD.

Dérivée selon un vecteur

Soitf la fonction définie surR² par f(x, y) =

y²/x six6= 0 0 six= 0

a) Montrer quef admet une dérivée au point (0,0) suivant tout vecteur de R². b) Observer que néanmoinsf n’est pas continue en (0,0).

Soitf :R²→Rdéfinie par f(x, y) =

( x²y

x⁴+y² si (x, y)6= (0,0)

0 sinon

Montrer quef admet une dérivée en (0,0) selon tout vecteur sans pour autant y être continue.

Calcul de dérivées partielles

Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : a)f(x, y) =x^y (avecx >0)b)f(x, y) =p

x²+y²c) f(x, y) =xsin(x+y).

Soitf :R²→Rdéfinie par f(x, y) =





 xy

|x|+|y| si (x, y)6= (0,0) 0 sinon

Justifier quef est continue en (0,0).

Etudier les dérivées partielles def en (0,0).

Calculer les dérivées partielles de

f(x, y) = min(x, y²)

Soitϕ:R→Rdérivable. On posef :R^?×R→Rdéfinie parf(x, y) =ϕ(y/x).

Montrer quef vérifie la relation : x∂f

∂x(x, y) +y∂f

∂y(x, y) = 0

On considère

f : (x, y)7→

+∞

X

n=1

xⁿ 1 +y²ⁿ a) Déterminer le domaine de définitionD def. b) Etudier l’existence de ^∂f_∂x et ^∂f_∂y surD.

Calcul de dérivées partielles d’ordre 2

Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 des fonctions suivantes : a)f(x, y) =x²(x+y) b)f(x, y) = cos(xy)

Soitf et ϕ:R→Rdeux applications de classeC²et F:R²→Rdéfinie par F(x, y) =f(x+ϕ(y))

a) Justifier queF est de classeC². b) Vérifier l’égalité :

∂²F

∂x²

∂F

∂y − ∂²F

∂x∂y

∂F

∂x = 0

(3)

Soientf : (x, y)7→f(x, y) de classe C² et g: (r, θ)7→f(rcosθ, rsinθ).

Justifier queg est de classeC²et exprimer

∂²f

∂x² +∂²f

∂y² en fonction des dérivées partielles deg.

Soitf :R²→Rune fonction de classeC² etg:R²→Rdéfinie par g(u, v) =f(uv, u²+v²)

a) Justifier quegest de classeC².

b) Exprimer les dérivées partielles d’ordre 2 degen fonction des dérivées partielles def.

Dérivées partielles de fonctions composées

Soitf :R²→Rdifférentiable.

On poseg:R→Rdéfinie parg(t) =f(2t,1 +t²).

Exprimerg⁰(t) en fonction des dérivées partielles def.

Soient (x1, . . . , xn, h1, . . . , hn)∈R²ⁿ,f ∈ C¹(Rⁿ,R) et, sit∈R, g(t) =f(x₁+th₁, . . . , xn+thn) Calculerg⁰(t).

Soitf :R²→Rune fonction différentiable etg:R²→Rdéfinie par g(u, v) =f(u²+v², uv)

a) Justifier quegest différentiable.

b) Exprimer _∂u^∂g et ^∂g_∂v en fonction des dérivées partielles de la fonction f notées

∂f

∂x et ^∂f_∂y.

Soientf : (x, y)7→f(x, y) différentiable etg: (r, θ)7→f(rcosθ, rsinθ).

Justifier quegest différentiable et exprimer les dérivées partielles de f en fonction de celles deg.

Soitf :R²→Rune fonction différentiable et g:R²→Rdéfinie par g(r, θ) =f(rcosθ, rsinθ)

a) Justifier quegest différentiable.

b) Exprimer les dérivées partielles deg en fonction de celles def. c) Exprimer les dérivées partielles def en fonction de celles deg.

Soitf :R²→Rdifférentiable vérifiant

∀(x, y)∈R², f(x, y) =f(y, x) Quelle relation existe-t-il entre les dérivées partielles def?

Soitf :R²→Rdifférentiable telle que

∀t∈R,∀(x, y)∈R², f(x+t, y+t) =f(x, y) Montrer que

∂f

∂x(x, y) +∂f

∂y(x, y) = 0

Soitf :R²→Rdifférentiable telle que

∀t∈R,∀(x, y)∈R², f(tx, ty) =f(x, y) Montrer que

x∂f

∂x(x, y) +y∂f

∂y(x, y) = 0

(4)

Soitf :R²→Rune fonction différentiable homogène de degrén∈Nc’est-à-dire vérifiant

∀t∈R,∀(x, y)∈R²,f(tx, ty) =tⁿf(x, y) a) Montrer que

x∂f

∂x +y∂f

∂y =nf

b) On supposen>1. Montrer que les dérivées partielles def sont elles aussi homogènes, préciser leur degré.

Soitf :R²→Rune fonction différentiable.

On dit quef est homogène de degréα∈Rsi, et seulement si,

∀t >0,∀(x, y)∈R²,f(tx, ty) =t^αf(x, y) a) On supposef homogène de degréα. Montrer que

∀(x, y)∈R², x∂f

∂x(x, y) +y∂f

∂y(x, y) =αf(x, y) b) Établir la réciproque.

Matrice jacobienne

Soitf ∈ C²(Rⁿ,Rⁿ) dont la matrice jacobienne est, en tout point, antisymétrique.

Montrer qu’il existeb∈Rⁿ et A∈ Mn(R) antisymétrique tels que :

∀x∈Rⁿ, f(x) =Ax+b

Classe d’une fonction

Etudier la continuité, l’existence et la continuité des dérivées partielles premières def :

a)f(x, y) =

x²y²ln(x²+y²) si (x, y)6= (0,0)

0 sinon .

b)f(x, y) =

( (x²+y²) sin√ ¹

x²+y² si (x, y)6= (0,0)

0 sinon

On considère la fonctionf :R²→Rdéfinie par f(x, y) =

( _sin(xy)

|x|+|y| si (x, y)6= (0,0)

0 sinon

a)f est-elle continue ? b)f est-elle de classeC¹?

On définit une fonctionf :R²→Rpar f(x, y) =

( _xy(x2−y²)

x²+y² si (x, y)6= (0,0)

0 sinon

a) Montrer quef est de classeC¹. b) La fonctionf est-elle de classeC²?

On pose

f(x, y) =xyx²−y² x²+y² pourx, yréels non tous deux nuls.

La fonctionf admet-elle un prolongement continue àR²? Un prolongement de classeC¹? de classeC²?

Soitf :R²→Rla fonction définie par f(x, y) = xy³

x²+y² si (x, y)6= (0,0) etf(0,0) = 0 a) Montrer quef est de classeC¹surR².

b) Montrer que _∂x∂y^∂²^f (0,0) et _∂y∂x^∂²^f (0,0) existent et diffèrent. Qu’en déduire ?

(5)

Soitf :R²− {(0,0)} →Rdéfinie par

f(x, y) = (x²−y²) ln(x²+y²) a) Est-il possible de prolongerf par continuité en (0,0) ?

b) Etablir quef est de classeC¹ surR²− {(0,0)}et, sans calculs, établir

∂f

∂x(x, y) =−∂f

∂y(y, x) c) La fonctionf est-elle de classeC¹ surR²?

Soientf :R→Rune fonction de classeC¹et F :R²\ {(0,0)} →Rdéfinie par F(x, y) = f(x²+y²)−f(0)

x²+y² a) Déterminer lim

(x,y)→(0,0)F(x, y). On prolongeF par continuité en (0,0) et on suppose de surcroîtf de classeC².

b) Justifier queF est différentiable en (0,0) et y préciser sa différentielle.

c) Montrer queF est de classeC¹.

On pose

ϕ(x, y) = cosx−cosy

x−y pour x6=y

a) Montrer queϕadmet un prolongement par continuité àR² noté encoreϕ.

b) Montrer queϕest de classeC¹puisC^∞.

Soitg:R→Rde classeC². On pose f(x, y) =g(x)−g(y)

x−y pourx6=y et f(x, x) =g⁰(x) a) Exprimerf(x, y) à l’aide d’une intégrale sur l’intervalle [0,1].

b) En déduire quef est de classeC¹.

Soitϕ:R→Rcontinue etf :R²→Rdéfinie par f(x, y) =

Z y x

ϕ(t) dt

Montrer quef est de classeC¹ et calculer ses dérivées partielles premières.

Soitf :R²→Rune fonction de classeC¹. On définit F(x) =

Z x³ 2x

f(x+ 1, t) dt Démontrer queF est dérivable surRet préciser sa dérivée.

Soit, pourn∈N^?,

u_n: (x, y)7→ cos(ny)

√n xⁿ

On noteD l’ensemble des (x, y)∈R² tels que la série de terme généralun(x, y) converge. On pose

f : (x, y)7→

∞

X

n=1

un(x, y) a) DéterminerD.

b) Montrer quefD^◦ est de classeC¹.

Gradient

SoitEun espace vectoriel euclidien.

a) En quels points l’applicationx7→ kxk₂ est-elle différentiable ? b) Préciser en ces points le vecteur gradient.

Soientuun endomorphisme symétrique d’un espace euclidienE etx₀un vecteur deE.

(6)

On étudie la fonctionf :E→Rdéfinie par f(x) = 1

2(u(x)|x) + (x₀|x) a) Montrer quef est différentiable et exprimer sa différentielle.

b) Calculer le gradient def en tout point de E.

a) Montrer que l’application ∆ :A7→detA est différentiable surMn(R).

b) Calculer sa différentielle en commençant par évaluer ses dérivées partielles.

c) On munitMn(R) du produit scalaire canonique défini parhA, Bi= tr (^tAB).

Déterminer le vecteur gradient de ∆ enA

Recherche d’extremum

Déterminer les extrema locaux des fonctionsf :R²→Rsuivantes : a)f(x, y) =x²+xy+y²−3x−6y

b)f(x, y) =x²+ 2y²−2xy−2y+ 5 c)f(x, y) =x³+y³

d)f(x, y) = (x−y)²+ (x+y)³

Trouver les extrema surR² de

f(x, y) =x²+xy+y²+ 2x−2y

f(x, y) =x⁴+y⁴−2(x−y)²

Déterminer les extremums dex^ln^x+y^ln^y sur ]0,+∞[².

a) Etudier les branches infinies, les variations, la convexité et représenter f(t) =t−lnt−¹_t.

b) Résoudref(t) = 0.

c) Trouver les extremums globaux et locaux de g(x, y) =xlny−ylnx

Déterminer les extrema locaux et globaux de

f(x, y) =x³+y³−3xy

f(x, y) =x⁴+y⁴−4xy

Déterminer

sup

(x,y)∈]0,+∞[²

xy

(1 +x)(1 +y)(x+y)

Calculer

x,y>0inf 1

x+1 y +xy

Soita >0. Montrer que

f : (x, y)7→x+y+ a xy admet un minimum strict sur (R^+?)²

(7)

Soita >0. On pose, pourx >0 ety >0,

f(x, y) =x²+y²+ a xy

Montrer quef admet un minimum absolu et calculer ce dernier.

On considère l’espace vectorielRⁿ muni de son produit scalaire usuel notéh.|.i.

Soitf un endomorphisme symétrique deRⁿ dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.

a) Montrer que

∀x∈Rⁿ\ {0},hf(x)|xi>0

b) Soituun vecteur deRⁿ et g:Rⁿ →Rl’application définie par g(x) =1

2hf(x)|xi − hu|xi

Montrer queg admet des dérivées partielles selon tout vecteur deRⁿ et les expliciter.

c) Montrer queg admet un unique point critique noté z.

d) Montrer queg admet un minimum global enz.

SoientU un ouvert convexe etf :U →Rune fonction convexe et différentiable.

Montrer que tout point critique est un minimum global.

Extremum sur compact

Déterminer le maximum de la fonctionf définie sur le compactK= [0,1]²donnée par

f(x, y) = x+y (1 +x²)(1 +y²)

Déterminer les extrema def surD avec

f(x, y) =x⁴+y⁴−2(x−y)²avecD=

(x, y)∈R²/x²+y²64

Soitf : (x, y)7→xy(1−x−y) définie sur T =

(x, y)∈R²/x, y>0, x+y 61

a) Justifier quef est continue et présente un maximum à l’intérieur de T. b) Déterminer sa valeur.

SoitDl’ensemble des couples (x, y)∈R² tels quex>0, y>0 etx+y61.

a) Montrer queDest une partie compacte deR². b) Soienta >0, b >0, c >0 etf :D →Rdéfinie par :

f(x, y) =x^ay^b(1−x−y)^c Montrer quef est continue surD.

c) Déterminer

sup

(x,y)∈D

f(x, y)

Déterminer

sup

[0,π/2]²

sinxsinysin(x+y)

On noteC le cercle trigonométrique.

Quel est le périmètre maximal d’un triangle dont les sommets sont surC?

Calculer l’aire maximale d’un triangle inscrit dans un cercle de rayonr.

Soit (ABC) un vrai triangle du plan. Pour un point M du plan, on pose f(M) =M A+M B+M C

a) Etudier la différentiabilité def.

(8)

b) En considérant le disque fermé de centreAet de rayonAB+AC, établir quef possède un minimum absolu dans le plan.

c) SoitT un point où ce minimum est atteint. On suppose queT n’est pas un sommet du triangle.

Etablir

−→T A T A+

−→T B T B +

−→T C T C =~0

d) Montrer qu’alors le pointT voit les sommets du triangle sous un même angle.

Soit un triangleABC et M parcourant l’intérieur de ce triangle. On veut déterminer en quelle position le produit des 3 distances deM à chacun des côtés du triangle est maximal.

Indications : ne pas oublier de justifier l’existence de ce maximum, la réponse est le centre de gravité du triangle.

Equation aux dérivées partielles d’ordre 1

En réalisant le changement de variables (u=x+y

v= 2x+ 3y

déterminer les fonctionsf :R²→Rde classeC¹ solutions de l’équation aux dérivées partielles :

3∂f

∂x−2∂f

∂y = 0

Résoudre surR² l’équation aux dérivées partielles

∂f

∂x(x, y)−3∂f

∂y(x, y) = 0 via

(u= 2x+y v= 3x+y

Résoudre surR²

∂f

∂x(x, y) +∂f

∂y(x, y) =f(x, y) via

(u=x+y v=x−y

En réalisant le changement de variables (u=x

v=y−x

déterminer les fonctionsf :R²→Rde classeC¹ solutions de l’équation aux dérivées partielles :

∂f

∂x +∂f

∂y =f

En passant en coordonnées polaires, résoudre surR²\ {(0,0)}l’équation aux dérivées partielles

y∂f

∂x −x∂f

∂y = 0

En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctionsf :R×R^+?→Rde classeC¹ solutions de l’équation aux dérivées partielles

y∂f

∂x−x∂f

∂y =f

En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctionsf :R^+? ×R→Rde classeC¹ solutions de l’équation aux dérivées partielles

x∂f

∂x +y∂f

∂y = 0

(9)

En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctionsf :R^+? ×R→Rde classeC¹ solutions de l’équation aux dérivées partielles

x∂f

∂x +y∂f

∂y =p x²+y²

Montrer quef :Rⁿ→Rde classeC¹est homogène de degrépsi, et seulement si,

∀(x1, . . . , xn)∈Rⁿ,

n

X

i=1

xi

∂f

∂x_i(x1, . . . , xn) =pf(x1, . . . , xn)

Soitf :R²→Rde classeC¹ telle que

∀(x, y)∈R², x∂f

∂x(x, y) +y∂f

∂y(x, y) = 0 Montrer la constance de l’application suivante

ϕ:r7→

Z 2π 0

f(rcost, rsint) dt

Soientα∈Retf :R²→Rde classeC¹tels que

∀(x, y)∈R², x∂f

∂x(x, y) +y∂f

∂y(x, y) =αf(x, y) Exprimer

ϕ:r∈[0,+∞[7→

Z 2π 0

f(rcost, rsint) dt

On étudie l’équation aux dérivées partielles (E) :x∂f

∂x(x, y) +y∂f

∂y(x, y) =f(x, y)

où la fonction inconnuef est de classeC¹ deR²versR. a) Montrer l’existence de solutions non nulles.

b) Soitg:t7→f(tx, ty) avec (x, y) un couple deR².

Montrer queg est de classeC¹ et exploiter cette fonction pour résoudre l’équation (E).

a) Soitα∈R. Trouver lesf ∈ C¹(R×R^+?,R) telles que x∂f

∂x+y∂f

∂y =αf b) Trouver toutes lesf ∈ C¹(R×R^+?,R) telles que

x∂f

∂x +y∂f

∂y = x y

px³+y³

On noteU l’ensemble des (x, y) deR² tels quex >0 etE=C^∞(U,R). Soit f :U →Retα∈R; on dit quef est homogène de degré αsif(tx, ty) =t^αf(x, y) pour toust∈R^+?, (x, y)∈U. On pose :

∀f ∈E,∀(x, y)∈U, Φ(f)(x, y) =x∂f

∂x(x, y) +y∂f

∂y(x, y) a) Déterminer ker Φ.

b) Soitf ∈E. Montrer quef est homogène de degréαsi, et seulement si, Φ(f) =αf.

c) Résoudre l’équation d’inconnuef ∈E, Φ(f) =h,hétant la fonction qui à (x, y) associe (x²+y²)^3/2xy.

Equation aux dérivées partielles d’ordre 2

En réalisant le changement de variables (u=x+y

v=x−y

déterminer les fonctionsf :R²→Rde classeC² solutions de l’équation aux dérivées partielles

∂²f

∂x²(x, y)−∂²f

∂y²(x, y) = 0

(10)

Soitc >0. En réalisant le changement de variables (u=x+ct

v=x−ct

déterminer les fonctionsf : (x, t)7→f(x, t) de classeC² surR²solutions de l’équation aux dérivées partielles

∂²f

∂x² = 1 c²

∂²f

∂t²

En réalisant le changement de variables (u=x

v=x+y

déterminer les fonctionsf :R²→Rde classeC² solutions de l’équation aux dérivées partielles

∂²f

∂x² −2 ∂²f

∂x∂y +∂²f

∂y² = 0

En réalisant le changement de variables (u=xy

v=x/y

déterminer les fonctionsf :R^+?× R^+?→Rde classeC² solutions de l’équation aux dérivées partielles

x²∂²f

∂x² −y²∂²f

∂y² = 0

[Fonctions harmoniques]

Une fonction de classeC² est dite harmonique si, et seulement si, son laplacien

∆f =∂²f

∂x² +∂²f

∂y²

est nul.

a) Montrer que sif est harmonique et de classeC³ alors ^∂f_∂x, ^∂f_∂y etx^∂f_∂x+y^∂f_∂y le sont aussi.

On suppose quef :R²\ {(0,0)} est radiale i.e. qu’il existe une fonction ϕ:R^+?→Rde classeC² telle quef(x, y) =ϕ(x²+y²).

b) Montrer quef est harmonique si, et seulement si,ϕ⁰ est solution d’une équation différentielle qu’on précisera.

c) En résolvant cette équation, déterminerf.

Soientf ∈ C²(R²,R) telle que

∂²f

∂x² +∂²f

∂y² = 0 etg(r, t) =f(rcost, rsint).

a) Trouver une relation liant

∂

∂r

r∂g

∂r

et ∂²g

∂t² b) Montrer que

ϕ:r7→

Z 2π 0

f(rcost, rsint) dt est de classeC²C² surRet que (rϕ⁰(r))⁰ = 0

c) Conclure queϕest constante.

Soit

+∞

P

n=0

a_nzⁿ une série entière de rayon de convergenceR >0.

Pour (x, y)∈R² tel quex²+y²< R², on pose f(x, y) =

+∞

X

n=0

an(x+iy)ⁿ Etablir

∂²f

∂x² +∂²f

∂y² = 0

(11)

Déterminer les fonctionsf :R^+?→Rde classeC²telle que F :Rⁿ\ {0} →R

(x1, . . . xn)7→f q

x²₁+· · ·+x²_n

vérifie

n

X

i=1

∂²F

∂x²_i = 0

Analyse vectorielle

On appelle laplacien d’un champ scalaireF de classeC² le champ scalaire défini par

∆F = div−→

∇F a) Montrer

∆F= ∂²F

∂x² +∂²F

∂y²

b) Exprimer ^∂F_∂r(M) et ^∂F_∂θ(M) en fonction de ^∂F_∂x(M) et ^∂F_∂y(M) c) Exprimer ∆F en fonction de ^∂_∂r²^F2, ^∂F_∂r et ^∂_∂θ²^F2.

SoitF un champ scalaire de classe C¹ de l’espace. Exprimer−→

∇F(M) en fonction

∂F

∂ρ(M), ∂F

∂ϕ(M), ∂F

∂z(M) et des vecteurs du repère cylindrique associé au pointM.

SoitF~ le champ de vecteurs du plan défini parF~(M) =

−−→OM OM. a) Calculer divF(M~ )

b) Le champ de vecteursF~ dérive-t-il d’un potentiel ?

SoitF~ le champ de vecteurs de l’espace défini parF~(M) =_OM^−−→^OM3. a) Ce champ de vecteur dérive-t-il d’un potentiel ?

b) Calculer divF~(M) et RotF~(M).

Soit~ωun vecteur de l’espace et F~ le champ de vecteurs de l’espace défini par F~(M) =~ω∧−−→

OM a) Calculer divF~(M) et RotF(M~ ).

b) Le champ de vecteurF~ dérive-t-il d’un potentiel ?

On pose

~γ₁(t) =a(1−t)~i+bt~j avec 06t61

~

γ₂(t) =acos(s)~i+bsin(s)~javec 06s6π/2 et le champ de vecteurs

V~ =y~i+ 2x~j a) Représenter les courbes paramétrées par~γ1 et~γ2.

b) Le champ de vecteursV~ dérive-t-il d’un potentielU(x, y) ? c) Calculer la circulation deV~ selon~γ₁ et~γ₂. Conclure.

(12)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

a) L’applicationM 7→M² est différentiable car polynomiale. SoientM ∈ Mn(R) etH ∈ Mn(R).

f(M+H)−f(M) =M H+HM+H²=ϕ(H) +o(kHk) avecϕ:H 7→M H+HM linéaire.

Par suite

df(M) :H 7→HM+M H

b) L’applicationM 7→M³ est différentiable car polynomiale et l’application M 7→tr(M) est différentiable car linéaire.

Par opérations sur les fonctions différentiable,f est différentiable SoientM ∈ M_n(R) et H∈ M_n(R).

f(M+H)−f(M) = tr(M²H+M HM+HM²)+tr(M H²+HM H+H²M)+tr(H³) Posonsϕ:H →tr(M²H+M HM+HM²) = 3tr(M²H).

ϕest une application linéaire telle que :

f(M +H)−f(M) =ϕ(H) +ψ(H) avec|ψ(H)|6CkHk² doncψ(H) =o(kHk).

Par suite

df(M) :H →3tr(M²H)

Posonsf(P) =R1

0 P(t)²dt.f(P+H) =f(P) + 2R1

0 P(t)H(t) dt+R1

0 H(t)²dt.

Posons`(H) = 2R1

0 P(t)H(t) dt ce qui définit`forme linéaire surE.

En munissantE de la normek.k=k.k_∞, on observe

R1

0 H(t)²dt

6kHk²_∞=o(kHk).

Ainsi, la relation précédente donnef(P+H) =f(P) +`(H) +o(kHk) ce qui assure quef est différentiable enP et df(P) :H 7→2R1

0 P(t)H(t) dt.

Soienta∈C^? eth∈C. On peut écrire

f(a+h)−f(a) = −h

a(a+h)=`(h) +α(h)

avec`:h7→ −_a^h2 linéaire et α(h) = −h

a(a+h)+ h

a² = h²

a²(a+h) =O(h²) =o(h) La différentielle def enaest donc

`:h7→ −h a²

a) det est différentiable car polynomiale en vertu de l’expression générale définissant le déterminant

detM = X

σ∈Sn

ε(σ)

n

Y

i=1

a_σ(i),i b) det(I+H) = 1 +ϕ(H) +o(kHk) avecϕ= d_I(det).

PourH =λE_i,j, on obtient

det(I_n+λE_i,j) = 1 +λδ_i,j= 1 +λϕ(E_i,j) +o(λ) doncϕ(Ei,j) =δi,j puis

ϕ= tr SoitM inversible.

det(M+H) = detMdet(I+M⁻¹H) = detM+ detMtr(M⁻¹H) +o(H) donc

d(det)(M) :H 7→detMtr(M⁻¹H) c) EnM inversible

d(det)(M) :H 7→detMtr(M⁻¹H) = tr(^tcomM.H)

Les applicationsM 7→ d(det)(M) et M 7→tr(^tcomM ×.) sont continues et coïncident sur la partie dense GLn(R), elles sont donc égales sur Mn(R).

On a

(In+H)(In−H) =In−H² =

H→On

In+o(H)

(13)

donc

(In+H)⁻¹ =

H→On

In−H+o(H) d’où

d(M 7→M⁻¹)(I) :H 7→ −H On a aussi

(M+H)⁻¹= (I_n+M⁻¹H)⁻¹M⁻¹ =

H→On

M⁻¹−M⁻¹HM⁻¹+o(H) donc

d(M 7→M⁻¹)(M) :H 7→ −M⁻¹HM⁻¹

On a

ϕ(a+h, b+k) =ϕ(a, b) +ϕ(h, b) +ϕ(a, k) +ϕ(h, k) =ϕ(a, b) +ψ(h, k) +o(k(h, k)k) avecψ: (h, k)7→ϕ(h, b) +ϕ(a, k) linéaire etϕ(h, k) =o(k(h, k)k) car

|ϕ(h, k)|6Mkhk kkk.

Par suiteϕest différentiable en (a, b) et dϕ(a, b) =ψ.

a) En polaires,x=rcosθ,y=rsinθ,

fp(x, y) = (cosθ+ sinθ)^pr^psin1 r Sip>1 alors|fp(x, y)|62^pr^p−−−−−−−→

(x,y)→(0,0) 0 et on peut prolongerf par continuité en (0,0).

Sip= 0 alorsf0(x, y) = sin√ ¹

x²+y² diverge car le sinus diverge en +∞.

b) On supposep>1.

Pourp= 2 :

f2(x, y) = (x+y)²sin 1

px²+y² =O(k(x, y)k²) ce qui s’apparente à un développement limité à l’ordre 1 en (0,0).

La fonctionf2est donc différentiable en (0,0) de différentielle nulle.

Pourp >2 :

fp(x, y) = (x+y)^p−2f2(x, y)

La fonctionfp est différentiable par produit de fonctions différentiables.

Pourp= 1 : Quandh→0⁺,

1

h(f1(h,0)−f1(0,0)) = sin 1 h

diverge. Ainsif n’est pas dérivable en (0,0) selon le vecteur (1,0), elle ne peut donc y être différentiable.

a) Poura, h∈E,

f(a+h)−f(a) = (u(a)|h) + (u(h)|a) + (u(h)|h) =`(h) +o(khk) avec`(h) = 2(u(a)|h) définissant une application linéaire et (u(h)|h) =o(khk) car|(u(h)|h)|6kuk khk². Ainsif est différentiable en tout a∈E et

df(a) :h7→2(u(a)|h)

b)F est différentiable en tant que rapport défini de fonctions différentiables.

La formule

d (f /g) = (gdf−fdg)/g² donne

dF(a) :h7→2(u(a)|h)

(a|a) −2(u(a)|a)(a|h)

(a|a)² = 2 (v(a)|h) avec

v(a) = u(a)

kak²−(u(a)|a) kak⁴ a Si dF(a) = ˜0 alors v(a) = 0 et doncu(a) est colinéaire àa.

La réciproque est aussi vraie.

Remarquons

f(0) =f(0.0) = 0.f(0) = 0 et notons`= df(0).

D’une part

f(λx) =f(0) +`(λx) +o(λkxk) et d’autre part

f(λx) =λf(x) On en déduit

λ`(x) +o(λkxk) =λf(x)

En simplifiant parλet en faisantλ→0⁺, on obtientf(x) =`(x).

Ainsi, l’applicationf est linéaire.

(14)

a) immédiat.

b) L’applicationdh:f 7→Dhf(0) fait l’affaire pour n’importe quelh∈Rⁿ non nul.

c) Sihest constante égale à λalors pour toute fonctionf ∈E on a par linéarité d(f h) =λd(f)

et par définition des éléments deD,

d(f h) =f(0)d(h) +λd(f)

En employant une fonctionf ne s’annulant pas en 0, on peut affirmerd(h) = 0.

d) Soitx∈Rⁿ, puisque la fonctionϕ:t∈[0,1]7→f(tx) est de classeC¹, on a ϕ(1) =ϕ(0) +

Z 1 0

ϕ⁰(t) dt ce qui donne

f(x) =f(0) + Z 1

0 n

X

i=1

xi

∂f

∂xi

(tx) dt SoitKun compact de Rⁿ.

Toute les dérivées partielles enxde (x, t)7→ _∂x^∂f

i(tx) sont continues surK×[0,1]

donc bornées.

Par domination sur tout compact, on peut affirmer que la fonction fi:x7→R1

0

∂f

∂x_i(tx) dt est de classeC^∞. e) Notonspi:x7→xi.

Par linéarité ded, on a

d(f) =

n

X

i=1

d(pifi) =

n

X

i=1

d(pi)fi(0) card(f(0)) = 0 etpi(0) = 0.

En posantai=d(pi) et sachant fi(0) =

Z 1 0

∂f

∂x_i(0) dt= ∂f

∂x_i(0) on obtient

∀f ∈E, d(f) =

n

X

i=1

ai

∂f

∂xi

(0)

f) L’application qui àh∈Rⁿ associed_h est donc une surjection deRⁿ surD.

Cette application est linéaire et aussi injective (prendref :x7→(h|x) pour vérifierd_h= 0⇒h= 0) c’est donc un isomorphisme et

dimD=n

a) Soith= (α, β)∈R². 1

t(f(t.h)−f(0,0)) = 1

t(f(tα, tβ)) =

0 siα= 0 β²/α sinon Donc

D_hf(0,0) =

β²/α siα6= 0 0 siα= 0 b)

f(1/n,1/√

n) = 1→16=f(0,0) doncf n’est pas continue en (0,0).

Quandn→+∞

f 1

n, 1 n²

→ 1

2 6=f(0,0) doncf n’est pas continue en (0,0).

Soith= (α, β)∈R², 1

t(f(tα, tβ)−f(0,0)) = t²α²β t⁴α⁴+t²β² →

0 siβ = 0 α²/β sinon

a) ^∂f_∂x(x, y) =yx^y−1et ^∂f_∂y(x, y) = lnx.x^y. b) ^∂f_∂x(x, y) = √ ^x

x²+y² et ^∂f_∂y(x, y) = √ ^y

x²+y².

c) ^∂f_∂x(x, y) = sin(x+y) +xcos(x+y) et ^∂f_∂y(x, y) =xcos(x+y).

|f(x, y)|6|y|_|x|+|y|^|x| 6|y| →0 doncf(x, y)→0.

1

h(f(h,0)−f(0,0)) = 0 donc ^∂f_∂x(0,0) = 0 et de même ^∂f_∂y(0,0) = 0.

La courbe Γ d’équationy²=xest une parabole séparant le plan en deux portions ouvertes

U =

(x, y)/x < y² etV =

(x, y)/x > y²

(15)

Soit (x₀, y₀)∈U. Au voisinage de ce couple,f(x, y) =xet donc

∂f

∂x(x0, y0) = 1 et ∂f

∂y(x0, y0) = 0 Soit (x₀, y₀)∈V. Au voisinage de ce couple,f(x, y) =y² et donc

∂f

∂x(x0, y0) = 0 et ∂f

∂y(x0, y0) = 2y0

Soit (x0, y0)∈Γ (on a doncx0=y₀²). Sous réserve d’existence

∂f

∂x(x₀, y₀) = lim

t→0

1

t(f(x₀+t, y₀)−f(x₀, y₀)) Pourt >0,

1

t (f(x₀+t, y₀)−f(x₀, y₀)) = 1

t y²₀−y²₀

= 0 et pourt <0,

1

t (f(x0+t, y0)−f(x0, y0)) = 1

t (x0+t−x0) = 1

On en déduit que la première dérivée partielle def en (x0, y0) n’est pas définie.

Sous réserve d’existence

∂f

∂y(x0, y0) = lim

t→0

1

t(f(x0, y0+t)−f(x0, y0)) Siy06= 0 alors pourtdu signe dey0,

1

t (f(x₀, y₀+t)−f(x₀, y₀)) = 1

t (x₀−x₀) = 0

et pourtdu signe opposé à celui dey0, 1

t (f(x₀, y₀+t)−f(x₀, y₀)) = 1 t

(y₀+t)²−y₀²

= 2y₀+t

On en déduit que la deuxième dérivée partielle def en (x0, y0) n’est pas définie.

Siy₀= 0 (et alors x₀= 0) alors pour toutt6= 0

1

t(f(0,0 +t)−f(0,0)) = 0

donc la deuxième dérivée partielle def en (0,0) est définie et

∂f

∂y(0,0) = 0 Exercice 16 :[énoncé]

On a ∂f

∂x(x, y) =−y

x²ϕ⁰(y/x) et ∂f

∂y(x, y) = 1

xϕ⁰(y/x) d’où la relation.

a) Si|y|61 alors la série définissantf(x, y) converge si, et seulement si,|x|<1 Si|y|>1 alors la série définissantf(x, y) converge si, et seulement si,|x|<

y² car _1+y^xⁿ2n =

x y²

ⁿ . FinalementD=

(x, y)∈R²/|x|<max(1, y²) . b)un(x, y) =_1+y^xⁿ2n. Soita∈[0,1[ etDa=

(x, y)∈R²/|x|6amax(1, y²) . Pour (x, y)∈Da :

∂u_n

∂x (x, y)

=

nxⁿ⁻¹ 1 +y²ⁿ

Si|y|61 alors |x|6aet

∂u_n

∂x (x, y)

=

6 naⁿ⁻¹

1 +y²ⁿ 6naⁿ⁻¹ Si|y|>1 alors |x|6ay² et

∂un

∂x (x, y)

=

6naⁿ⁻¹y²ⁿ⁻²

1 +y²ⁿ 6 naⁿ⁻¹

y² 6naⁿ⁻¹ Dans les deux cas

^∂u_∂xⁿ(x, y)

6naⁿ⁻¹ qui est le terme général d’une série convergente.

∂u_n

∂y (x, y)

=

2ny²ⁿ⁻¹xⁿ (1 +y²ⁿ)²

6 2nxⁿ

1 +y²ⁿ car y²ⁿ⁻¹ 1 +y²ⁿ 61