(ex−1)(2 ex+1) et 2 ex+1 >0 car ex >0, donc g0(x) est du signe de ex−1

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2015–2016 Devoir surveillé n^o3 – mathématiques

Correction

Exercice 1

1. On a g⁰(x) = 2 e^2x−e^x−1.

Or (e^x−1)(2 e^x+1) = 2(e^x)²+ e^x−2 e^x−1 = 2 e^2x−e^x−1 = g⁰(x).

Donc on a bien g⁰(x) = (e^x−1)(2 e^x+1).

2. Pour déterminer les variations de g on détermine le signe de g⁰.

Or g⁰(x) = (e^x−1)(2 e^x+1) et 2 e^x+1 >0 car e^x >0, donc g⁰(x) est du signe de e^x−1.

On résout : e^x−1>0⇔e^x >1⇔e^x >e⁰ ⇔x >0.

Par conséquent on obtient le tableau de variations suivant, dans lequel apparaît le minimum demandé :

x Signe de g⁰(x)

variations de g

−∞ 0 +∞

− 0 +

0 0

Calcul du minimum : g(0) = e^2×0−e⁰−0 = 1−1−0 = 0.

3. (a) Par définition, pour tout n∈N, u_n+1−u_n = e^2un−e^un−u_n=g(u_n).

(b) Pour connaître les variations de u il suffit de connaître le signe de u_n+1−u_n, autrement dit le signe de g(un) d’après la question précédente.

Or on sait depuis la question 2. que g a pour minimum 0, autrement dit que g est une fonction positive.

On en conclut que u est une suite croissante.

Exercice 2 1. f(−1 +i√

3) = (−1 +i√

3)²+ 2(−1 +i√

3) + 9 = 1−2i√

3−3−2 + 2i√

3 + 9 = 5.

2. L’équation f(z) = 5 est une équation du second degré à coefficients réels. Or d’après la première question, elle a au moins une solution complexe. Par conséquent, elle a deux solutions complexes conjuguées. L’ensemble des solutions de l’équation est alors {−1 +i√

3; 1−i√ 3}.

Bien sûr on peut également calculer∆, trouver qu’il est négatif (−12) et déterminer ses racines avec les formules du cours :

z₁ = −2−i√ 12

2 =−1−i√

3 (en effet√

12 =√

4×3 = 2√

3) et z₂ =z₁ =−1 +i√ 3.

3. On a f(z) = λ⇔z²+ 2z+ (9−λ) = 0.

Cette équation a deux solutions complexes conjuguées si et seulement si∆ = 4−4(9−λ)<0, ce qui équivaut à 4<4(9−λ) puis à 1<9−λ puis à λ <8.

L’ensemble demandé est donc ]− ∞; 8[.

4. (a) On a :

f(z) = (x+iy)²+ 2(x+iy) + 9 =x²+ 2ixy−y² + 2x+ 2iy+ 9

= (x²+ 2x−y²+ 9) +i(2xy+ 2y)

= (x²+ 2x−y²+ 9) +i2y(x+ 1)

(b) D’après le cours, f(z)∈R⇔Im(f(z)) = 0⇔2y(x+ 1) = 0.

Or un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nuls.

Ainsi, f(z)∈R⇔(2y = 0 oux+ 1 = 0).

Or 2y= 0 (i.e. y= 0) et x+ 1 = 0 sont chacune l’équation d’une droite.

Ainsi E est la réunion de ces deux droites.

Exercice 3

1. La ligne est « Pouri allant de 0à n−1».

En effet u₁ =u₀+ 2×0 + 2, il faut donc quei commence à0.

Ensuite, comme il faut calculer n termes, on va jusqu’à n−1.

2. L’algorithme est le suivant :

u prend la valeur0 n prend la valeur 0 Tant que u6100 Faire

u prend la valeur u+ 2n+ 2 n prend la valeurn+ 1 FinTant

Afficher n