Analyse, séance 3 : exercices ANALYSE ET APPROXIMATION D

A NALYSE ET APPROXIMATION D ’ UN PROBLÈME DIFFÉRENTIEL AUX LIMITES

Objectifs

Noter que cette séance 3 d’exercices doit précéder le cours de la séance 3.

Les principaux problèmes de statique se modélisent par desproblèmes aux limitespour des équa- tions aux dérivées partielleselliptiques. Le plus simple de ces problèmes est un problème aux limites pour une équation différentielle du second ordre. Dans un souci pédagogique nous allons appliquer à un tel problème les idées et les méthodes qui serviront dans les problèmes plus géné- raux même si une approche plus directe est ici possible.

Nous verrons dans cette séance quels principes permettent de comprendre pourquoi un problème aux limites est bien posé et nous présentons deux méthodes générales d’approximation numé- rique de ce problème : la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis. Cette dernière peut paraître ici inutilement compliquée mais nous verrons dans les séances suivantes qu’elle s’applique à des problèmes beaucoup plus généraux.

Deux types de problèmes sont usuels pour une équation différentielle : lesproblèmes de Cauchy (cf. chapitre 1 du cours), où la variable représente le plus souvent le temps et où on veut déterminer une solution en connaissant un état initial, et lesproblèmes aux limitesoù la variable représente en général l’espace et où on veut déterminer une solution vérifiant différentes conditions au bord d’un intervalle. Un théorème très général, le théorème de Cauchy Lipschitz permet d’affirmer l’existence et l’unicité de la solution d’un problème de Cauchy (cf. Chapitre 1). La situation est beaucoup plus complexe pour les problèmes aux limites.

Un exemple de problèmes aux limites en dimension 1

On considère, pour une équation différentielle du second ordre¹, le problème aux limites suivant







−kd²u

dx² +cu=f(x) sur]0,1[

u(0) =u(1) = 0

(1)

oùketcsont des constantes positives,f(x)une fonction continue.

SoitV0 l’espace des fonctions continues,C¹par morceaux nulles, en0et1. Nous définissons surV0

1Cette équation modélise de nombreux problèmes de statique, par exemple la diffusion de la chaleur dans une barre, voir le chapitre 2 du cours.

la fonction

J(v) = Z 1

0

1

2(kv⁰(x)²+cv²(x))−f(x)v(x)dx

Nous avons vu au chapitre 2 du cours d’optimisation queJ(v)est une fonction strictement convexe et que donc une fonctionu ∈ V0 réalise le minimum deJ(v)si et seulement siDJ(u) = 0. Nous avons vu au de plus chapitre 1 que, pourh∈V₀,

DJ(v).h= Z 1

0

kv⁰(x)h⁰(x)+cv(x)h(x)−f(x)h(x)dx= Z 1

0

−kv⁰⁰(x) +cv(x)−f(x)

h(x)dx et que donc la différentielleDJ(u)est nulle si et seulement siuvérifiel’équation d’Eulerqui est ici (1). Cette équivalence est la clé qui permet de comprendre les propriétés du problème (1), nous allons la détailler.

Question 1.

Analyse du problème

•Refaire la démonstration de l’équivalence du problème différentiel aux limites (1) et de la minimi- sation de la fonctionJ(v); plus précisément montrer qu’un fonctionu∈C²([0,1])∩V0est solution de (1) si et seulement si elle est solution de laformulation faible

u∈V0

∀v∈V0 a(u, v) =L(v) (2)

où nous avons posé

a(u, v) = Z 1

0

ku⁰v⁰+cuv dx (3)

L(v) = Z 1

0

f v dx (4)

et du problème d’optimisation

u∈V₀

∀v∈V₀ J(u)≤J(v) (5) avecJ(v) = ¹₂a(v, v)−L(v).

•Montrer quea(u, v)est une forme bilinéaire symétrique définie positive²et en déduire l’unicité de la solution de (2). Pour démontrer l’existence de la solution quand l’unicité est assurée voir chapitre 1, p. 21, du cours polycopié.

•SoitT l’opérateur défini surL²([0,1]), de domaineV₀∩C²([0,1]), par T(v) =−kd²v

dx² +cv

Vérifier que les résultats précédents traduisent le fait queT est symétrique défini positif.

•Vérifier que sic <0le problème (1) peut avoir plusieurs solutions (Indic. : si _k^c =−π²,u(x) = sin(πx)est solution de l’équation homogène).

2i.e.a(u, v) =a(v, u)et∀u6= 0a(u, u)>0.

Calcul d’un solution approchée Question 2.

Approximation par la méthode des différences finies

Les solutions de ce problème peuvent être représentées analytiquement avec des intégrales (du fait que les solutions de l’équation homogène sont connues). En général les solutions d’une équation différentielle ne sont pas exprimables à l’aide des fonctions usuelles, on en calcule seulement des approximations en un nombre fini de points, d’où le nom dediscrétisationdonné à ces approxima- tions. On divise l’intervalle[0,1]selon un pash= _N¹₊₁. On appellenœudsles points de coordonnées x_i =ihoù1≤i≤N. L’objectif est de calculer une approximationu_ides valeurs de la solution de (1) aux pointsx_i. Il y a doncN valeurs à calculeru_i, 1 ≤i≤N. On écrit une équation en chaque nœud en remplaçant l’équation différentielle exacte par une approximation obtenue en approchant les dérivées exactes par desdifférences finies

du

dx(xi)w u(xi+h)−u(xi)

h , ou du

dx(xi)w u(xi)−u(xi−h) h

d²u dx²(x_i)w

du(xi)

dx −^du(x_dx^i−h)

h w

u(xi+h)−u(x_i)

h −^u(xi)−u(x_h ^i−h)

h = u(x_i−h)−2u(x_i) +u(x_i+h) h²

Un développement limité montre que cette approximation de la dérivée seconde est àh²près.

Pour un nœud intérieur à l’intervalle on approche donc l’équation exacte (1) par

−kd²u

dx² +cu=f(x)w−kui−1−2ui−ui+1

h² +cui=fi (6)

où nous avons poséf_i =f(x_i).

•On pose

U= (u1, ..., uN)^t b= (f1, ..., fN)^t Montrer que le vecteurU∈R^N est solution d’un système linéaire

AU=b en explicitant la matriceA.

•Montrer que la matriceAest symétrique définie positive³et tridiagonale. En déduire l’existence et l’unicité de la solution du système.

Question 3.

Approximation par la méthode des éléments finis

Nous appelonsW_hl’espace des fonctions continues dont la restriction à chaque segment[x_i, x_i+1]de

3Nous retrouvons ainsi, après discrétisation, les propriétés de l’opérateur différentiel

la partition de l’intervalle[0,1]en intervalles de longueurhest affine⁴(en abrégéfonctions continues affines par morceaux). Une fonction deW_h est entièrement définie par ses valeurs aux nœudsx_i et on peut la considérer comme une fonction d’interpolation entre des valeurs arbitraires données aux nœuds. Le graphe d’une fonction deWh est une ligne polygonale. Deux fonctions deWh qui coinci- dent aux nœuds sont égales car, si deux fonctions affines prennent les mêmes valeurs aux extrémités d’un intervalle, elles sont égales.

Il faut définir une base deWh. Soitwi la fonction deWhqui prend la valeur1au nœudiet la valeur 0aux autres nœuds.

•Dessiner le graphe de la fonctionw_i.

•Montrer que le système de vecteurs [w0, ..., wi, ..., wN+1]est une base de Wh et que les compo- santes d’une fonction dans la base sont ses valeurs aux nœuds.

•SoitV_h =W_h∩V₀l’espace des fonctions continues affines par morceaux nulles sur le bord sur un découpage de pashde l’intervalle[0,1]. Montrer, pour conclure, que le système[w1, ..., wi, ..., wN] est une base deV_het que, siv∈V_h,

v=

N

X

i=1

v_jw_j

oùvj =v(xj).

• On définit une solution approchée uh dans l’espace Vh ⊂ V0 comme la solution des deux problèmes équvalents

J(uh)≤J(v) ∀v∈Vh (7)

et

a(u_h, v) =L(v) ∀v∈V_h (8)

•On décomposeu_h dans la basewi, i= 1, ..., N. Montrer que le vecteur U= (u1, ..., uN)^t

est solution d’un système linéaire deN équations àN inconnues

KU=F (9)

et expliciter la matriceKet le vecteurF.

•Montrer queKest symétrique définie positive et tridiagonale. En déduire l’existence et l’unicité de la solution.

• Calculer la matrice la matriceKet le vecteurF (On calculera les intégrales R_xi+1

xi wiwj dxpar la méthode de Simpson). Comparer les systèmes obtenus par les méthodes de différences finies et éléments finis.

4Une fonction affine est une fonction polynôme de degré1:u(x) =ax+b. L’usage courant les appelle aussi linéaire, terme en toute rigueur réservé àu(x) =ax.

Étude de l’erreur d’approximation

Cette étude est simple et naturelle dans la méthode des éléments finis.

Question 4.

Utilisation de la formulation “éléments finis”

On noteΠh(u) ∈ Vh l’interpollée aux pointsxi de la solution u de (1) par une fonction continue affine par morceaux. On pose

kuk_H1 = s

Z 1 0

v⁰(x)²+v²(x)dx

On montre, à l’aide de la formule de Taylor, qu’il existe une constanteC >0, qui ne dépend que de la dérivée seconde deu, telle que

|u−Π_h(u)k_H1 ≤Ch

• Montrer que la solution approchée u_h ∈ V_h, définie par la méthode des éléments finis, est la projection orthogonale de la solution exacte⁵de la solutionu ∈V₀sur l’espace d’approximationV_h au sens du produit scalairea(u, v), autrement dit

∀v∈V_h, a(u−u_h, v) = 0 En déduire

∀v∈V_h, a(u−u_h, u−u_h)≤a(u−Π_h(u), u−Π_h(u))

•Montrer que la forme bilinéairea(u, v)vérifie, d’après la définition de la normekuk_H1,

mkuk²_H1 ≤a(u, u)≤Mkuk²_H1 (10) avecm= inf(k, c)etM = sup(k, c).

•En déduire que

ku−uhk²_H1 ≤ M

mku−Πh(u)k²_H1

Et donc qu’il existe une constanteC₁telle que

ku−u_hk_H1 ≤C₁h La constanteC1est indépendante du pash.

Un calcul plus détaillé montre que l’erreur est en fait enh²sur la fonction et enhsur la dérivée.

5Noter qu’il est important ici queVh ⊂ V0, ce qui explique pourquoi nous avons étendu les formulations faibles à l’espace des fonctions continues “C¹par morceaux”.