6. S´eries. R´esidus et pˆoles

6. S´ eries. R´ esidus et pˆ oles

1. Introduction

Les fonctions analytiques peuvent ˆetre repr´esent´ees par des s´eries de puis- sances ou s´eries enti`eres et par leur g´en´eralisation, les s´eries de puissances positives et n´egatives dez−a.

Les d´eveloppements des fonctions en s´eries pr´esentent non seulement un int´erˆet th´eorique, mais aussi un int´erˆet pratique. Par exemple, `a l’aide de s´eries, on peut calculer approximativement la valeur des fonctions. En outre, il existe de nom- breux probl`emes (r´esolution des ´equations diff´erentielles, etc...), dont la solution peut ˆetre trouv´ee sous la forme d’une s´erie.

2. S´ eries de Taylor

2.1. Th´eor`eme de Taylor

La formule de Taylor connue dans le cours d’analyse r´eelle peut ˆetre ´etendue aux fonctions d’une variable complexe.

On a le th´eor`eme de Taylor: Si f est une fonction analytique `a l’int´erieur d’un cercle C de centre a et de rayon R, on a, pour chaque point z int´erieur `a C :

f(z) =f(a) + f⁰(a)

1! (z−a) +· · ·+ f⁽ⁿ⁾(a)

n! (z−a)ⁿ+· · ·. (2.1) La s´erie de puissances (2.1) converge donc vers f(z) lorsque |z−a|< R.

Autrement dit, chaque fonction analytique dans le cercle|z−a|< Rpeut ˆetre repr´esent´ee dans ce cercle par sa s´erie de Taylor :

f(z) =

∞

X

n=0

cn(z−a)ⁿ. (2.2)

Les coefficients de la s´erie de Taylor sont donn´es par la formule c_n= f⁽ⁿ⁾(a)

n! = 1

2πi I

C

f(z)

(z−a)ⁿ⁺¹ dz, n= 0,1,2, . . . , (2.3)

60 Chapitre 6 : S´eries. R´esidus et pˆoles o`u C est un contour ferm´e simple contenant le point a et int´erieur au cercle

|z−a|=R.

2.2. Exemples Exemple 1

La fonction e^z est analytique dans tout le plan complexe (c’est une fonction enti`ere). Elle a donc une repr´esentation en s´erie de Taylor autour de z = 0 valable pour tout z. Ici f⁽ⁿ⁾(z) =e^z. Commef⁽ⁿ⁾(0) = 1, on a :

e^z =

∞

X

n=0

zⁿ

n!, |z|<∞. (2.4)

Exemple 2

Sif(z) = sinz, alors on a :

f⁽²ⁿ⁾(0) = 0 (n= 0,1,2, . . .), f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) = (−1)ⁿ (n= 0,1,2, . . .). (2.5) On en d´eduit :

sinz =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)!, |z|<∞. (2.6) De mani`ere analogue, pour |z|<∞, on a les d´eveloppements :

cosz =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ (2n!), shz =

∞

X

n=0

z²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!, chz =

∞

X

n=0

z²ⁿ (2n)!.

(2.7)

Exemple 3

La repr´esentation en s´erie de Taylor autour de z = 0 de la fonction f(z) = 1/(1−z) est

1 1−z =

∞

X

n=0

zⁿ, |z|<1. (2.8)

En effet, les d´eriv´ees de la fonction f(z) = 1/(1−z), qui n’est pas analytique en z = 1, sont :

f⁽ⁿ⁾(z) = n!

(1−z)ⁿ⁺¹, n= 0,1,2, . . . . (2.9) En particulier, on af⁽ⁿ⁾(0) =n! .

3. S´ eries de Laurent

3.1. Th´eor`eme de Laurent

Si une fonctionf n’est pas analytique au point a, on ne peut pas appliquer le th´eor`eme de Taylor en ce point. Cependant, il est souvent possible de trouver pour f(z) une repr´esentation en s´erie faisant intervenir `a la fois des puissances positives et n´egatives dez−a. De telles s´eries sont appel´ees s´eries de Laurent.

A partir de la formule int´` egrale de Cauchy, on peut d´emontrer le th´eor`eme de Laurent (P. Laurent, 1843) : Si C₀ et C₁ d´esignent deux cercles orient´es positivement centr´es au point a, tels que C0 soit int´erieur `aC1, et si une fonction f est analytique sur C₀ et sur C₁ ainsi que dans la couronne comprise entre ces deux cercles (Fig. 1), alors, en chaque pointz de la couronne,f(z) est repr´esent´ee par le d´eveloppement

f(z) =

∞

X

n=0

a_n(z−a)ⁿ+

∞

X

n=1

b_n

(z −a)ⁿ, (3.1)

o`u

a_n = 1 2πi

I

C

f(z)

(z−a)ⁿ⁺¹ dz, n= 0,1,2, . . . , (3.2) et

bn = 1 2πi

I

C

f(z)

(z−a)⁻ⁿ⁺¹ dz, n= 1,2, . . . . (3.3) C est un contour ferm´e entourant a et situ´e dans la couronne. Une telle s´erie est appel´ee s´erie de Laurent.

•a C

C₁ C

x y

O

Figure 1

0

62 Chapitre 6 : S´eries. R´esidus et pˆoles L’int´egrand dans l’expression (3.3) de bn s’´ecrit f(z)(z−a)ⁿ⁻¹. Dans le cas o`u f est analytique en tout point int´erieur `a C₁ ainsi que sur C₁ lui-mˆeme, c’est-

`

a-dire y compris au point z =a, tous les coefficients bn sont nuls, et la s´erie (3.1) se r´eduit `a la s´erie de Taylor de f autour de a.

Les s´eries de Laurent sont une g´en´eralisation des s´eries de Taylor. Elles permet- tent de repr´esenter les fonctions analytiques dans les couronnes r <|z−a|< R :

f(z) =

∞

X

n=−∞

cn(z−a)ⁿ. (3.4)

Les coefficients de la s´erie de Laurent sont donn´es par les formules c_n = 1

2πi I

C

f(z)

(z −a)ⁿ⁺¹ dz, n= 0,±1,±2, . . . , (3.5) o`u C est un contour ferm´e simple appartenant `a la couronne et contenant sa circonf´erence int´erieure.

Dans certains cas particuliers, quelques-uns des coefficients cn peuvent ˆetre nuls.

3.2. Exemples Exemple 1 La fonction

f(z) = 1

(z−1)², 0<|z −1|<∞, (3.6) a d´ej`a la forme (3.4), avec a = 1. Ici c₋₂ = 1, et tous les autres coefficients sont nuls. Ceci est en accord avec l’expression (3.5) des cn, dans laquelle C peut ˆetre un cercle orient´e positivement d’´equation|z−1|=R. Plus pr´ecis´ement, la formule (3.5) donne dans ce cas :

cn = 1 2πi

I

C

dz

(z −1)ⁿ⁺³, n= 0,±1,±2, . . . . (3.7) Les valeurs dec_n peuvent ˆetre trouv´ees en ´evaluant les int´egrales (3.7).

Exemple 2

A partir du d´eveloppement en s´erie de Taylor de e^z autour de z = 0, on a : e^z

z² = 1 z² + 1

z + 1 2! + z

3! + z²

4! +· · ·, 0<|z|<∞. (3.8)

4. R´ esidus

4.1. D´efinition des points singuliers

D’apr`es le th´eor`eme de Cauchy, si une fonction est analytique en tous les points int´erieurs `a un contour C ainsi que sur ce contour lui-mˆeme, l’int´egrale de la fonction sur ce contour est nulle. Si au contraire, en un nombre fini de points int´erieurs `a C, la fonction n’est pas analytique, il existe un nombre sp´ecifique, appel´e r´esidu, par lequel chaque point de non analyticit´e contribue `a la valeur de l’int´egrale.

Un pointaest appel´epoint singulier d’une fonctionf sif n’est pas analytique en a, mais si, dans chaque voisinage de a, on peut trouver un point o`u elle est analytique. Un point singulier est dit isol´e si, de plus, il existe un voisinage de a dans lequel f est analytique (`a l’exception de a lui-mˆeme).

4.2. Exemples de points singuliers Exemple 1

Puisque 1/z est analytique partout sauf en z = 0, l’origine est un point singulier isol´e de cette fonction.

Exemple 2 La fonction

z+ 1

z³(z²+ 1) (4.1)

poss`ede trois points singuliers isol´es, z = 0 et z =±i.

4.3. D´efinition des r´esidus

Sia est un point singulier isol´e de f, la fonction f est repr´esent´ee par la s´erie de Laurent

f(z) =

∞

X

n=0

an(z−a)ⁿ+

∞

X

n=1

b_n

(z−a)ⁿ, 0<|z−a|< R1, (4.2) dans laquelle les coefficients an et bn ont des repr´esentations int´egrales connues.

En particulier, on a bn = 1

2πi I

C

f(z)

(z−a)⁻ⁿ⁺¹ dz, n= 1,2, . . . (4.3) o`uC est un contour ferm´e simple quelconque orient´e positivement autour de a et situ´e dans le domaine 0 < |z −a| < R₁. Lorsque n = 1, l’expression de b_n peut s’´ecrire :

I

C

f(z)dz= 2πib1. (4.4)

Le nombre complexe b₁, qui est le coefficient de 1/(z−a) dans le d´eveloppement (4.2), est appel´e le r´esidu de f au point singulier isol´e a.

64 Chapitre 6 : S´eries. R´esidus et pˆoles

5. Partie principale d’une fonction

5.1. D´efinition

La partie de la s´erie (4.2) qui contient des puissances n´egatives de z −a est appel´ee la partie principale de f en a.

Si tous les coefficients bn de la partie principale de f en un point singulier isol´ea sont nuls, le point a est appel´e un point singulier ´eliminable def. Dans ce cas, la s´erie de Laurent se r´eduit `a une s´erie enti`ere. Le r´esidu en un point singulier

´eliminable est donc toujours nul. Si on d´efinit f(z =a) comme ´egale au coefficient a0, la fonction devient analytique en a.

Si la partie principale def enacontient au moins un terme non nul, mais que le nombre de termes qu’elle contient est fini, il existe un entier positif m tel que bm 6= 0 et bm+1 = bm+2 =· · · = 0. Autrement dit, le d´eveloppement (4.2) prend la forme

f(z) =

∞

X

n=0

an(z−a)ⁿ+ b1

z−a + b2

(z−a)² +· · ·+ bm

(z−a)^m, 0<|z−a|< R1. (5.1) Dans ce cas, le point singulier isol´e a est appel´epˆole d’ordre m. Un pˆole d’ordre 1 est appel´e un pˆole simple.

Lorsquez tend vers un pˆole, f(z) tend toujours vers l’infini.

5.2. Exemples Exemple 1 Soit la fonction

f(z) = e^z−1

z = 1 + z 2! + z²

3! +· · ·, 0<|z|<∞. (5.2) Le pointz = 0 est un point singulier ´eliminable. Si l’on pose f(0) = 1, la fonction f devient enti`ere.

Exemple 2 La fonction z²−2z+ 3

z−2 =z+ 3

z−2 = 2 + (z −2) + 3

z−2, 0<|z−2|<∞, (5.3) a un pˆole simple en z = 2. Le r´esidu en ce pˆole est 3.

Exemple 3 La fonction shz

z⁴ = 1 z⁴

z+ z³

3! + z⁵

5! +· · ·

= 1 z³ + 1

3!

1 z + 1

5!z +· · ·, 0<|z|<∞, (5.4) a un pˆole d’ordre 3 `a l’origine, avec le r´esidu 1/6.

6. Th´ eor` eme des r´ esidus

Le th´eor`eme des r´esidus s’´enonce comme suit : Consid´erons un contour simple ferm´e C, orient´e positivement, `a l’int´erieur duquel et sur lequel une fonc- tion f est analytique except´e en un nombre fini de points singuliers z1, z2, . . . , zn

int´erieurs `a C. Si B₁, B₂, . . . , B_n d´esignent les r´esidus de f en ces points, on a : H

Cf(z)dz = 2πi(B1+B2+· · ·+Bn). (6.1) Pour d´emontrer ce th´eor`eme, on entoure les points singuliers de cercles Cj, orient´es positivement, int´erieurs `a C et assez petits pour n’avoir aucun point en commun (Fig. 2). Les cerclesCj et le contour ferm´e simple C forment ensemble la fronti`ere d’une r´egion ferm´ee dans laquelle f est analytique. D’apr`es le th´eor`eme de Cauchy, on a :

I

C

f(z)dz− I

C₁

f(z)dz− I

C₂

f(z)dz− · · · − I

C_n

f(z)dz= 0. (6.2) Comme

I

Cj

f(z)dz= 2πiBj, j = 1,2, . . . , n, (6.3) la formule (6.2) conduit `a l’´equation (6.1).

• z

• z C

1

2 C

C 1

2

O

x y

Figure 2

66 Chapitre 6 : S´eries. R´esidus et pˆoles

7. D´ etermination des r´ esidus

La m´ethode de base pour trouver le r´esidu d’une fonction en un point singulier isol´e a consiste `a ´ecrire la s´erie de Laurent appropri´ee et `a regarder quel est le coefficient de 1/(z−a).

7.1. Cas d’un pˆole simple

Supposons qu’une fonctionf(z) puisse ˆetre mise sous la forme f(z) = φ(z)

z−a, (7.1)

o`uφ(z) est analytique en a et o`u φ(a)6= 0. De la s´erie de Taylor de la fonction φ, φ(z) =

∞

X

n=0

φ⁽ⁿ⁾(a)

n! (z −a)ⁿ, (7.2)

valable dans un disque ouvert |z −a| < R, on d´eduit la s´erie de Laurent de la fonction f :

f(z) = φ(a)

z−a + φ⁰(a)

1! + φ⁰⁰(a)

2! (z−a) +· · ·, 0<|z−a|< R. (7.3) Comme ce d´eveloppement est la repr´esentation unique en s´erie de Laurent def(z) dans le domaine 0<|z−a| < R, et comme φ(a) 6= 0, f a un pˆole simple en a et le r´esidu b1 correspondant est donn´e par :

b1 =φ(a). (7.4)

7.2. Cas d’un pˆole d’ordre m

Cette discussion peut s’´etendre aux fonctions du type f(z) = φ(z)

(z−a)^m, m= 2,3, . . . , (7.5) o`u φ(z) est analytique en a et o`u φ(a) 6= 0. De la s´erie de Taylor de φ (´equation (7.2)), on d´eduit le d´eveloppement de Laurent de f,

f(z) = φ(a)

(z−a)^m + φ⁰(a) 1!

1

(z−a)^m−1 +· · ·+ φ^(m−1)(a) (m−1)!

1

(z−a) +· · ·, (7.6) valable dans le domaine 0<|z−a|< R. La fonction f a un pˆole d’ordre m en a et le r´esidu correspondant est donn´e par :

b1 = φ^(m−1)(a)

(m−1)! . (7.7)