TD sur: Les s´ eries

TD sur: Les s´ eries

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

1. ´Etudier la convergence des s´eries X

w_n, X

g_n, X

t_n et X

z_n et donner la valeur de la somme en cas de convergence avec, pour tout entier naturel n, on pose :

g_n= 7

5ⁿ⁺³ − 5

7ⁿ⁻³, z_n= n!

2ⁿ, w_n = 2 +n³−n²

1 +n³ et t_n= (−1)ⁿn²+ 1 3ⁿ . 2. Donner la nature de X

n²2ⁿsin 1

3ⁿ

.

. Exercice 2 : Donner la nature deX

√n+ 1−2√ n+ 1

2ⁿ . ´Evaluer sa somme en cas de convergence.

. Exercice 3 :

Soit λ un r´eel. Justifier la convergence des s´eries suivantes et donner la valeur de leur somme : 1. X (−1)ⁿ

(n+ 1)!

2. X

n(n−1)λⁿ n!

3. X λ²ⁿ (2n)!

4. Xn²+n+ 1 n!

. Exercice 4 :

Soit (un)n∈N d´efinie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, un+1 = u_n

1 +u_n. Montrer que

−ln(u_n+1) + ln(u_n) ∼

+∞u_n et en d´eduire la nature de X u_n. . Exercice 5 :

On note (S_p)p∈N la suite des sommes partielles de X

n>1

1 n.

1. Montrer que , pour tout entier naturel non nul n, on a :S2n−Sn> 1 2. 2. En d´eduire la nature de X

n>1

1 n.

. Exercice 6 :

Soit a un r´eel strictement positif. Montrer que

a^(n+p) n!p!

(n,p)∈N²

est sommable.

Exercices ` a faire pendant la classe

- Exercice 7 :

On consid`ere (u<sub>n</sub>)<sub>n>0</sub> une suite r´eelle, `a termes positifs, d´ecroissante et tendant vers 0. On note (S_n)_n>0 la s´erie de terme g´en´eral (−1)^ku_k.

1. Montrer que les suites (S_2n)_n>0 et (S_2n+1)_n>0 sont adjacentes.

2. En d´eduire la nature de X

n>0

(−1)ⁿu_n. 3. On note (R_n)_n>0 la suite des restes de X

n>0

(−1)ⁿu_n et S sa somme.

(a) Donner un encadrement de S.

(b) En d´eduire que (|R_n|)_n>0 6(|u_n+1|)_n>0 (Penser `a distinguer le cas pair/impair).

4. Donner la nature de X

n>1

(−1)ⁿsin 1

n

.

- Exercice 8 :

1. Simplifier, pour tout r´eelxde ]−1,1[ et tout entier naturel non nuln, la quantit´e−

n

X

k=1

x^k−1−

xⁿ 1−x.

2. Montrer que pour tout r´eel x de ]−1,1[ et tout entier naturel non nuln, on a : ln(1−x) = −

n

X

k=1

x^k k −

Z x 0

tⁿ 1−t dt.

3. En d´eduire la nature de X

n>1

1

2ⁿn et la valeur de sa somme.

Exercices bonus

M Exercice 9 :

Etablir la nature de chacune des s´´ eries suivantes : X

n>1

2ⁿsin

(−1)ⁿ 3ⁿ

etX

n>0

n³+ 1 n⁴+ 5. M Exercice 10 :

Etudier la convergence des s´´ eries X

n>1

u_n, X

g_n et X

z_n et donner la valeur de la somme en cas de convergence avec :

(u_n)_n>1 = 1

n²+n

n>1

,(g_n)_n∈

N= 4

3ⁿ⁺² − 3 4ⁿ⁻²

n∈N

et (z_n)_n∈

N =

n²−3n 2n²+ 4

n∈N

M Exercice 11 :

Soit λ un r´eel. Justifier la convergence des s´eries suivantes et donner la valeur de leur somme :

1. X2ⁿ n!

2. Xnλⁿ n!

3. Xn(n−1) n!

4. Xn²−n2ⁿ (n+ 1)!

M Exercice 12 :

Etablir la nature de chacune des s´´ eries suivantes : X

n>1

(n³+ 3n²) exp(−n²) et X

n>0

n(n+ 1)√ n−1 (n+ 5)(n+π) . X

n>1

7

n⁴+ 2ⁿ et X

n>0

n n⁴+ 3ⁿ.

M Exercice 13 :

Soient a et b deux r´eels. On consid`ere la suite (un)_n>0 d´efinie par :

u₀ =a, u₁ =b et ∀n∈N, u_n+2=−u_n+ 3(u_n+1).

1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur a et b assurant la convergence de la s´erie X

n

un et donner la valeur de sa somme.

2. Soit p un entier naturel. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur a et b assurant la convergence de la s´erie X

n>p

u_n et donner la valeur de sa somme.

M Exercice 14 :

On consid`ere la fonction f suivante : f :







]0; +∞[ →R

x 7→ 1

x .

1. Montrer que, pour tout entier naturel n sup´erieur `a 2, on a : Z n+1

1

1 t dt6

n

X

k=1

1 k 6

Z n 1

1

t dt+ 1.

2. En d´eduire la nature de X

n>1

1

n et un ´equivalent de la suite de ses sommes partielles.