Etudier la convergence des s´ eries suivantes : 1. 2 5 + 1 2 2 5 2

Licence 2 – Semestre 1 – TD 4 S´ eries num´ eriques ` a termes positifs

Exercice 1

Etudier la convergence des s´ eries suivantes : 1. ² ₅ + ¹ ₂ ² ₅ 2

+ ¹ ₃ ² ₅ 3

+ · · · + _n ^{1 2} ₅ n

+ · · · 2. ^{√ 1}

1.2 + ^{√ 1}

2.3 + ^{√ 1}

3.4 + · · · + √ ¹

n(n+1) + · · · 3. ¹ ₂ +

√ 2 3 √

2 +

√ 3 4 √

3 + · · · +

√ n (n+1) √

n + · · · 4. ² ₁ + ^2.5 _1.5 + ^2.5.8 _1.5.9 + · · · + 2.5.8...(3n−1)

1.5.9...(4n−3) + · · · 5. ¹ ₂ + ² ₅ 3

+ ³ ₈ 5

+ · · · + _3n−1 ⁿ 2n−1

+ · · · 6.

+∞

P

n=1

cos ¹ _n 7.

+∞

P

n=1

arcsin ^{√ 1} _n 8.

+∞

P

n=1

ln 1 + _n ¹ 9.

+∞

P

n=1

1 − ¹ _n n

10.

+∞

P

n=2 1 n.lnn.ln(lnn)

11.

+∞

P

n=1

1 − cos ^π _n 12.

+∞

P

n=2 1 n √

n− √ n

Exercice 2

Etudier la nature des s´ eries dont les termes g´ en´ eraux sont les suivants : 1. u _n = _(1+a)(1+a ^a

)...(1+a

) , n ≥ 1, a > 0

1

2. u _n = ¹

1+

+...+

, n ≥ 0 Exercice 3

Etudier la convergence/divergence des s´ eries num´ eriques suivantes :

1) X

n

X

p=1

k ^p

! n

pour 0 ≤ k < 1/2 ,

2) X

n

X

p=1

(1/2) ^p

! n

.

Exercice 4

Soient u _n ≥ 0 et v _n ≥ 0, on suppose que les s´ eries de termes g´ en´ eraux u _n et v _n sont convergentes. Etudier les s´ eries de terme g´ en´ eral w _n = √

u _n v _n et t _n = _n ¹ √

u _n . Exercice 5

Soit u _n ≥ 0 tel que P ∞

n=0 u _n est une s´ erie convergente. Montrer que la s´ erie de terme g´ en´ eral v n = _1+u ^u

n

est convergente.

Exercice 6

On consid` ere la suite de terme g´ en´ eral u _n d´ efini comme suit.

Pour n = 2p, u _2p = ₂ ¹

; pour n = 2p − 1, u 2p−1 = ₂

¹ .

Etudier la nature de cette s´ erie en utilisant successivement les r` egles de D’Alembert et de Cauchy. Calculer la somme de cette s´ erie.

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