MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier
2013-2014 Grenoble
TD n
o3 : s´ eries ` a termes quelconques
Exercice 1 : Natures de s´eries
D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral : 1. un= (−1)n
lnn ; 2. un= (−1)n
√n
1 + (−1)n
√n
; 3. un= (−1)n
n+ (−1)n ; 4. un= (−1)n
n+an en fonction de a∈C ; 5. un= (−1)n
pn+ (−1)n ;
6. un= sin
(−1)n n
;
7. un= 1− s
1− (−1)n
√n ;
8. un= cos(3n) ln(n) ; 9. un= (−1)ncos(n)
ln(ln(n)) .
Exercice 2 : Lin´earisations
Rappeler la formule d’Euler sur les polynˆomes trigonom´etriques puis d´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :
1. un= sin3(n)
n ;
2. un = sink(n) cos`(n)
n o`uk, ` ∈N sont fix´es etk et ` de parit´es diff´erentes ou bien si k =`;
3. un= |sin(n)| n .
Exercice 3 : Comparaison avec une int´egrale
En utilisant la comparaison avec une int´egrale, ´etudier en fonction de α∈Rla nature des s´eries suivantes :
1. X
n
1
n(lnn)α ; 2. X 1
n(lnn)(ln(lnn))α.
Indication: on pourra dans le premier cas calculer la d´eriv´ee de x7→(lnx)β.
Exercice 4 : Petits “o”
Soit (un) une suite `a termes r´eels.
1. Donner un exemple tel que P
un converge et P
u2n diverge.
2. On suppose maintenant que P
un et P
u2n convergent et que f est une application de R dans R deux fois d´erivable en 0, telle que f(0) = 0. Montrer que P
f(un) converge.
Exercice 5 : Calcul de sommes
Montrer que les s´eries suivantes convergent et calculer leurs sommes : 1.
X∞ n=3
3−n+2+ 2−n+3
2.
X∞ n=1
n2+ 2n
n! 3.
X∞ n=0
cos(n) n!
Exercice 6 : Formule de Taylor avec reste int´egral
On note f la fonction x7→ln(1 +x) d´efinie sur ]−1,+∞[ et on fixe λ∈]−1,1].
1. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral un = (−1)n−1λn
n (o`u n>1) converge.
2. Montrer que sa somme v´erifie
+∞
X
n=1
(−1)n−1λn
n = ln(1 +λ)
3. En d´eduire la somme de X∞ n=1
(−1)n n et de
X∞ n=2
1 n2n.
Exercice 7 : Calcul de P
n>1nxn−1 Soit x un nombre r´eel, avec |x|<1.
1. Montrer que P
nxn etP
nnxn−1 convergent.
2. Donner des expressions ferm´ees (c’est-`a-dire sans signe P ) de XN
n=0
xn et
XN
n=1
nxn−1.
3. En d´eduire la valeur de P
n>1nxn−1.
4. Montrer que les s´eries suivantes convergent et calculer leurs sommes : (a)
X∞ n=1
(n−2)3−n+ (n−3)2−n
(b) X∞ n=1
(n2−2n)3−n
Exercice 8 : Attention `a la semi-convergence Soit P
un une s´erie convergente `a termes complexes. Montrer que la s´erie Pun
n converge.
Exercice 9 : Un pot-pourri
Soient a et b deux r´eels. On consid´ere la s´erie P
un avecun = n+bann.
1. On supposeb≤1. Pour quelles valeurs deala s´erie est-elle absolument convergente ? 2. Mˆeme question pourb >1.
3. On suppose a=−1. Pour quelles valeurs de b la s´erie est-elle convergente ?
4. Repr´esenter dans le plan les points de coordonn´ees (a, b) tels que la s´erie est absolu- ment convergente, convergente, divergente.
Exercice 10 : R`egle de Raabe-Duhamel
Soit (un)n une suite de r´eels strictement positifs. On suppose qu’il existe a > 0 et b > 1 tels que :
un+1
un = 1− a n +O
1 nb
.
1. Pour tout n ∈ N, on pose vn =naun. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral lnvn+1v
n
converge.
2. En d´eduire la nature de la s´erie de terme g´en´eral un.
Exercice 11 : Attention `a l’ordre de sommation.
On consid`ere la s´erie semi-convergente X
n
un≡X
n
(−1)n
n . Montrer que pour toute limite l ∈[−∞,+∞], on peut trouver une bijectionϕ :N→Ntelle que la s´erieP
nuϕ(n)converge vers l.
