Matrices Feuille 24

Matrices Feuille 24

Remarque. On pourra utiliser le résultat suivant, que nous montrerons plus loin dans le cours : SiA∈ M_n(K), alorsAest inversible si et seulement siA˜est injective (i.e. :Ker(A) ={0}). De même,Aest inversible si et seulement siA˜est surjective (i.e. :Im(A) =Kⁿ).

Exercice24.1

1. SoitM, P ∈ M_n(K)telles quePest inversible. On poseD=P⁻¹M P.Montrer que, pour toutk≥0, M^k= P D^kP⁻¹.

2. On poseM =

Å 0 1 2 −1

ã

etP =

Å 1 −1

1 2

ã

.DéterminerP⁻¹et calculerD=P⁻¹M P.

3. Pour toutk≥0, calculerD^kpuisM^k.

Exercice24.2

Déterminer la matriceMcanoniquement associée à l’application linéairef, deR³dansR²définie par :

f Ñx

y z

é

=

Å x+y y−2x+z

ã

Déterminer le noyau et l’image de la matriceM.

Exercice24.3

1. SoitDune matrice diagonale deM_n(R)dont les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts. Déterminer les matrices deM_R(n)qui commutent avecD.

2. Déterminer les matrices deM_R(n)qui commutent avec toutes les matrices diagonales.

Exercice24.4

CalculerAⁿpour toutn∈Z, oùA=

Ñ 1 1 1 0 1 1 0 0 1

é .

Exercice24.5

On suppose quen ∈N^∗. SoitAetB deux matrices deM_n(K)telles queA = AB−BA.Pour toutp ∈ N^∗, calculerTr(A^p).

Exercice24.6

On poseA=

Ñ 1 −1 1

0 2 3

1 0 4

é

etB =

Ñ 0 1 3 0 0 2 0 0 0

é

1. Vérifier queA³−7A²+ 13A= 3I₃. En déduire queAest inversible.

2. La matriceB est-elle inversible ? CalculerB³.

3. Soitn∈N^∗etM ∈ M_n(K). On suppose queMsatisfait la relation polynomialeapM^p+· · ·+a1M+a0In= 0, oùp ≥ 1, a0, . . . , ap ∈ Ket ap 6= 0. On suppose de plus queM ne satisfait pas de relation polynomiale (avec des coefficients non tous nuls) de degré strictement inférieur àp.

À quelle condition la matriceM est-elle inversible ?

Quentin De Muynck Sous licencecbea

FEUILLE XXIV - MATRICES

Exercice24.7

Pour toutn∈N^∗, inverser la matrice



















1 a a² · · · aⁿ⁻¹ 0 1 ... ... ... 0 ... ... ... a²

..

. ... 1 a

0 · · · 0 1



















, à l’aide de la matriceJ =



















0 1 0 · · · 0 0 0 ... ... ... 0 ... ... ... 0

..

. · · · 0 1 0 . . . 0 0

















 .

Exercice24.8

SoitM = (ai,j)∈ M_C(n)telle que :∀i∈ {1, . . . , n}, |a_i,i|> X

1≤j≤n j6=i

|a_i,j|.

Montrer queMest inversible.

Exercice24.9

FixonsM appartenant àM_n(C).

1. Montrer que l’applicationA7−→Tr(AM)oùAappartient àM_n(C)est une forme linéaire surM_n(C).

2. A-t-on ainsi toutes les formes linéaires surM_n(C)?

Exercice24.10

Montrer que, pour toutn∈N^∗etA, B∈ M_n(K), AB−BA6=I_n.

Donner un exemple d’espace vectorielEet d’endomorphismesu, v∈L(E)tels queuv−vu= Id_E.

Exercice24.11

Notons(Ei,j)(i,j)∈{1,...,n}² la base canonique deM_n(R). Soitσune application linéaire deM_n(R)dansR, telle que :∀(A, B)∈ M_n(R)², σ(AB) =σ(BA).

1. Pour touti, j, k, h∈ {1, . . . , n}, montrer queEi,jEk,h=δj,kEi,h. 2. Pouri6=j, calculerσ(E_i,j).

3. Comparerσ(E_i,i)etσ(E_j,j).

4. En déduire l’ensemble des applications linéairesσdeM_n(R)dansR, telles que∀(A, B)∈ M_n(R)², σ(AB) = σ(BA).

Exercice24.12

On noteM la matrice deM_n(K), triangulaire supérieure, dont tous les coefficients du triangle supérieur (dia- gonale comprise) sont égaux à 1. CalculerM³.

Exercice24.13

Pour toutA= (ai,j)∈ M_n,p(R), on dit que A est positive si et seulement si∀(i, j)∈J1, nK×J1, pK, ai,j ≥0.

Pour toutA∈ M_n(R), on dit que A est monotone si A est inversible etA⁻¹ est positive.

1. SoitA∈ M_n(R). Montrer que A est monotone si et seulement si∀X∈ M_n,1(R), AXpositive⇒Xpositive.

2. Soit(a1, . . . , an) ∈Rⁿ₊etA =

à2 +a₁ −1

−1 ... ... ... ... −1

−1 2 +a_n í

(les coefficients sont égaux à0hors de la

diagonale, et des sur- et sous-diagonales). Montrer que A est monotone.

Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea