ECS1
Exercices : Matrices
Exercice 1. L'ensemble des matrices deM3(C)de la formeM(a, b, c) =
a −1 ia b b −b ic c −c
avec(a, b, c)∈C3 est-il un espace vectoriel surC?
Exercice 2. DansMn(K), on noteSn(K)l'ensemble des matrices symétriques deMn(K)etASn(K)l'ensemble des matrices antisymétriques deMn(K). Cet exercice vise à étudier plusieurs propriétés de ces ensembles.
1. Sn(K)et ASn(K)sont-ils des sous-espaces vectoriels deMn(K)? 2. DéterminerSn(K)∩ ASn(K).
3. SoitA∈ Mn(K). Prouver queA peut s'écrire de manière unique comme la somme d'une matrice symé- trique et d'une matrice antisymétrique.
4. Le produit de deux matrices deSn(K)est-il une matrice deSn(K)?
Exercice 3. On considère les matricesA=
−1 0 3 4 −2 5
1 0 0
0 2 1
,B =
0 1 2 0
−1 1
etC=
0 0 1 −1
2 0 0 2
1 −1 1 −1
. Quels sont les produits possibles de deux de ces trois matrices ? Les calculer.
Exercice 4. SoientS etT les matrices :S=
0 1 0 1 0 0 0 0 1
et T =
1 0 0 0 0 1 0 1 0
. CalculerS2,T2, ST, T S.
Exercice 5. Calculer les puissancesn-ièmes deA=
1 0 1 0 0 0 1 0 1
.
Exercice 6. SoientA=
2 1 0
−3 −1 1
1 0 −1
etB=
5 1 0
−3 2 1 1 0 2
. 1. Vérier queA26= 03et A3= 03.
2. ExprimerB en fonction deAet de la matrice unitéI3. 3. En déduire les puissancesBk pour toutk∈N.
Exercice 7. On poseA=
2 0 0 0 3 2 0 0 0 3 2 0 0 0 3 2
. CalculerAn pour tout entier naturelnnon nul.
Exercice 8. Calculer l'inverse des matrices suivantes si elles sont inversibles :
A=
2 1 0 1 0 1 0 1 2
, B=
1 1 3
−1 1 1
2 −3 −4
, C=
−1 0 1 1
2 0 0 1
3 −1 0 1
−2 0 −1 −1
.
Exercice 9. SoitA=
2 1 1 1 2 1 1 1 2
.
1. Vérier queA2= 5A−4I3.
2. En déduire queAest inversible et calculerA−1.
Exercice 10. SoitM =
13 −60 20
0 3 0
−4 24 −5
.
1. Prouver qu'il existe deux réelsaet btels queM2=aM +bI3. 2. M est-elle inversible ? Si oui, donner son inverse.
Exercice 11. PourA= (aij)i,j∈ M3(R), on dénit la trace de la matriceApar : tr(A) =
3
X
i=1
aii.
SoitA∈ M3(R),B∈ M3(R)et α∈R.
1. A-t-on tr(A+B) =tr(A) +tr(B)? tr(α.A) =α.tr(A)?
2. SoitT l'ensemble des éléments deM3(R)dont la trace est nulle. Montrer queT est un espace vectoriel surRet en déterminer une base.
3. SoitAetB deux matrices deM3(R). A-t-on tr(AB) =tr(BA)?
4. Montrer qu'il n'existe pas de matricesM etN deM3(R)telles que M N−N M=I3.
Exercice 12. On se propose de déterminer trois suites de nombres réels(an)n∈N, (bn)n∈N et (cn)n∈N dénies par les premiers trois termesa0, b0, c0 et les relations de récurrences suivantes pour toutn∈N:
an+1=an−2bn+ 2cn
bn+1=−an+bn+cn cn+1=−an−2bn+ 4cn
.
1. PosonsA=
1 −2 2
−1 1 1
−1 −2 4
et pour tout n∈N,Xn=
an
bn
cn
.
Montrer que pour toutn∈N,Xn=AnX0. 2. SoitP =
1 0 1 1 1 0 1 1 1
. En utilisant des opérations élémentaires, vérier queP est inversible et calculer son inverseP−1.
3. SoitD=
1 0 0 0 2 0 0 0 3
. Montrer queA=P DP−1. 4. En déduire que pour toutn∈N,An =P DnP−1. 5. CalculerAn pour toutn∈N.
6. En déduire les expressions respectives des termesan, bn, cn en fonction dea0, b0, c0 etnpour tout entier natureln.
