Exercices sur les matrices

Exercices sur les matrices

1 On se place dansMn

 

 (n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2).

Soit A la matrice définie para_{i j}, min ,

 

i j et T la matrice de Mn

 

 définie part_{i j,} 1 siij ett_{i j,} 0 sinon.

1°) Démontrer que AT T^t .

2°) Démontrer que T est inversible et calculer son inverse.

3°) En déduire que A est inversible et calculer l’inverse de A. Vérifier.

2 Soit A et B deux matrices carrées d’ordren.

Donner le développement de



^{A B}



^2.

3 Soit A une matrice rectangulaire à coefficients dans un corps commutatif K comportantn lignes etp colonnes.

1°) Que vaut le produit AI_p ? 2°) Que vaut le produit I A_n ?

4 Déterminer les matrices triangulaires T deM_n

 

 telles que TT^t T T^t . On pourra commencer par regarder les casn2 et n3.

5 On pose

1 1 1

A 1 1 0

1 0 1

 

 

  

 

 

.

Démontrer que A est inversible et calculer A^1. Vérifier sur la calculatrice.

6 SoitE un espace vectoriel de dimension finie n^* etf un endomorphisme deE tel que fⁿ0 et

1 0

fn^  .

Démontrer queB



x0,f x

 

0 ,...,f^n1

 

x0



est une base deE.

Écrire la matrice def dansB. Déterminer le rang def.

7 Soitm,n,p trois entiers naturels non nuls.

Soit A une matrice deMm n,

 

 et B et C deux matrices deMp m,

 

 . Démontrer que

 

^{BA tA}

 

^{CA tAÞBACA.}

Indication :

On pourra considérer la matrice^X



^{B C A}



et calculer X X^t .

8 On pose

0 0 0 1

0 1 0 0

A 0 0 1 0

1 0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

.

1°) Calculer A ; en déduire² A^1 et Aⁿ pourn^*. 2°) Soit C A I.

Calculer C puis C^{2 n} pour n^*. 3°) Calculer



^IA



^{n pour n*.}

9 Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 2 et un corps commutatif.

1°) Démontrer que pour tout couple

 

^{i j,} d’entiers naturels compris entre 1 etn tels queij, on a

,

 

I_nE_{i j}GL_n  .

2°) Déterminer le commutant de^GLn

 

 c’est-à-dire l’ensemble des matrices qui commutent avec toutes les matrices de^GLn

 

 .

10 Soit A une matrice de M2

 

 .

1°) Vérifier que l’on a : ^A2



^{tr A A}



^



^{det A I}



^0.

2°) Démontrer que pour tout entier natureln, on a :^{AnVect I, A}

 

^.

3°) On suppose que tr A0. Soit B une matrice de M₂

 

 .

Démontrer que si A B² BA², alors ABBA.

11 Soit l’application deMn

 

 dans lui-même par

  

^M  ^{tr M I}



n^M.

1°) Justifier que est un endomorphisme.

2°) Déterminer le noyau de. En déduire que est bijective.

3°) Déterminer l’expression de^1.

4°) Déterminer un polynôme de degré 2 qui annule.

À l’aide de ce résultat, retrouver que est bijective et l’expression de^1. 12 Soit A une matrice de Mn

 

 .

Démontrer que A AA^t AÞ



^tAA



^2tAA.

On pose BA AA A^t  . Calculer BB^t et en déduire la réciproque.

13 Soitf l’endomorphisme de³ dont la matrice dans la base canonique est

1 0 2

A 1 1 1

1 0 2

 

 

 

  

 

 

. 1°) Déterminer une base de Kerf.

2°) Déterminer une équation de Imf.

3°) Kerf et Imf sont-ils supplémentaires ?

14 Soit

M

l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels muni de sa structure canonique d’espace vectoriel.

On note

S

le sous-ensemble des matrices symétriques de

M

^,

A

le sous-ensemble des matrices antisymétriques de

M

^et

R

l’ensemble des matrices M de

M

telles que les deux éléments qui ne sont pas sur la diagonale sont opposés.

1°) Démontrer que

S

^,

A

^et

R

sont des sous-espaces vectoriels de

M

; déterminer une base de chacun de ces sous-espaces vectoriels.

2°) Vérifier que :

M



S A

 

S R

 ^. Ces sommes sont-elles directes ? Déterminer

S



A

^et

S



R

^.

15 On pose 1 2

A 2 1

 

  

  et 1 1

B 1 1

 

  

 . On note

E

^{Vect A, B}

 

^.

1°) Démontrer que

E

^^^{ } ^^,



^{  ,}



^2^. 2°) Déterminer les matrices de

E

qui sont inversibles.

16 Soitf l’endomorphisme de ³ dont la matrice dans la base canonique est

1 1 1

A 3 3 3

2 2 2

  

 

   

  

 

. Déterminer Kerf et Imf. Vérifier que ImfKerf.

Déterminer une base de³ dans laquelle la matrice def n’a qu’un coefficient non nul.

17 Déterminer les matrices deMn

 

 ( corps commutatif,n^*) qui commutent avec toutes les matrices diagonales.

18 On considère la matrice

0 1

A

1 0

 

 

  

 

 



  



de M_n

 

 constituée de 1 sur la diagonale secondaire et de 0 partout ailleurs.

CalculerA ; en déduire que A est inversible et donner son inverse.² 19 On pose EMn

 

 ( corps commutatif,n^*).

1°) Démontrer que pour toute forme linéaire surE, il existe une unique matriceM_fE telle que pour tout XE on ait : f

 

^X ^{tr M X}



f



.

2°) Déterminer les formes linéairesf surE telles que pour tout couple



A, B d’éléments de



E on ait

 

^AB

 

^BA

f  f .

20 Soit A une matrice deMm n,

 

 ( corps commutatif, m^*,n^*) de rangr.

Démontrer que A s’écrit comme somme der matrices de rang 1.

21 On pose

1 1 1

A 2 1 3

1 1 2

 

 

  

  

 

.

Démontrer que A est inversible et calculer A^1 « à la main ».

Vérifier à l’aide de la calculatrice.

22 Résoudre dansM2

 

 l’équation ² 1 0

X 2X

6 3

 

   

 . 23 SoitF l’ensemble des matrices deMn

 

 de trace nulle.

1°) Démontrer queF est un sous-espace vectoriel et déterminer sa dimension.

2°) On noteE_{i j,} la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé sur la lignei et dans la colonnej qui est égal à 1.

Pour tout couple

 

^{i j,} d’entiers naturels tels que 1 i n, 1 j n etij, on pose :T_{i j,} E_{i j,} et pour tout entieri tel que 1 i n1, on pose : T_{i i,} E_{i i,} E_{i 1,i1}.

Démontrer que la famille T 

 

T_{i j}, est une base deF.

24 On pose E³ etB la base canonique de E.

Soitf l’endomorphisme de E dont la matrice dans la baseB est

1 2 2

A 1 2 1 2

3 2 2 1

 

 

 

    

   

 

. 1°) Démontrer quef est bijectif.

2°) Pour  , on pose^G

 

^{x y z; ;}



^{E /y}  ^{z 0}



.

Démontrer que G_est un sous-espace vectoriel de E, en donner la dimension et une base.

3°) Déterminer  tel que ^f

 

^G ^G. 25 Soitn un entier naturel non nul.

On noteE l’algèbre des matrices carrées d’ordren à coefficients réels.

On désigne par

 

, 1 1

E_{i j i n}

j n

  

la base canonique deE.

On se propose de démontrer de deux façons différentes que pour toute forme linéairef surE, il existe une unique matrice A deE telle que pour tout XE, on ait : ^f

 

^X ^{tr AX}

 

.

1°) Soitf une forme linéaire surE et A une éventuelle solution au problème posé. Calculer la trace deAE_{i j,} et en déduire les coefficients de A.

Conclure avec soin.

2°) Pour toute matrice AE, on note f_A la forme linéaire surE définie par fA

 

X tr AX

 

pour tout XE et l’application:EE^*

AfA.

Vérifier que est une application linéaire.

Calculer fA

 

^tA à l’aide des coefficients de A ; en déduire que est injective.

Conclure.

26 Soit E un espace vectoriel sur de dimension 3.

SoitB



e e e1, 2, 3



une base de E.

Pour tout réela, on considère l’endomorphisme f_a de E défini par f_a

 

e2 0 et

 

1

 

3 1 2 3

a a

f e f e ae e ae. 1°) a) Déterminer une base de Imf_a.

b) Démontrer qu’une base de Kerf_a est



e e2, 1e3



.

2°) Écrire la matrice A de f_a dansB et calculerA . En déduire sans calcul² f_a². 3°) On posee'₁ f_a

 

e₁ ,e'₂ e₁ e₃, e'₃e₃.

a) Démontrer queB'



e' , ' , '1 e2 e3



est une base de E.

b) Donner la matrice A' de f_a dansB'. Préciser une relation entre A et A' .

27 On pose

1 1 1 1

1 2 2 2

A 1 2 3 3

1 2 3 4

 

 

 

 

 

 

 

.

Démontrer que A est inversible et calculer son inverse « à la main ». Vérifier sur la calculatrice.

28 Soita etb deux réels fixés.

On considère la matrice A deMn

 

 (n2) définie para_{i j,} a siij est pair et a_{i j,} b siij est impair.

1°) Déterminer deux réelset tels que A²   A I. 2°) Déterminer les puissances de A.

29 Soit E un espace vectoriel de dimension 3. SoitB



e e e1, 2, 3



une base de E.

On considère la familleU



u u u1, 2, 3



de vecteurs dont la matrice dans la baseBs’écrit

 

1 1 0

Mat 2 1

1 2 1

m

 

 

  

 

 

B U oùm est un réel.

1°) Pour quelles valeurs dem, U est-elle un base de E ?

2°) LorsqueU est une base, écrire les coordonnées de^v



^{1 ; 1 ; 1}



dans cette base.

3°) On se place dans le cas oùU n’est pas une base de E.

Donner une équation de VVectU. Le vecteur^v



^{1 ; 1 ; 1}



appartient-il à V ?

30 SoitE un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif etu un endomorphisme fixé deE.

On considère l’application:E^*E^* . llu 1°) Démontrer queest un endomorphisme deE^*. 2°) SoitB une base deE et A la matrice deu dans la baseB.

Déterminer la matrice de dans la baseB^* en fonction de A.

31 Dans E³ muni de sa structure canonique d’espace vectoriel, on note

 



^{; ; / 2 0}



F x y z E x  y z etG la droite vectorielle engendrée par le vecteuru



1 ; 1 ;1



. 1°) Démontrer queF etG sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires.

2°) Déterminer la matrice de la projectionp surF parallèlement àG dans la base canonique.

Déterminer la matrice de la symétrie associée.

32 On considère la matrice A

 

a_{i j}, deMn

 

 définie par

 

,

1

i j 1 ! a  i j

  pour tout couple (i,j) d’entiers naturels de



1 ; 2 ;...;n



.

1°) Soit

1

X

n

x x

  

    

 tel que AX0.

On lui associe le polynôme

 

¹

1 1 !

n k k k

P x X

n k









  ^.

On poseQX Pⁿ .

Calculer^Q

 

^{1 ,Q' 1}

 

^{, …,Qn1}

 

¹ ; en déduire les dérivées successives deP en 1.

2°) Démontrer queP est nul et en déduire que A est inversible.

33 Soit A a b c d

 

  

  une matrice de M2

 

 .

On pose com A d c

b a

  

   (matrice de M2

 

 appelée lacomatrice de A) et det Aadbc. 1°) a) Démontrer que l’on a :^{Atcom Atcom A A }



^{det A I}



^.

b) Démontrer que A est inversible si et seulement si det A0 ; démontrer que dans ce cas, on a :

1 1 t

A com A

det A

  .

2°) On considère l’application:M2

 

 M2

 

 Acom A. a) Démontrer que est un endomorphisme d’algèbre.

b) Écrire^MatB

 

^ oùB désigne la base canonique deM2

 

 .

c) Calculer com com A ; en déduire

 

Retrouver le résultat par la matrice detrouvée précédemment.

34 Endomorphismes nilpotents

SoitE un espace vectoriel de dimension finien^*. Soit f un endomorphisme deE.

On dit quef est nilpotent s’il existek^* tel que f^k0.

Sif est nilpotent, on définit l’indice de nilpotencedef comme le plus petit entier k₀^* tel que f^k00. Le but de cette première partie est de démontrer que l’indice de nilpotence est inférieure ou égale à la dimension deE c’est-à-dire quek₀n.

1°) Justifier que f^k010.

2°) On note x₀ un vecteur de E tel que f^k01

 

x0 0.

Démontrer que la famille



x0, f x

 

0 ,...,f^k01

 

x0



est une famille libre deE.

3°) Conclure.

Application :

On pose

0 1 0

A 0 0 1

0 0 0

 

 

  

 

 

.

Démontrer qu’il n’existe pas de matrice carrée M d’ordre 3 telle queM²A.

Indication : démontrer en utilisant la première partie de l’exercice que si M²A, alors M³0. 35 SoitE un espace vectoriel sur un corps commutatifK.

Partie A

Le but de cette partie est de déterminer les endomorphismesf deE tels que pour tout vecteurxdeE le système



^{x f x,}

  

^{soit lié.}

Soitf un endomorphisme deE vérifiant cette condition.

1°) Démontrer que, pour tout ^{xE\ 0}

 

, il existe un unique _x K tel que f x

 

 xx. 2°) Soitx ety deux vecteurs non nuls deE.

Comparer_x et_y. Indications : Considérer le cas où :

·



^{x y,}



^{est lié}

·



^{x y,}



est libre et considérer alors xy. 3°) Conclure.

Dans toute la suite, on suppose queE est de dimension finien (n1).

Partie B

Soitu un endomorphisme non nul de trace nulle.

1°) Justifier l’existence d’un vecteur xE tel quex et ^{u x}

 

soit linéairement indépendants ainsi que l’existence d’un supplémentaireF de Vect

 

^x contenant le vecteur^{u x}

 

^.

2°) On désigne parp la projection surF parallèlement à Vect

 

^{x .}

Démontrer queF est stable parpu et que l’endomorphisme induit est de trace nulle.

3°) Démontrer qu’il existe une base deE dans laquelle la matrice deu a tous ses éléments diagonaux nuls (on pourra procéder par récurrence surn).

Partie C

1°) Soit D une matrice diagonale deMn

 

K dont tous les éléments diagonaux sont deux à deux distincts.

Démontrer que l’application : MDM – MD est un endomorphisme deMn

 

K . 2°) Déterminer Ker.

3°) Démontrer que Im est l’ensemble des matrices dont tous les coefficients diagonaux sont nuls.

4°) Démontrer que si ^AMn

 

K est une matrice de trace nulle, il existe deux matrices B et C deMn

 

K telles que ABC – CB.

36 Soitf l’endomorphisme de³ dont la matrice dans la base canonique est

0 1

A 1 1 2

2 2

m m

m m

  

 

  

  

 

oùm est un réel.

1°) Déterminer une base de Kerf.

2°) Déterminer une équation de Imf.

37 On pose

1 2 3

1 2 3

1 2 3

A

a a a

b b b

c c c

 

 

  

 

 

une matrice deM3

 

 où est un corps commutatif.

Déterminer trois matrices B, C, D telles que :

1 1 3

1 1 3

1 1 3

0

AB 0

0

a a a

b b b

c c c

  

 

  

  

 

,

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

CA

a b a b a b

b b b

a c a c a c

  

 

 

  

    

 

et

1 2 3 1

1 2 3 1

1 2 3 1

2 0

AD 2 0

2 0

a a a a

b b b b

c c c c

 

 

 

   

   

 

.

38 Soit un corps commutatif.

Soit A et B deux matrices de Mn

 

 telles que A B AB. 1°) Calculer



^{I – A}



I – B où I désigne la matrice identité d’ordre



n.

2°) En déduire que l’on a ABBA.

39 On pose 3 1

A 2 5

  

  

 .

Résoudre dansM2

 

 l’équation 3X^tXA.

40 Soit un corps commutatif etn un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Démontrer qu’il n’existe pas deux matrices A et B deMn

 

 telles que AB BA I_n.

41 On considère la matrice

1 0

A 0 1

0 0 1

  

 

 

 

 

deM3

 

 .

Calculer Aⁿ pourn entier naturel quelconque.

42 Soit A et B deux matrices de Mn

 

 où est un corps commutatif.

On considère la matrice A A

M A B

 

  

  deM2n

 

 . 1°) Démontrer que M est équivalente à la matrice A 0

0 B A

 

  

 .

Déterminer le rang de M en fonction du rang de la matrice A et du rang de la matrice B – A.

2°) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que M soit inversible et calculer M dans ce cas.^{– 1} Indication : Chercher l’inverse sous la forme C D

E F

 

 

 .

43 Soit E un espace vectoriel de dimension 3. SoitB



e e e1, 2, 3



une base de E.

On notef l’endomorphisme de E dont la matrice dans la baseB s’écrit A

b c c a b a c b a c a b b c a c a b

  

 

 

    

    

 

. 1°) Calculer le déterminant de A. À quelle conditionf est-il bijectif ?

2°) On poseu₁  e₁ e₂ e₃, u₂   e₁ e₂ e₃,u₃   e₁ e₂ e₃. a) Démontrer que



u u u1, 2, 3



est une base de E.

b) Écrire la matrice def dans cette base.

c) Retrouver ainsi la valeur du déterminant def.

44 1°) Démontrer que pour toute famille x₁, x₂, …, x_n et ₁, ₂, …,_n de réels positifs ou nuls tels que

1 2 ... _n 1

       on a :x x₁^1 ₂^2...x_n^n  _{1 1}x ₂x₂  ... _nx_n (avec la convention : x⁰1).

2°) On pose^I

 

^{1 ;n .}

Soit A une matrice deMn

 

 (n2) vérifiant les conditions suivantes :

 

^{i j, I2}

  a_{i j,} 0 I

 j _,

1

1

n i j i

a





 I

 i _,

1

1

n i j j

a







À tout élément x



x ... x1, , _n



de

 

 ⁿ on associe y



y ... y1, , _n



de

 

 ⁿ tel que

1 1

A

n n

y x

y x

   

   

   

   

   

  .

Démontrer que

1 1

n n

i i

i i

y x

 

 

^{ .}

45 Soit AM_{n p},

 

K et BM_{p q},

 

K .

1°) Démontrer que si lai-ème ligne de A est nulle, alors lai-ième ligne de AB est nulle.

2°) Démontrer que si laj-ième colonne de B est nulle, alors laj-ième colonne de AB est nulle.

46 On pose 1 1

A 0 1

 

  

  (matrice deM2

 

 ).

CalculerAⁿ oùn est un entier naturel.

47 Soit A une matrice carrée d’ordrenà coefficients dans un corps commutatif K.

Démontrer que A est inversible si et seulement siA est inversible.² 48 Soit K un corps commutatif.

On pose E^Kn

 

^X oùn est un entier naturel fixé, muni de sa structure canonique d’espace vectoriel.

1°) Démontrer que l’ensembleF des endomorphismesf deE tels que pour tout polynômeP deE, on ait

 

degf P degP est un sous-espace vectoriel deL(E).

2°) Déterminer la dimension deF.

49 Soitn un entier naturel. Pour tout entierk compris entre 0 etn au sens large, on posePk X^k



¹X



^{n k} . 1°) Démontrer que la famille



P P0, 1, ...,P_n



est une base de n

 

X .

2°) On pose

^{B } 

^{1,X, ...,Xn}



^et

^B

^'

^

^{P P0, 1, ...,Pn}

^

^.

Déterminer la matrice de passage de

B

^dans

B

^' et la matrice de passage de

B

' ^dans

B

^.

50 Soitn un entier supérieur ou égal à 2. On pose^S

 

^{1 ;n .}

SoitF un sous-espace vectoriel deMn

 

 de dimension n²1 stable par multiplication matricielle et tel que I_nF.

1°) Démontrer queMn

 

  F V oùV est l’ensemble des matrices scalaires.

2°) a) Soitp la projection surV parallèlement àF.

Démontrer que pour tout couple de matrices



^{M, M' de}



Mn

 

 on a : ^p



^MM'



^p

   

^{M p M' .}

b) Démontrer que, pour toute matrice M deMn

 

 telle queM appartienne ಠF, alors M appartient àF.

c) Soit

 

E_{i j}, _{ }, S²

i j la base canonique deMn

 

 .

Calculer E_{i j,} E_{k l,} oùi,j,k,l sont des éléments quelconques de S.

d) Démontrer queF contient tous les éléments de la base canonique de Mn

 

 . e) Conclure.

51 Soitn un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 2.

On noteT la transposition des matrices carrées d’ordren. SoitA, B, C, D des matrices carrées d’ordren telles que^{T A}

 

^BCD,^{T B}

 

^CDA,^{T C}

 

^DAB et^{T D}

 

^ABC. Démontrer que



^ABCD



^3ABCD.

52 Dans tout l’exercice,n est un entier naturel supérieur ou égal à 1.

1°)Matrice à diagonale strictement dominante On considère la matrice A

 

a_{i j}, deMn

 

 .

On suppose que A vérifie la condition : ^{ i}

 

^{1 ;n} , , 1 n

i i i j

j j i

a a







^.

On dit que A est à diagonale strictement dominante.

a) On suppose qu’il existe

1

X

n

x x

  

    

 tel que X0, AX0,^{ i}



^{1 ;n}



x1  xi .

Aboutir à une contradiction en considérant la première ligne du système AX0. b) On suppose qu’il existe

1

X

n

x x

  

  

  

 tel que X0 et AX0. Aboutir à une contradiction.

c) En déduire que A est inversible.

2°)La propriété (P)

Soit A

 

a_{i j}, une matrice deMn

 

 .

On suppose que A vérifie la propriété (P) suivante :

 

   

 

, 2

,

, 1

1 ; 0

, 1 ; , 0

1 ; 0

i i

i j n

i j j

i n a

i j n i j a

i n a





  

  



  







a) Démontrer que A est à diagonale strictement dominante et en déduire qu’elle est inversible.

b) Soit

1

X

n

x x

  

  

  

 tel que la matrice colonne AX ait tous ses éléments positifs ou nuls.

Démontrer que^{ i}

 

^{1 ;n} xi⁰. On pourra considérer

 

0 min1;

i i n i

x _ x.

c) On noteb_{i j,} le coefficient en position

 

^{i j,} dans la matrice inverse de A.

Pour ^j

 

^{1 ;n , que vaut}

1, 2,

,

A

j j

n j

b b

b

 

 

 

 

 

 

 

 ?

d) En déduire que les coefficients deA^1 sont tous positifs ou nuls.

e)Exemple :

On considère la matrice

1 1 0

A 1 2 1

0 1 1

  

 

   

  

 

et on considère pour  0 la matrice A_  A I.

Démontrer que A_{ }vérifie la propriété (P) et calculer (A )_ ^{– 1}. 53 SoitG un groupe multiplicatif dansMn

 

 .

Démontrer que toutes les matrices A deG ont même rang.

Démontrer que toute matrice A deG de rangr est semblable à une matrice par blocs A 0

0 0

 r 

 

  où

 

A_rGL_r  , et que la matrice de passage est la même pour toutes les matrices deG.

54 SoitE un espace vectoriel réel de dimensionn2 etf un endomorphisme deE tel que f²0. 1°) Comparer Kerf et Imf ; en déduire que le rang def vérifie E

2 r  n

  

 .

2°) On se propose de démontrer qu’il existe une baseB deE dans laquelle la matrice def soit égale à : n –r r

r 0 I_r

–

n r 0 0 Soit



e e ... e1, 2, , _r



une base de Imf.

On complète en une base



e e ... e e₁, ₂, , _r, _r1, ,... e_{n r}



de Kerf.

a) Démontrer qu’il existe des vecteursu₁, …, u_r deE tels quee1f u

 

1 , …,erf u

 

r . b) Démontrer que



e e ... e e1, 2, , _r, _r1, ,... e_{n r},u ... u1, , _r



est une base deE.

c) Conclure.

55 Toutes les matrices en jeu dans cet exercice sont considérées comme éléments de M₂

 

 . Une matriceM deM2

 

 est dite involutive lorsqueM²I, oùI désigne la matrice identité d’ordre 2.

On considère la matrice a c

M b d

 

  

  élément deM2

 

 . 1°) a) Démontrer que : ^M2



^{ad M}



^



^{adbc I}



^.

b) En déduire queM est inversible si et seulement siadbc0.

c) Dans le cas oùadbc0, écrire M^1 en fonction seulement dea,b,c,d.

2°) a) Démontrer que la matriceI, désignant un nombre réel, est involutive si et seulement si 1 ou

  1.

b) On suppose, dans cette question, que MI et M I.

Démontrer queM est involutive si et seulement sia d 0 etadbc 1.

3°) On pose 5 4

2 1

A   

   .

a) Trouver un nombre réel tel que A  I B,B étant une matrice involutive.

b) Pour tout entier natureln, calculer Aⁿ en fonction den,I etB.

c) Démontrer queA est inversible et vérifier que la formule trouvée au 3°) b) est encore valable pourn– 1. 56 Soit l’application qui à tout réel fait correspondre la matrice

 

^{cos sin}

sin cos

  

 

      deM2

 

 . 1°) Démontrer queétablit un homomorphisme de groupe de (, +) dans



GL ( ),2  



.

2°) En déduire cos sin

sin cos

   n

 

   

  oùn est un entier naturel quelconque.

57 Soita etb deux nombres complexes quelconques.

On pose 0

A 0

b a

 

  

  deM2

 

 . Calculer Aⁿ.

58 Soit A et B deux matrice de Mn

 

 telles que l’on ait : AB – BAA. CalculerA B BA^k  ^k oùk est un entier naturel quelconque.

59 On considère l’ensemble

 

²

0

0 0 , ,

0

a b

a b a b

b a

  

  

    

  

 

E

 .

1°) Démontrer que

E

est un sous-espace vectoriel de M3

 

 ; en donner une base.

2°) Est-ce une sous-algèbre ?

60 1°) Soit A une matrice deMn

 

 . Démontrer que l’on a :^{rg Arg}



^tAA



^.

Indication : Considérer les systèmes linéaires AX0 et AAX^t 0. 2°) Cette propriété est-elle vraie si^AMn

 

 ?

Si non, donner une propriété analogue.

61 On pose

1 2 1

A 1 3 0

1 1 1

 

 

  

 

 

.

Démontrer que A est inversible et déterminer son inverse par la méthode du pivot de Gauss.

62 On pose

1 0

A 0 1

0 0

 

 

  

où est un réel donné.

1°) CalculerA^k pourk entier naturel quelconque.

2°) Soit

0

X

n k k k

P a







un polynôme de[X]. On pose

 

0

A A

n k k k

P a







^.

Démontrer que

 

     

   

 

' 1 ''

2

A 0 '

0 0

P P P

P P P

P

    

 

 

   

  

 

 

 

.

63 Lemme de Hadamard

On considère une matriceA

 

a_{i j}, de Mn

 

 telle que pour tout entier^i



^{1, ,n}



^{on ait :}

, ,

1 n

i j i i

j j i

a a





 ^.

Démontrer que A est inversible.

Indication :On pourra étudier le système AX0.

64 On considère les matrices A

 

a_{i j}, etB

 

b_{i j}, de Mn1

 

 définie para_{i j,} Cⁱ_j^_¹₁ etb_{i j},  

 

1^{i j} Cⁱ_j^_¹1

(on adopte la convention C^l_k 0 sikl).

Démontrer que A et B sont inverses l’une de l’autre.

65 On considère la matrice A

 

a_{i j}, deMn

 

 définie para_{i j}, cos

 

i j

 

où est un réel fixé.

Démontrer que :

1) A est de rang 1 si   ; 2) A est de rang 2 sinon.

66 On noteA

 

a_{i j}, la matrice deM_n

 

 définie para_{i j,} 0 sii j et a_{i j},  

 

1^i1Cⁱ_j^_¹1 siij. On pose E_n– 1

 

X et l’on noteT l’application qui à tout polynôme PE associe le polynôme

 

^



¹



T P P X .

1°) Démontrer queT est un endomorphisme deE et que sa matrice dans la base canonique deE est A.

2°) Calculer A².

67 On donnen nombres complexesa₁, a₂, …,a_n.

Pour tout entier naturelⁱ



^{1, 2,}^,n



, on posePi



Xai



ⁿ. La famille



P P1, 2, ...,P_n



est-elle libre ou liée ?

68 Soitn un entier naturel non nul. On pose

i2

e ⁿ



  .

On considère les matrices A

 

a_{j k}, etB

 

b_{j k}, de Mn

 

 définie para_{j k,}  ^{j1k1} etb_{j k,}  ^{ j 1k1}. Calculer AB ; en déduire que A est inversible et calculer son inverse.

69 Soitn un entier naturel non nul. On pose

i2

e ⁿ



  .

On considère la matrice A

 

a_{j k}, deMn

 

 définie para_{j k,}  ^{  j1k1}.

1°) Calculer A A où A désigne la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de A ; en déduire que A est inversible et calculer son inverse.

2°) Calculer A².

70 Soit A une matrice symétrique de Mn

 

 et B une matrice antisymétrique deMn

 

 . Calculer la trace de AB.

71 Soit un corps commutatif etn un entier naturel non nul fixé.

On poseAMn

 

 .

1°) Soit A une matrice deA^{. On note}TA l’application deA ^dans définie parT_A

 

X tr AX

 

. Démontrer queT_A est une forme linéaire.

2°) Démontrer que l’application deA dansA^* qui à toute matrice A associeT_A est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

72 On noteE l’ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 3.

On désigne parf l’application qui à un polynômeP deE associe le polynôme ^{f P}

 

défini par :

   

¹

  

f P X P X P X .

1°) Démontrer quef est un endomorphisme deE.

2°) On noteB la base canonique deE :B^



^{1,X X, 2,X3}



^.

Déterminer la matrice def dans la baseB.

3°) Démontrer quef est bijectif.

4°) Calculer la matrice de f^1 dans la baseB.

5°) SoitP un élément deE défini parP X

 

a0a X1 a X2 ²a X3 ³. a) Expliciter en fonction des réels a₀,a₁, a₂, a₃ le polynôme^Qf1

 

^{P .}

b) On considère pour tout entier natureln non nul la somme

 

^

 

1

1

n k

k

P k





 ^. Déterminer une expression simplifiée de S n

 

à l’aide de^{Q n}



^1



^{et deQ}

 

^{1 .}

c) Expliciter alors la valeur de^{S n}

 

en fonction den,a₀,a₁, a₂, a₃. 73 On considère la matrice A

 

a_{i j}, de Mn

 

 définie par _{i j,} i

a  j. CalculerA².

74 Démontrer que pour tout couple



A ; B de matrices de



Mn

 

^K (K étant un corps commutatif) et pour tout entier naturelk, on a :

   

tr AB^ktr BA^k.

75 On noteF l’ensemble des matrices carrées d’ordren de la forme

1 2

1 2

0 0

0

0 0

... _n a a

a a a

 

 

 

 

 

 

 

 oùa₁,a₂, …, a_n sont

des réels. Une telle matrice est notée M



a a1, 2, ...,a_n



.

1°) Démontrer queF est un sous-espace vectoriel de Mn

 

 et préciser sa dimension.

2°) Soit ₁

1 0 0

1 0

0 0 0

Jn_

 

 

 

 

 

 

 



  

 



n

 

M  .

Soit



a a1, 2, ...,a_n



ⁿ fixé.

Démontrer que si, pour tout réel non nul M



a a1, 2, ...,a_n



 J_n1 n’est pas inversible, alors

1 2 ... _n 0

a a  a  (on pourra utiliser la méthode du pivot de Gauss).

3°) En déduire que siE est un sous-espace vectoriel de Mn

 

 qui contient J_n1 et ne contient aucune matrice inversible, alorsdimEn²n.

Indication : On pourra démontrer que la somme EF est directe.

4°) Démontrer que l’inégalité précédente est la meilleure possible.

76 Soitn etp deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. On donne un réel et on considère la matrice M de Mn p,

 

 définie parm_{i j}, cos

 

i j

 

.

Déterminer le rang de M. On pourra utiliser les vecteurs

cos cos 2 C

cosn

 

 

 

 

 

 

 

 et sin sin 2 S

sinn

 

 

 

 

 

 

 

 .

77 Soitn un entier naturel.

On considère la matrice A deMn1

 

 définie par _{i j},

 

1 j

a i

    

  siij;a_{i j,} 0 sinon.

Soitf l’endomorphisme den

 

X dont la matrice est A dans la base



^{1,X, ...,Xn}



^.

Calculer ^{f X}

 

^j et en déduireA^1. 78 Résoudre 1 1

2 3

XY  

  

  et 1 1

2 5

YX   

   oùX etY sont deux matrices carrées d’ordre 2.

79 SoitE un espace vectoriel de dimensionn.

1°) Soit



e e1, 2, ...,e_n



une base deE.

Démontrer que pour tout entier natureli compris entre 2 etn au sens large,



e1e e_i, 2, ...,e_n



est une base deE.

2°) Déterminer les endomorphismes deE dont la matrice est diagonale dans toutes les bases deE.

80 Soit A une matrice carrée d’ordren (n2).

1°) Soit B la matrice obtenue en échangeant les colonnesi etj de A (i etj étant deux entiers distincts compris entre 1 etn au sens large).

Démontrer que si A est inversible, alors B est inversible et calculer B^1 en fonction deA^1.

2°) Soit C la matrice obtenue en ajoutant deux fois lai-ième colonne à laj-ième colonne (i etj étant deux entiers distincts compris entre 1 etn au sens large).

Démontrer que si A est inversible, alors C est inversible et calculer C^1 en fonction deA^1. 81 SoitA une matrice de^GLn

 

 etB une matrice deMn

 

 telle queB^p0_n. 1°) Démontrer queI_nA BA^1 est inversible et exprimer son inverse.

2°) On pose ^H^{InP B

 

^/P^{[ ],}X P^

 

⁰ ^0}.

Démontrer que H est un sous-groupe commutatif de



^GLn

 

 ^,



.

82 SoitE un espace vectoriel surK ou. On note₁ et ₂ deux sous-espaces vectoriels de^

 

^{E .}

On suppose que 12

 

E et que pour tout



f1,f2



 1 2, on a : f₁f₂f₂f₁0_{ E} . Démontrer que¹

 

⁰_{ }E ou²

 

⁰_{ }E .

83 SoitE un espace vectoriel sur de dimensionn



^n*



^.

Soit

B  

e e1, 2, ...,e_n



une base deE.

Pour tout entier naturel^k



^{1, 2,...,n}



, on pose

1

'

k

k i

i

e e







^.

1°) Démontrer que

B

'



e1',e2', ...,e_n'



est une base deE.

2°) Écrire la matrice de passage P de

B

^à

B

^' et déterminer P^1.